Criba de primos y espiral de Ulam

La distribución precisa de los primos está controlada por los ceros de la función zeta de Riemann ζ(s). Los 10¹³ ceros no triviales conocidos se encuentran sobre la línea crítica Re(s) = 1/2. Demostrar esto para todos los ceros daría las cotas más precisas posibles para el conteo de primos — y ganaría el Premio del Milenio de 1 millón de dólares. A partir de 2025, sigue sin demostrarse.

La criba de Eratóstenes halla los primos por eliminación, no comprobando cada número. Empieza en 2, tacha todos sus múltiplos, salta al siguiente número superviviente y repite; lo que nunca se tacha es primo. El truco ingenioso: para cribar todos los números hasta n, solo hace falta eliminar los múltiplos de los primos hasta √n. Así, para todo lo menor que 100 basta con tachar los múltiplos de 2, 3, 5 y 7.

En 1963, el matemático Stanisław Ulam, aburrido durante una charla, garabateó los enteros en una espiral cuadrada y sombreó los primos — y aparecieron sorprendentes franjas diagonales. Esas diagonales siguen fórmulas cuadráticas ricas en primos como n² + n + 41 de Euler, que da un primo para cada n de 0 a 39. Por qué ciertas diagonales siguen tan densas aún no se entiende del todo.