Explorador de convergencia de series

Observa cómo crecen las sumas parciales. ¿Converge la serie a un límite finito o diverge?

Ejemplo resuelto — Explorador de convergencia de series

S50	4.499205
Convergencia	DIVERGE
Último término a(50)	0.02
Criterio del cociente \|a(N)/a(N−1)\|	0.98 (→1, no concluyente)

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Límites de sumación infinita 🖖

La convergencia de series examina si los términos acumulados se acercan a un límite finito. La serie armónica diverge, mientras que la geométrica garantiza límites bajo estrictas restricciones de proporción.

Qué es realmente una suma parcial 🖖

Una serie infinita nunca se suma de golpe. En su lugar se sigue la suma parcial S_N, el total acumulado de los primeros N términos, y se observa hacia dónde tiende al crecer N. En la gráfica, si esa curva se aplana hacia una línea horizontal, la serie converge a esa altura; si sigue subiendo, diverge. La convergencia es solo una sucesión de totales que se estabiliza.

Cómo la serie armónica apila bloques 🖖

Apila bloques iguales en el borde de una mesa. El de arriba puede sobresalir del borde como máximo ½ H_N, la mitad de la N-ésima suma parcial armónica. Como la serie armónica diverge, ese voladizo no tiene límite: con suficientes bloques, el de arriba queda por completo más allá del borde. Bastan 4 bloques para superar la longitud de un bloque entero, ya que H₄ ≈ 2.08.

TEORÍA DE SERIES — QUÉ CRITERIO DE CONVERGENCIA USAR

Elegir el criterio de convergencia: adapta el criterio a la forma

Ningún criterio resuelve todas las series. Cada uno está pensado para una forma concreta del término general — razón constante, potencia simple de n, factorial, signos alternados — y aplicar el equivocado suele devolver «no concluyente» en lugar de una respuesta errónea. Lee primero el término, reconoce su forma, y el criterio se elige solo.

Criterio del término n-ésimo — solo puede probar divergencia lim a_n ≠ 0 ⇒ ∑a_n → ∞

Geométrica — razón constante entre términos Σarⁿ, |r| < 1

Serie p — una potencia simple de n debajo Σ1/n^p, p > 1

Criterio del cociente — factoriales y potencias n-ésimas L = lim |a_n+1/a_n|

Alternada — el signo cambia en cada término Σ(−1)ⁿb_n, b_n ↓ 0

Telescópica — el interior de la suma se cancela Σ[f(n) − f(n+1)]

Criterio del término n-ésimo — solo puede probar divergencia

El término tiene la forma: Cualquier serie. Compruébalo primero; cuesta un único límite.

Criterio: lim a_n ≠ 0 ⇒ ∑a_n → ∞

Ejemplo resuelto: Σ1/n tiene aₙ → 0, así que el criterio no dice nada — y la serie diverge igualmente.

Abrir este caso: Armónica

Criterio del término n-ésimo — solo puede probar divergencia. Las sumas parciales armónicas siguen subiendo aunque los términos individuales se desvanezcan. Cualquier serie. Compruébalo primero; cuesta un único límite. — Las sumas parciales armónicas siguen subiendo aunque los términos individuales se desvanezcan.

Geométrica — razón constante entre términos

El término tiene la forma: Cada término es un múltiplo fijo del anterior: aₙ₊₁/aₙ = r, la misma r siempre.

Criterio: Σarⁿ, |r| < 1

Ejemplo resuelto: Σ(1/2)ⁿ tiene r = 1/2, así que converge — y el total es exactamente a/(1 − r).

Abrir este caso: Geométrica

Geométrica — razón constante entre términos. Razón constante menor que 1: las sumas parciales se aplanan sobre el límite exacto. Cada término es un múltiplo fijo del anterior: aₙ₊₁/aₙ = r, la misma r siempre. — Razón constante menor que 1: las sumas parciales se aplanan sobre el límite exacto.

Serie p — una potencia simple de n debajo

El término tiene la forma: El término es 1/nᵖ y nada más: sin factoriales, sin signo alternado.

Criterio: Σ1/n^p, p > 1

Ejemplo resuelto: 1/n² converge (p = 2); 1/n diverge (p = 1). La frontera está justo en p = 1.

Abrir este caso: p-serie

Serie p — una potencia simple de n debajo. p = 2 se estabiliza rápido mientras p = 1 sigue subiendo. El umbral es exactamente p = 1. El término es 1/nᵖ y nada más: sin factoriales, sin signo alternado. — p = 2 se estabiliza rápido mientras p = 1 sigue subiendo. El umbral es exactamente p = 1.

Criterio del cociente — factoriales y potencias n-ésimas

El término tiene la forma: El término contiene n!, cⁿ o nⁿ. Calcula L = lim |aₙ₊₁/aₙ|.

Criterio: L = lim |a_n+1/a_n|

Ejemplo resuelto: Σ1/n! da L = lim 1/(n+1) = 0 < 1, así que converge — y muy rápido.

Abrir este caso: Serie e−1

Criterio del cociente — factoriales y potencias n-ésimas. 1/n! se desploma sobre su límite en apenas unos términos. El término contiene n!, cⁿ o nⁿ. Calcula L = lim |aₙ₊₁/aₙ|. — 1/n! se desploma sobre su límite en apenas unos términos.

Alternada — el signo cambia en cada término

El término tiene la forma: El término lleva (−1)ⁿ, y las magnitudes decrecen de forma sostenida hasta cero.

Criterio: Σ(−1)ⁿb_n, b_n ↓ 0

Ejemplo resuelto: Σ(−1)ⁿ⁺¹/n converge a ln 2, aunque Σ1/n diverja.

Abrir este caso: Armónica alt.

Alternada — el signo cambia en cada término. Las sumas parciales se pasan y se quedan cortas por turnos, cerrándose sobre el límite. El término lleva (−1)ⁿ, y las magnitudes decrecen de forma sostenida hasta cero. — Las sumas parciales se pasan y se quedan cortas por turnos, cerrándose sobre el límite.

Telescópica — el interior de la suma se cancela

El término tiene la forma: El término se parte en una diferencia f(n) − f(n+1), normalmente por fracciones parciales.

Criterio: Σ[f(n) − f(n+1)]

Ejemplo resuelto: 1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1), así que Sₙ = 1 − 1/(n+1) → 1.

Abrir este caso: Telescópica

Telescópica — el interior de la suma se cancela. Todo lo que hay entre el primer y el último término se cancela, dejando Sₙ = 1 − 1/(n+1). El término se parte en una diferencia f(n) − f(n+1), normalmente por fracciones parciales. — Todo lo que hay entre el primer y el último término se cancela, dejando Sₙ = 1 − 1/(n+1).

Referencias (1)

Insight block 3 — the block-stacking overhang, and how far it really goes: J. F. Hall, "Fun with stacking blocks." American Journal of Physics 73(12), 1107–1116, 2005 — including the harmonic single-wide stack and the much larger overhangs multi-wide stacks allow.

Problema resuelto al detalle

La suma parcial 50 de 1 + 1/2 + 1/3 + … 5 pasos
La 50.ª suma parcial de 1 + 1/2 + 1/3 + … es 4,499, los términos han bajado a 0,02 y el criterio del cociente da 0,98. Todo en el panel sugiere convergencia. Demuestre que diverge —y calcule después cuánto tendría que avanzar para alcanzar 100.
1. Descarte primero el criterio del cociente. Compara términos consecutivos, y para 1/n ese cociente es (n − 1)/n, que sube a 1 desde abajo pase lo que pase. El criterio devuelve inconcluyente, no converge. Una página que mostrase 0,98 sin esa palabra sería engañosa por omisión.
  
  $\frac{a _{50}}{a _{49}} = \frac{49}{50} = 0.98 ⟶ 1 (test inconclusive)$
2. La demostración es de Oresme y tiene siete siglos de antigüedad. Agrupe los términos en bloques que terminen en cada potencia de dos: 1/3 + 1/4 supera a 1/2, los cuatro términos siguientes superan a 1/2, y los ocho siguientes también. Cada bloque aporta al menos la mitad, y hay infinitos bloques.
  
  $n = 1 \sum 2^{m} \frac{1}{n} \geq 1 + \frac{m}{2} ⟹ unbounded$
3. Eso resuelve la divergencia pero no ofrece un ritmo, y el ritmo es lo que hace creíble la divergencia frente a una suma mostrada de 4,5. Comparar la suma con ∫dx/x proporciona uno: las sumas parciales siguen a ln n más una constante, y esa constante es γ.
  
  $H_{n} = ln n + γ + \frac{1}{2 n} + O (n^{- 2}), γ = 0.5772157$
4. Pruébelo. ln 50 + γ = 4,489239 frente al valor mostrado de 4,499205, y la diferencia de 0,009967 es el siguiente término del desarrollo, 1/2n = 0,01. La aproximación no solo es cercana; es cercana de un modo que predice su propio error.
  
  $ln 50 + γ = 4.489239, 4.499205 - 4.489239 = 0.009967 \approx \frac{1}{2 \times 50}$
5. Inviértalo pues. Una suma de 10 requiere unos e^(10−γ) ≈ 12 000 términos. Una suma de 100 requiere e^(100−γ).
  
  $H_{n} = 100 ⟹ n \approx e^{100 - γ} = 1.5 \times 1 0^{43}$
Respuesta

La herramienta muestra 4,499205 tras 50 términos y califica la serie de divergente, y ambas cosas son ciertas a la vez, lo cual constituye toda la dificultad de este ejemplo. La suma crece como ln n, por lo que con el tiempo supera cualquier objetivo finito. Alcanzar 10 requiere unos 12 000 términos; alcanzar 100 requiere 1,5 × 10⁴³. La divergencia es una afirmación sobre la eternidad, no sobre los próximos miles de términos, y 1/n es la prueba estándar de que no son la misma cosa. Cambie la serie a 1/n² y los mismos 50 términos se estabilizan en 1,625 y se quedan ahí: π²/6 es 1,645, y la totalidad del resto infinito apenas vale 0,02.

$H_{50} = 4.499205, H_{n} \sim ln n ⟹ H_{n} = 100 at n \approx 1.5 \times 1 0^{43}$

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-07-26

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

Armónica - S₅₀ = 4.499205 y sigue subiendo — los términos bajan a 0.02 y la suma diverge igualmente
Basilea (π²/6) - S₅₀ = 1.625133 frente a π²/6, todavía a 0.0198 tras cincuenta términos
Serie e−1 - S₁₅ = 1.718282, a 5.0404 × 10⁻¹⁴ de e−1 — quince términos, catorce decimales
Armónica alt. - S₅₀ = 0.6832472 → ln 2, y solo a 0.0099: más cerca que Basel con los mismos cincuenta términos
Geométrica - S₂₀ = 0.999999, error 9.5367 × 10⁻⁷ — el único ajuste donde el criterio del cociente decide
Telescópica - S₃₀ = 0.9677419 → 1, error 0.0323: convergente, pero el criterio del cociente no puede demostrarlo
p-serie - p = 2 da ζ(2.0) y S₅₀ = 1.625133; baja p a 1 y la misma serie diverge