Interceptación de Misiles y Navegación Proporcional

Un interceptador en (22, 2) km volando a 1500 m/s, un blanco en (5, 19) km volando a 900 m/s con un rumbo de -14°, y el interceptador lanzado directamente a lo largo de la línea de vista. Con una constante de navegación N = 3, ¿qué aceleración lateral exige la navegación proporcional en el primer instante y por qué exige algo en absoluto, cuando el misil ya apunta exactamente al blanco?

1. Reste las dos posiciones: 17 km hacia la izquierda y 17 km hacia arriba. La simetría de 45° es un regalo, ya que R² resulta ser exactamente 578 y todos los pasos siguientes dividen por esa cifra.

   $$\vec{r}=(5-22,19-2)=(-17,17)\mathrm{km};R=17\sqrt{2}=24.04\mathrm{km};\lambda =atan2(17,-17)=135.0^{\circ }$$

2. El blanco no realiza maniobras en este enfrentamiento, por lo que su vector de velocidad nunca cambia. Descompóngalo una vez y reutilícelo.

   $${\vec{v}}_T=900(\cos (-14^{\circ }),\sin (-14^{\circ }))=(873.3,-217.7)m/s$$

3. El interceptador se lanza a lo largo de la línea de vista, por lo que su rumbo ψ₀ también es de 135°. Reste las dos velocidades y obtendrá el único vector que la ley de guiado examina.

   $${\psi }_0=\lambda ⟹{\vec{v}}_I=(-1060.7,1060.7);{\vec{v}}_{\mathrm{rel}}={\vec{v}}_T-{\vec{v}}_I=(1933.9,-1278.4)m/s$$

4. La velocidad de cierre es la parte de la velocidad relativa a lo largo de la línea de vista, con el signo invertido para que el acercamiento cuente como positivo. Solo esa parte reduce la distancia.

   $$V_c=-\frac{\vec{r}\cdot {\vec{v}}_{\mathrm{rel}}}{R}=\frac{54.609}{24.0416}=2.2714km/s=2271m/s$$

5. Lo que queda de la velocidad relativa apunta transversalmente a la línea de vista, y eso es lo que hace girar la marcación. Divídalo por la distancia para obtener la velocidad angular. No es cero, por lo que, a pesar de la puntería perfecta, este no es un rumbo de colisión.

   $$\dot{\lambda }=\frac{r_x{v}_{\mathrm{rel},y}-r_y{v}_{\mathrm{rel},x}}{R^2}=\frac{21.733-32.877}{578}=-0.0193rad/s=-1.10^{\circ }/\mathrm{s}$$

6. La navegación proporcional multiplica estas dos lecturas entre sí, las escala por N y llama al producto una aceleración. Nada en la ley sabe adónde se dirige el blanco; sabe a qué velocidad deriva la marcación y a qué velocidad disminuye la distancia, y eso es todo.

   $$a_{\mathrm{cmd}}=N{V}_c\dot{\lambda }=3(2271)(-0.019280)=-131.4m/{\mathrm{s}}^2=13.4g$$

7. Ahora obtenga la misma tasa de una segunda forma, sin ningún producto escalar. Descomponga la velocidad propia del blanco perpendicularmente a la línea de vista.

   $$\hat{p}\perp \vec{r}:{\vec{v}}_T\cdot \hat{p}=900\sin (-14^{\circ }-135^{\circ })=-900\sin 31^{\circ }=-463.5m/s$$

8. El interceptador no aporta nada en dirección transversal a la línea de vista, porque fue lanzado a lo largo de ella. Cada parte de los 463,5 m/s de deriva transversal corresponde al blanco, y dividir por los 24.042 m de distancia reproduce exactamente el paso 5.

   $${\vec{v}}_I\cdot \hat{p}=0⟹\dot{\lambda }=\frac{{\vec{v}}_{\mathrm{rel}}\cdot \hat{p}}{R}=\frac{-463.5}{24042}=-0.0193rad/s$$