Laboratorio de transformada de Laplace

Explora pares de transformada de Laplace directa para las familias de funciones fundamentales, sus polos, región de convergencia y valores inicial/final.

Ejemplo resuelto — Laboratorio de transformada de Laplace

Polos	−1
Valor inicial f(0⁺)	1
Valor final f(∞)	0

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Laboratorio de transformada de Laplace

La transformada de Laplace cambia una función del tiempo por una función de una variable compleja s, convirtiendo el cálculo en t en álgebra en s. El catálogo de arriba es un diccionario de ocho pares, y junto a cada uno la página imprime cuatro datos que se leen solo de F(s), sin volver nunca al dominio del tiempo.

Qué significa cada símbolo

F(s): la transformada. Un cociente de polinomios para cada entrada de este catálogo, que es la única razón de que existan las tres filas siguientes.
poles: los valores de s que anulan el denominador. Todo lo demás en la página depende de dónde estén.
ROC: la región de convergencia: el semiplano donde la integral que define la transformada converge de verdad. El paso 3 trata de lo poca información propia que lleva esta fila.
f(∞): el valor final, impreso como número, como ∞ o como una negativa.

De dónde viene la fórmula

Lee el par. En la exponencial por defecto, e^(−t) se convierte en 1/(s+1): una tasa de decaimiento en el tiempo pasa a ser la posición de un único polo.
Halla los polos igualando el denominador a cero. s+1=0 da s = −1, que es lo que muestra la fila de polos.
Compara ahora la fila de polos con la del ROC, y sigue comparando al recorrer el catálogo. El ROC es la parte real del polo situado más a la derecha. Exponencial: polo en −1, ROC Re(s) > −1. Escalón: polo en 0, ROC Re(s) > 0. Seno: polos en ±j2, cuya parte real es cero, así que otra vez ROC Re(s) > 0. Ocho filas, una regla.
Las dos filas de valores vienen de extremos opuestos del mismo F(s): f(0⁺) = lim(s→∞) sF(s) y f(∞) = lim(s→0) sF(s). Por eso el escalón y el coseno coinciden en f(0⁺) = 1 y discrepan sobre el final.

Cómo leer lo que ves

Recorre las ocho entradas y observa cómo dos columnas aparentemente independientes se comportan como una. Escalón, rampa y potencia tienen sus polos en el origen y todas leen Re(s) > 0. La exponencial y las dos ondas amortiguadas tienen un polo con parte real −1 y todas leen Re(s) > −1. Seno y coseno parecen la excepción — sus polos son imaginarios — y no lo son: la parte real de ±j2 es cero, así que leen Re(s) > 0 junto con las del origen. Mira luego los finales, que los polos también deciden: parte real −1 da 0, un polo simple en el origen da una constante, un polo doble en el origen da ∞, y un par puramente imaginario no da final alguno.

Supone: Que f(t) = 0 antes de t = 0: es la transformada unilateral, y por eso cada entrada está escrita contra un escalón unitario. Que la amplitud A escala F(s) sin mover ningún polo, de modo que cambia el valor inicial y nunca el ROC ni el final. Y que cada entrada es un cociente de polinomios: una transformada con corte de rama o singularidad esencial no tiene lista de polos que leer, y tres de las cuatro filas no tendrían nada que decir.
Falla cuando: El teorema del valor final es el que se cita sin sus condiciones, y este catálogo contiene el contraejemplo. Aplicado a ciegas al seno, lim(s→0) s·ω/(s²+ω²) vale 0: limpio, definitivo y falso — sin(ωt) no tiene valor final. El teorema solo vale si los polos de sF(s) están estrictamente en el semiplano izquierdo, y los del seno están sobre el eje imaginario. La página se niega en vez de informar del límite: por eso esa fila dice no existe — oscila y no el 0 que la fórmula produce sin reparos. La rampa falla la misma prueba por el otro lado y recibe ∞. Dos de las ocho entradas rompen la regla que estabas a punto de generalizar de las otras seis.

La fila de polos ya te dice el final 🖖

Recorre el catálogo y compara solo dos filas de la tabla: Polos y Valor final. Todo par cuyos polos estén estrictamente a la izquierda del eje imaginario termina en 0: e^−at para s = −a y el seno amortiguado para s = −a ± jω. Los pares con polos sobre el eje nunca se estabilizan; sin y cos tienen sus polos en s = ±jω, y la tabla muestra «No existe: oscila». En cambio, la rampa, con un polo doble en s = 0, tiende a ∞. Solo el escalón, que tiene un único polo simple en s = 0, alcanza un valor finito distinto de cero. La parte real del polo situado más a la derecha determina si una señal se extingue, se mantiene o diverge. Por eso los ingenieros de control diseñan en el plano s sin necesidad de invertir la transformada.

Un diccionario entre el tiempo y s 🖖

En esencia, esta herramienta es una tabla de correspondencias. Toda función temporal, como un escalón, una rampa o una exponencial decreciente, tiene su equivalente en el dominio s; el laboratorio muestra ambos miembros de cada par. Resuelve el problema en el dominio s, donde resulta más sencillo, y vuelve después al dominio temporal mediante estas correspondencias. Una señal decreciente e^-at siempre se transforma en 1/(s+a), y el número a indica la rapidez con que se desvanece.

El ingeniero que escandalizó a los matemáticos 🖖

Mucho antes de que la transformada tuviera un fundamento riguroso, el ingeniero autodidacta Oliver Heaviside resolvía ecuaciones de circuitos tratando con audacia el operador derivada d/dt como un símbolo algebraico corriente, e incluso dividía por él. Los matemáticos puros se horrorizaban por la falta de demostración; se dice que replicó: «¿Debo rechazar mi cena porque no entiendo del todo la digestión?». Su función escalón aún lleva su nombre, y la transformada de Laplace aportó después el rigor que a él nunca le importó.

Problemas resueltos al detalle

Valores en los extremos y decaimiento de f(t) = e −1,5t 6 pasos
f(t) = e^−1,5t para t ≥ 0. Obtén F(s) a partir de la definición, lee el polo y la región de convergencia en la misma línea de desarrollo y determina ambos valores en los extremos sin invertir la transformada en ningún momento. A continuación, responde a la pregunta que ninguno de los teoremas del valor límite responde: ¿cuánto tarda realmente el decaimiento?
1. La transformada es una sola integral, y todo lo demás que aparece en el panel es un subproducto de su evaluación. Ambas exponenciales comparten base, por lo que se combinan en un único exponente: −(s + 1,5)t.
  
  $F (s) = \int_{0}^{\infty} e^{- 1.5 t} e^{- s t} d t = [\frac{- e ^{- (s + 1.5) t}}{s + 1.5}]_{0}^{\infty}$
2. El límite superior es donde se concentra el trabajo. e^−(s+1,5)t tiende a 0 al aumentar t solo cuando la parte real de s + 1,5 es positiva, y esa sola desigualdad te proporciona las dos entradas restantes: la región de convergencia Re(s) > −1,5 y el polo en s = −1,5 situado exactamente en su frontera. El polo no es un dato independiente que haya que memorizar: es el valor de s para el cual la integral deja de existir.
  
  $Re (s + 1.5) > 0 ⟺ Re (s) > - 1.5 ⟹ F (s) = \frac{1}{s + 1.5}$
3. Deduce el teorema del valor inicial en lugar de citarlo. Un valor grande de s pondera e^−st tan fuertemente hacia valores pequeños de t que sF(s) se convierte en una sonda para analizar f cerca del origen. Aquí s/(s + 1,5) tiende a 1, y e⁰ = 1 lo confirma: has leído f(0⁺) directamente de una transformada que nunca llegaste a invertir.
  
  $f (0^{+}) = s \to \infty lim s F (s) = s \to \infty lim \frac{s}{s + 1.5} = 1 = e^{0}$
4. Lleva s en la dirección opuesta para obtener el valor final. Este límite viene con una condición de validez: solo es un teorema cuando todos los polos de sF(s) se sitúan estrictamente a la izquierda del eje imaginario, y el único polo aquí se encuentra en −1,5. El caso oscilante de más abajo es precisamente aquello de lo que te protege dicha condición.
  
  $f (\infty) = s \to 0 lim s F (s) = \frac{0}{1.5} = 0$
5. Ninguno de los dos teoremas incluye un reloj. Uno describe t = 0 y el otro t = ∞, y entre ambos la curva podría tardar un microsegundo o un siglo. Resuelve f(τ) = f(0)/e para obtener la escala de tiempo que falta.
  
  $e^{- 1.5 τ} = e^{- 1} ⟹ τ = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3} = 0.667 s$
6. Ahora deja atrás el panel y pregúntate cuándo la señal se ha reducido al 1% de su valor inicial.
  
  $e^{- 1.5 t} = 0.01 ⟹ t = \frac{ln 100}{1.5} = \frac{4.6052}{1.5} = 3.07 s$
Respuesta

F(s) = 1/(s + 1,5), un polo en −1,5 y τ = 0,667 s —el panel muestra el polo y la constante de tiempo, y has deducido ambos a partir de una sola integral. Conserva en su lugar la última línea. Como a se simplifica al dividir ln(100)/a entre 1/a, alcanzar el 1% requiere siempre 4,61 constantes de tiempo, sea cual sea la tasa de decaimiento: 4,61 es una propiedad del número 100, no de esta señal. Lo único que controla el polo es cuánto dura una constante τ. Duplica a a 3 y todas las duraciones de esta página se reducirán a la mitad. Desplázalo en sentido contrario, hacia el eje imaginario, y τ tenderá al infinito; y una vez que el polo alcanza el eje, el valor final deja de existir por completo, que es el problema siguiente.

$τ = \frac{1}{a}, t_{1%} = \frac{ln 100}{a} = 4.61 τ (a > 0)$
El límite de valor final para f(t) = sin(4t) que devuelve 0 5 pasos
f(t) = sin(4t) para t ≥ 0. El límite del valor final se calcula aquí de forma perfectamente fluida y devuelve 0. Nada se dispara al infinito y nada queda indeterminado. Averigua por qué, a pesar de todo, 0 es la respuesta incorrecta y qué era lo que el teorema te pedía comprobar en realidad.
1. Construye esta transformada a partir del resultado del problema anterior en lugar de recurrir a una tabla. Euler descompone un seno en un par de exponenciales complejas, y cada una de ellas obedece la regla que ya has deducido de la integral.
  
  $sin 4 t = \frac{e ^{j 4 t} - e ^{- j 4 t}}{2 j}, L {e^{α t}} = \frac{1}{s - α}$
2. Reduce a común denominador. El 2j se simplifica con el j4 − (−j4) del numerador, por lo que una construcción compleja da lugar a una función real de s. El panel escribe el denominador como s² + 4², que es exactamente lo mismo.
  
  $F (s) = \frac{1}{2 j} (\frac{1}{s - j 4} - \frac{1}{s + j 4}) = \frac{4}{s ^{2} + 16}$
3. Localiza los polos. El denominador se anula en s = ±j4, y su parte real es 0: no es negativa ni positiva, sino que está exactamente sobre el eje imaginario. Este es el caso que la condición de más arriba fue redactada para excluir.
  
  $s^{2} + 16 = 0 ⟹ s = \pm j 4, Re (s) = 0$
4. Calcula el límite del valor final de todos modos, porque nada te lo impide. El numerador tiende a 0, el denominador tiende a 16 y el cociente es 0. La aritmética no te advertirá de que no tenías derecho a efectuar dicho cálculo.
  
  $s \to 0 lim s F (s) = s \to 0 lim \frac{4 s}{s ^{2} + 16} = \frac{0}{16} = 0$
5. Compara ese resultado con la propia función. sin(4t) tiene un periodo de 2π/4 = 1,5708 s, que el panel redondea a 1,57 s, y transcurrido un cuarto de cada uno de esos periodos vuelve a estar en +1. Una función que no cesa de regresar a 1 no puede converger a 0, ni a ningún valor. El panel no muestra ningún número en la fila del valor final y señala en su lugar que la señal oscila.
  
  $T = \frac{2 π}{4} = 1.5708 s, f (\frac{T}{4} + k T) = 1$
Respuesta

Polos en ±j4, periodo de 1,57 s y ningún valor final en absoluto —a pesar de que el límite dé limpiamente 0. La lección no es que la aritmética sea frágil; es que la aritmética no es el teorema. Compara ambas expresiones de sF(s) lado a lado y la diferencia es la posición de un único polo. Lo que hace que el 0 sea interesante en lugar de simplemente erróneo es que es la respuesta correcta a cada problema vecino: amortigua el seno con cualquier a > 0 y los polos se desplazan a −a ± j4, el teorema se aplica y el valor final es genuinamente 0, para cualquier a, por pequeño que sea. El límite devuelve la respuesta a todos los problemas cercanos y a ninguno de este. Y un 0 demostrable puede seguir siendo inútil: con a = 0,1, el reloj del problema 1 da ln(100)/0,1 = 46 s para caer al 1%, lo que representa unos 29 ciclos completos de oscilación a esta frecuencia.

$s F (s) = \frac{4 s}{s ^{2} + 16} \Rightarrow s = \pm j 4 s F (s) = \frac{s}{s + 1.5} \Rightarrow s = - 1.5$

Referencias (3)

When the final-value theorem applies, and when the table must say it does not: E. Gluskin, "Let us teach this generalization of the final-value theorem." European Journal of Physics 24(6), 591–597, 2003.
Pole location and stability, at length: Katsuhiko Ogata, Modern Control Engineering, 5th edition. Prentice Hall, 2010. ISBN 978-0-13-615673-4.
Where the region of convergence is derived from the pole positions: A. V. Oppenheim & A. S. Willsky, Signals and Systems, 2nd edition. Prentice Hall, 1997 — chapter 9, on the Laplace transform and its region of convergence. ISBN 978-0-13-814757-0.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-07-29

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

función escalón - Un escalón de altura 2 se transforma en 2/s y tiene un único polo simple en el origen. Es la única entrada del catálogo cuyo valor final es finito y distinto de cero: 2.
Rampa - Una rampa 2t — se transforma en 2/s², un polo doble en el origen
Potencia tⁿ - t³ — se transforma en 6/s⁴: el n! = 6 sale de integrar por partes tres veces, y el orden del polo es n + 1 = 4
decaimiento exponencial - e^(-1,5t) se transforma en 1/(s + 1,5): tiene un único polo real en s = -1,5. Por tanto, la región de convergencia es Re(s) > -1,5 y el valor final es 0.
onda senoidal - sin(4t) se transforma en 4/(s² + 16), con polos en ±j4. Como están sobre el eje, la señal no se amortigua y el valor final no existe.
Coseno - cos(4t) — los polos están en el eje imaginario en ±j4, así que no hay valor final: oscila para siempre
seno amortiguado - Seno amortiguado: 3/((s + 1)² + 9), con polos en -1 ± j3. Tiene la misma frecuencia que el seno sin amortiguar, pero la parte real -1 hace que se extinga en vez de oscilar indefinidamente.
Coseno amortiguado - Un coseno amortiguado — los polos se apartan del eje hasta −1 ± j3, la región de convergencia pasa a Re(s) > −1 y el valor final es 0