Explorador de la ley de la inversa del cuadrado

La fuerza, la irradiancia y el flujo decaen todos como 1/r² — porque se reparten sobre una esfera cuya superficie crece como 4πr².

Ejemplo resuelto — Explorador de la ley de la inversa del cuadrado

G	6.674×10⁻¹¹ Nm²kg⁻²
m₁	5.97×10²⁴ kg
m₂	1 kg
Distancia r	6.37×10⁶ m
r²	4.06×10¹³ m²
Superficie de la esfera 4πr²	5.10×10¹⁴ m²

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

La Voyager 1 funciona con 22 W — y todavía podemos escucharla 🖖

La Voyager 1 está ahora a ~163 UA del Sol (≈ 2,4 × 10¹³ m). Si sustituimos eso en la fórmula de irradiancia: E = 3,828 × 10²⁶ / (4π × (2,4 × 10¹³)²) ≈ 0,051 W/m² — unas 26 600 veces más débil que la luz solar en la Tierra, que es justo 163². Los paneles solares serían inútiles. Por eso la Voyager funciona con desintegración radiactiva (un generador termoeléctrico de radioisótopos) que produce unos 250 W de electricidad utilizable. Su transmisor de radio emite a 22 W — más o menos lo que consume una tira de LED tenue. Cuando la señal llega a las antenas de la Red del Espacio Profundo de la Tierra (de 70 m de diámetro), la ley 1/r² ya ha repartido esos 22 W sobre una esfera del tamaño del sistema solar interior. La potencia recibida es de apenas unos 10⁻¹⁸ W. Por eso las antenas receptoras deben ser enormes y por eso la NASA tiene que enfriar los receptores casi hasta el cero absoluto para poder oír la señal. La misma ley, la misma geometría — ya sea la luz del sol calentando tu cara o el susurro del artefacto más distante creado por la humanidad.

Por qué al doble de distancia hay un cuarto de brillo 🖖

La regla es pura geometría. La energía que sale de una fuente puntual se reparte de manera uniforme sobre la superficie de una esfera en expansión, cuya área crece como 4πr². Al duplicar la distancia, esa misma energía cubre cuatro veces más área, así que la intensidad cae a un cuarto, no a la mitad. Por eso te enfrías tan rápido al alejarte de una fogata, y por eso esta herramienta traza la gravedad, la luz y la fuerza eléctrica sobre una misma curva.

La ley 1/r² es una huella del espacio 3D 🖖

El exponente no es arbitrario: equivale al número de dimensiones espaciales menos uno. Obtenemos 1/r² porque el área de una esfera crece como r² en tres dimensiones. En un universo hipotético de 4D, la gravedad decaería como 1/r³, y Paul Ehrenfest demostró en 1917 que las órbitas planetarias serían entonces inestables: los planetas caerían hacia la estrella o saldrían despedidos. Que existan sistemas solares estables, y vida, quizá dependa de que el espacio tenga exactamente tres dimensiones.

Problema resuelto al detalle

La única órbita en la que un satélite permanece inmóvil 5 pasos
La Tierra atrae a 1 kg en su superficie con 9,82 N. Usa solo eso para hallar la única órbita en la que un satélite permanece inmóvil sobre un punto del ecuador. Esto es Gravedad con m₁ = 5,972 × 10²⁴ kg, m₂ = 1 kg y r = 6371 km.
1. La ley de Newton con los números introducidos. Lo que importa para el resto no son los 9,82 N, sino el producto GM = 3,986 × 10¹⁴ en unidades del SI, porque la masa propia del satélite está a punto de cancelarse y no volver a aparecer.
  
  $r^{2} = (6.371 \times 1 0^{6})^{2} = 4.06 \times 1 0^{13} m^{2}; F = \frac{G m _{1} m _{2}}{r ^{2}} = \frac{3.986 \times 1 0 ^{14} \times 1}{4.06 \times 1 0 ^{13}} = 9.82 N$
2. Una órbita circular es esa misma aceleración gravitatoria, empleada como aceleración centrípeta. Al igualar ambas, se elimina la masa en órbita y queda una única relación entre un radio y una velocidad angular.
  
  $\frac{GM}{r ^{2}} = ω^{2} r ⟹ r^{3} = \frac{GM}{ω ^{2}}$
3. La velocidad angular viene impuesta, no se elige: para mantenerse sobre un punto fijo, el satélite debe girar exactamente a la par que la Tierra. La Tierra gira una vez cada 86 164 s en lugar de 86 400 s, porque un día solar también tiene que compensar el tramo que la Tierra ha recorrido a lo largo de su órbita. Usar 86 400 sitúa la órbita 77 km demasiado alta, y un satélite en el radio equivocado no permanece sobre su punto.
  
  $ω = \frac{2 π}{86 164 s} = 7.292 \times 1 0^{- 5} rad/s, ω^{2} = 5.318 \times 1 0^{- 9} s^{- 2}$
4. Calcula la raíz cúbica. Los 42 163 km se miden desde el centro de la Tierra, por lo que restar los 6371 km que ya figuran en el panel deja unos 35 790 km de altitud; los 35 786 km citados habitualmente corresponden a la misma órbita medida desde el radio ecuatorial, que es 7 km mayor.
  
  $r^{3} = \frac{3.986 \times 1 0 ^{14}}{5.318 \times 1 0 ^{- 9}} = 7.495 \times 1 0^{22} m^{3} ⟹ r = 4.2163 \times 1 0^{7} m = 42163 km$
5. La gravedad allí fuera obedece a la mismísima ley que representa esta página. El radio ha aumentado en un factor de 6,62, por lo que el cuadrado de dicha cifra indica cuánto se ha debilitado la atracción.
  
  $(\frac{42 163}{6371})^{2} = 43.8 ⟹ g (r) = \frac{9.82}{43.8} = 0.2242 m/ s^{2}$
Respuesta

La herramienta muestra 9,82 N sobre 1 kg, para una distancia al cuadrado de 4,06 × 10¹³ m². Lo que se deduce de ahí no es una altitud elegida a voluntad: 42 163 km es el único radio cuyo período orbital coincide con la rotación de la Tierra, de modo que la órbita geoestacionaria es una solución matemática más que una decisión de diseño. Eso convierte al cinturón geoestacionario en una circunferencia de 264 900 km de perímetro, y todo satélite que deba permanecer fijo —televisión, meteorología, la mayoría de repetidores— tiene que situarse en algún punto de ella. Un grado de esa circunferencia equivale a 736 km, razón por la cual las posiciones se asignan mediante tratados internacionales en lugar de reclamarse libremente. Y la atracción allí fuera es 43,8 veces más débil que a tus pies, lo que equivale a seguir la curva 1/r² de esta página hasta una distancia de seis radios terrestres y medio.

$r_{GEO} = 3 \frac{GM}{ω ^{2}} = 42163 km, 2 π r_{GEO} = 264900 km$

Referencias (1)

Voyager transmitter power, antenna sizes and received signal levels: R. Ludwig and J. Taylor, "Voyager Telecommunications." DESCANSO Design and Performance Summary Series, Article 4. Jet Propulsion Laboratory, 2002.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-08-17

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

Superficie terrestre - Gravedad en la superficie terrestre (m2=1 kg): F ≈ 9.8 N — eso equivale a 1 kg-fuerza
Órbita lunar - Distancia orbital de la Luna: 1 kg experimenta F ≈ 0.0027 N — ≈3600× más débil que en la superficie
Luz solar en la Tierra - Luz solar en la Tierra (1 AU): irradiancia ≈ 1361 W/m² — la constante solar
Doble distancia - 2× la distancia de la Tierra: la irradiancia cae a ≈ 340 W/m² — exactamente ¼ de la constante solar
Protones - Protón-protón a 1 fm: fuerza de Coulomb ≈ 230 N — debe ser superada por la fuerza fuerte