Criba de primos y espiral de Ulam

Observa cómo la Criba de Eratóstenes elimina los compuestos, o mira los primos en una espiral de Ulam.

Ejemplo resuelto — Criba de primos y espiral de Ulam

π(100)	25 primos
N / ln N	21.7(13.1% error)
Li(N)	29.1(16.3% error)
Pares gemelos	8 pares
Hueco máximo	8

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Criba de primos y espiral de Ulam

El panel imprime dos clases distintas de número, y conviene separarlas antes de leer nada más. π(N) es un recuento — cuántos primos dejó realmente en pie la criba, 25 en N = 100 y 95 en N = 500, exacto y sin redondear. Las dos filas de debajo son estimaciones de ese mismo recuento. El teorema de los números primos afirma que una de ellas acierta el cociente en el límite; no afirma que acierte el número. Son promesas muy distintas, y es en la columna de error donde se ve la diferencia.

Qué significa cada símbolo

N: el techo hasta el que se criba, y la única entrada. El deslizador llega hasta 10000.
π(N): la cantidad de primos que no superan N. Contada, no estimada — son sencillamente las casillas que la criba no tachó.
N / ln N: la estimación más simple de ese recuento. En todo N que alcanza este deslizador queda por debajo de la verdad.
Li(N): el logaritmo integral ∫₂ᴺ dt/ln t, una estimación más fina. En todo N que alcanza este deslizador queda por encima de la verdad.

De dónde viene la fórmula

La criba nunca pregunta si un número es primo. Empieza en 2 y tacha todos los múltiplos de 2, pasa al siguiente número aún en pie, tacha todos sus múltiplos y repite. La primalidad no se comprueba; es lo que sobra.
Solo hay que tachar múltiplos de primos hasta √N. Si un número n ≤ N es compuesto, entonces n = a·b con a ≤ b, así que a ≤ √n ≤ √N — todo compuesto tiene un divisor a lo sumo igual a la raíz, y por tanto ya fue tachado cuando le tocó el turno a ese divisor. Cribar hasta 100 solo requiere las pasadas de 2, 3, 5 y 7.
Cuenta los supervivientes y tienes π(N) exactamente. Por eso la fila de arriba es un hecho y las dos de abajo son opiniones: la criba produce el recuento como subproducto de terminar.
Ahora compara. El teorema de los números primos dice que π(N) · ln N / N → 1 cuando N crece. Fíjate en lo que no dice: un cociente que tiende a 1 permite que el error porcentual siga siendo grande durante muchísimo tiempo — y la fila siguiente enseña exactamente eso.

Cómo leer lo que ves

Lee las dos cifras de error como una carrera y cambia N. En N = 100 la estimación burda va ganando: 13.1% frente al 16.3% de Li. Ve a N = 200 y se invierte — 17.9% frente a 6.9% — y no vuelve a invertirse nunca. Pero lo que de verdad hay que mirar es lo que N/ln N no hace. A lo largo de dos órdenes de magnitud su error marca 14.8%, 13.1%, 15.3%, 13.8%, 12.2%: oscila y apenas mejora. Li, en el mismo tramo, pasa de 16.3% a 2.8%. Ambas estimaciones cumplen el teorema de los números primos; solo una sirve en los tamaños que puedes ver. Los signos son igual de constantes — aquí N/ln N queda bajo el recuento en todo N, y Li por encima.

Supone: Que N es lo bastante pequeño para cribarse por completo: el recuento es exacto porque cada número hasta N se guarda y se tacha de verdad, y por eso el techo es 10000 y no 10¹⁰. Los porcentajes de error se toman respecto a π(N), de modo que miden las estimaciones y nunca el recuento.
Falla cuando: Li(N) > π(N) en todo N que esta página puede alcanzar, lo que le da aspecto de ley. No lo es. Littlewood demostró en 1914 que la diferencia cambia de signo infinitas veces, así que hay valores de N donde Li se queda corta — y en el siglo transcurrido nadie ha exhibido ni uno. Bays y Hudson situaron el primer cruce por debajo de unos 1.4×10³¹⁶ en 1999, y nadie lo ha estrechado desde entonces. Esta página te muestra, pues, un patrón que está demostrado que no es universal, y ninguna posición del deslizador alcanza el contraejemplo. Esa distancia entre lo que se ve y lo que es cierto es la forma honesta de este tema.

El enrarecimiento que ves en la cuadrícula es la parte que nadie sabe demostrar 🖖

La distribución precisa de los primos está controlada por los ceros de la función zeta de Riemann ζ(s). Los 10¹³ ceros no triviales conocidos se encuentran sobre la línea crítica Re(s) = 1/2. Demostrar esto para todos los ceros daría las cotas más precisas posibles para el conteo de primos — y ganaría el Premio del Milenio de 1 millón de dólares. A partir de 2025, sigue sin demostrarse.

Cribar en vez de comprobar 🖖

La criba de Eratóstenes halla los primos por eliminación, no comprobando cada número. Empieza en 2, tacha todos sus múltiplos, salta al siguiente número superviviente y repite; lo que nunca se tacha es primo. El truco ingenioso: para cribar todos los números hasta n, solo hace falta eliminar los múltiplos de los primos hasta √n. Así, para todo lo menor que 100 basta con tachar los múltiplos de 2, 3, 5 y 7.

El garabato aburrido de Ulam 🖖

En 1963, el matemático Stanisław Ulam, aburrido durante una charla, garabateó los enteros en una espiral cuadrada y sombreó los primos — y aparecieron sorprendentes franjas diagonales. Esas diagonales siguen fórmulas cuadráticas ricas en primos como n² + n + 41 de Euler, que da un primo para cada n de 0 a 39. Por qué ciertas diagonales siguen tan densas aún no se entiende del todo.

Problemas resueltos al detalle

Cribando a mano los 25 primos por debajo de 100 5 pasos
Hay 25 números primos menores que 100. Críbelos a mano —lleva menos trabajo del que cabe imaginar— y pruebe después el teorema de los números primos en una muestra demasiado pequeña para él.
1. El ahorro de la criba es la razón por la que merece tener nombre. Si n ≤ 100 es compuesto, se factoriza como ab, y el factor menor no puede superar √100 = 10. Así pues, tachar los múltiplos de cada primo hasta 10 elimina todos los compuestos que existen: cuatro primos hacen todo el trabajo.
  
  $n \leq 100 composite ⟹ n = ab with min (a, b) \leq 100 = 10$
2. Tache los múltiplos de 2, 3, 5 y 7, comenzando cada uno en su propio cuadrado porque todo lo anterior ya ha sido eliminado. Sobreviven veinticinco números.
  
  $strike multiples of 2, 3, 5, 7 from 4 upward ⟹ π (100) = 25$
3. El teorema de los números primos establece que la cantidad es asintóticamente N/ln N. En N = 100 esto da 21,7.
  
  $π (N) \sim \frac{N}{ln N} : \frac{100}{ln 100} = \frac{100}{4.6052} = 21.7$
4. Está un 13% por debajo, algo perfectamente esperable para un resultado asintótico en 100. Leído a la inversa sigue siendo útil aquí: la densidad de primos cerca de N es 1/ln N, por lo que aproximadamente el 22% de los números cercanos a 100 son primos, frente al 7,2% cerca de un millón. Los primos se vuelven más escasos de forma logarítmica, lo cual es ciertamente muy lento.
  
  $\frac{25 - 21.7}{25} = 13.1%, \frac{1}{ln 100} = 21.7% vs \frac{1}{ln 1 0 ^{6}} = 7.2%$
5. Los huecos coinciden. El hueco medio por debajo de 100 es 100/25 = 4, y el mayor es 8: el tramo de 89 a 97. El doble del promedio, y nada peor.
  
  $mean gap = \frac{100}{25} = 4, largest = 97 - 89 = 8$
Respuesta

La criba da π(100) = 25 y la herramienta muestra la estimación en 21,7, un 13,1% por debajo. Ese error no significa que el teorema falle; es el ritmo de convergencia del teorema hecho visible, y la convergencia es notoriamente pausada: lleve N hasta 10 000, cuatro órdenes de magnitud más arriba, y la estimación seguirá estando por debajo en dos dígitos. Lo que se mantiene en toda escala es la lectura de densidad. Uno de cada 4,6 números cerca de 100 es primo, uno de cada 13,8 cerca de un millón, y como el logaritmo crece tan despacio, los primos nunca se agotan ni llegan a ser verdaderamente raros.

$π (100) = 25 from four primes; \frac{N}{ln N} = 21.7 (13.1% low)$
La estimación obvia para 8 pares gemelos menores de 100 6 pasos
El panel cuenta 25 primos por debajo de 100 y 8 pares de gemelos. Para el primer número hay una estimación célebre que se acerca al 13 %. Prueba la estimación obvia para el segundo — y mira cómo falla por un factor que tiene nombre.
1. Toma como punto de partida el recuento y la estimación impresos: cerca de N un número es primo con probabilidad aproximada 1/ln N, y en N = 100 eso es unos 0,2171.
  
  $π (100) = 25, \frac{N}{ln N} = \frac{100}{4.6052} = 21.7$
2. Ahora supón que n y n+2 son independientes. Si cada uno es primo con probabilidad 1/ln N, ambos lo son con el cuadrado de eso.
  
  $P_{1} \approx \frac{1}{ln N} = 0.2171 ⟹ P_{2} \approx P_{1}^{2} = \frac{1}{( ln N ) ^{2}}$
3. Multiplica por N y compara con la herramienta. La estimación da 4,72 pares gemelos por debajo de 100; la criba encontró 8. No se queda un poco corta: se queda un 40 % corta.
  
  $N P_{2} = \frac{100}{21.208} = 4.72 ⟷ π_{2} (100) = 8$
4. La independencia es el paso falso, y basta un primo para verlo. Toma un primo impar p: un n al azar queda eliminado por p una vez de cada p, pero la pareja queda eliminada siempre que n o n+2 sea divisible por p, que son dos restos de p. La tasa de supervivencia es (p−2)/p, no el cuadrado de (p−1)/p que suponía la independencia.
  
  $p > 2 : n \equiv 0 \lor n + 2 \equiv 0 (mod p) ⟹ \frac{p - 2}{p} \neq = (\frac{p - 1}{p})^{2}$
5. Multiplica esa corrección sobre todos los primos impares y converge a una constante. Su doble es 1,3203, y aplicarla eleva la estimación a 6,23.
  
  $2 C_{2} = 2 p > 2 \prod \frac{p ( p - 2 )}{( p - 1 ) ^{2}} = 1.3203 ⟹ 1.3203 \times 4.72 = 6.23$
6. Sigue por debajo de 8 en N = 100 — la estimación es asintótica y 100 es un número pequeño. Converge: 156 pares previstos por debajo de 10⁴, 6917 por debajo de 10⁶.
  
  $N = 1 0^{4} : 156 N = 1 0^{6} : 6917$
Respuesta

El recuento ingenuo es 4,72, el corregido 6,23, y la verdad es 8 — y el factor de corrección 1,3203 es un producto infinito sobre los primos. Esa constante es el precio de suponer independencia donde no la hay, y tiene la forma de casi toda pregunta difícil de la materia: los primos son lo bastante aleatorios para que una heurística funcione, y lo bastante estructurados para que necesite una corrección que nadie sabe deducir desde cero. La conjetura de los primos gemelos afirma que a esta estimación nunca se le acaban los pares, y sigue abierta.

$π_{2} (N) \sim 2 C_{2} \frac{N}{( ln N ) ^{2}}, 2 C_{2} = 1.3203 : 4.72 \to 6.23 ⟷ 8$

Referencias (4)

Why the page’s most convincing pattern is not a law — the difference changes sign infinitely often: J. E. Littlewood, "Sur la distribution des nombres premiers." Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, Paris 158, 1869–1872, 1914. No DOI: the volume predates them.
How far the first sign change has been pinned down, and where the 1.4×10³¹⁶ comes from: C. Bays & R. H. Hudson, "A new bound for the smallest x with π(x) > li(x)." Mathematics of Computation 69, 1285–1296, 1999.
How far the Riemann hypothesis has actually been verified — note this is a bound on height, a different measure from a count of zeros: D. J. Platt & T. S. Trudgian, "The Riemann hypothesis is true up to 3·10^12." Bulletin of the London Mathematical Society 53, 792–797, 2021.
The prize, and its official problem statement: Clay Mathematics Institute, Millennium Prize Problems — the Riemann Hypothesis.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-06-20

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

Pequeño (100) - Criba hasta 100 y ganará la estimación más tosca: N/ln N da 21,7, fallando por un 13,1%, frente a Li(100) = 29,1 que se desvía un 16,3%. Es el único preajuste donde esto sucede. Sube a 500 y el error de Li caerá al 6,2%, mientras que el de N/ln N se planta en el 15,3% para no moverse.
Mediano (500) - 95 primos menores que 500, en 24 pares gemelos. La mayor separación es de 14: el tramo que va desde 113 hasta 127 no contiene ningún primo. Este récord se mantiene hasta 523, donde se abre un hueco de 18. Una separación récord no crece de forma constante con N; simplemente espera.
Columnas frías - 154 primos menores que 900, formando 35 pares gemelos. Avanza hasta 1000 y encontrarás 14 primos más, pero ni un solo par nuevo: el último lo forman 881 y 883. Los primos gemelos escasean más rápido que los primos en general, y la cuestión de si alguna vez se terminan sigue abierta.
Ulam 400 - Los mismos 78 primos del modo cuadrícula, reubicados sobre una espiral cuadrada. No ha cambiado nada en los números. Las bandas diagonales surgen por el lugar que la espiral asigna a cada entero, y por eso una imagen puede sugerir patrones que la aritmética aún no ha confirmado.
TNP (1000) - π(1000) = 168. N/ln N da 144,8, con un error del 13,8%; Li(1000) da 177,0, desviándose un 5,3%. Ambas cumplen el Teorema de los Números Primos. Sin embargo, para los valores de N que alcanza esta herramienta solo una resulta útil, y Li siempre se sitúa por encima del recuento real.