Simulador de Física de Radar

Observa cómo un solo pulso de radar sale disparado a la velocidad de la luz, rebota en un objetivo y regresa — su tiempo da la distancia, su intensidad la detectabilidad y su cambio de frecuencia la velocidad.

Valores iniciales — Simulador de Física de Radar

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Reducir a la mitad el alcance cuesta dividir por 16 la sección radar 🖖

La potencia recibida cae como 1/R⁴ —el pulso se dispersa a la ida y el eco se dispersa a la vuelta—, así que el alcance de detección escala con la raíz cuarta de la sección radar. Esa raíz cuarta es brutal en ambos sentidos. Los ejemplos de RCS de esta herramienta van de 0,01 m² para un avión furtivo a 1000 m² para un barco, un intervalo de 100.000, y sin embargo los alcances resultantes solo difieren en 100000^¼ ≈ 17,8. Frente al caza de 5 m², un diseño furtivo recorta la sección 500 veces y compra una reducción de alcance de apenas 500^¼ ≈ 4,7. Cada nueva división por dos del alcance al que te detectan cuesta otro factor de dieciséis.

Un eco, tres respuestas 🖖

El radar emite un único pulso de ondas de radio y lee el eco que regresa de tres maneras a la vez. El retardo hasta que vuelve da la distancia (R = c·Δt/2, dividida entre dos porque el pulso hace un viaje de ida y vuelta); la intensidad del eco indica si el blanco es siquiera detectable; y cualquier desplazamiento de su frecuencia revela a qué velocidad se acerca o se aleja. Conclusión: la luz es tan rápida que un blanco a 150 km responde en menos de un milisegundo.

Cómo un avión puede ocultarse a la velocidad justa 🖖

El radar MTI (indicación de blancos móviles) rechaza el retorno del terreno ignorando los ecos cuya frecuencia no cambia de un pulso al siguiente. Pero un blanco que vuela a una velocidad ciega —donde su desplazamiento Doppler cae en un múltiplo exacto de la PRF— parece inmóvil entre pulsos y se filtra junto con las colinas. Esas velocidades siguen v = n·λ·PRF/2; con λ = 0.1 m y PRF = 1000 Hz la primera es 50 m/s. Los radares reales varían su PRF para cerrar esos huecos.

Problemas resueltos al detalle

Un caza a 90 km con una sección transversal de radar de 5 m² 7 pasos
Un caza a 90 km de distancia, con una sección eficaz de radar de 5 m². El equipo transmite 100 kW a 3 GHz a través de una antena con una ganancia de 1000, y su receptor registra una detección a -120 dBm. Calcule la señal que regresa y, a continuación, a qué distancia podría ver este radar si el blanco continuara alejándose.
1. El pulso recorre la distancia dos veces, por lo que el reloj mide un trayecto de 180 km, no de 90. Divida entre dos antes de dividir por c, o cada alcance que calcule saldrá duplicado: 600 µs en este caso.
  
  $Δ t = \frac{2 R}{c} = \frac{2 \times 9 \times 1 0 ^{4}}{3 \times 1 0 ^{8}} = 6 \times 1 0^{- 4} s = 600 μ s$
2. La frecuencia determina la longitud de onda, y esta interviene por partida doble: fija la sensibilidad Doppler y determina qué cantidad de la onda que regresa puede captar la antena. A 3 GHz, λ = 0,1 m.
  
  $λ = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 1 0 ^{8}}{3 \times 1 0 ^{9}} = 0.1 m$
3. Ahora la parte que dificulta el radar. En el trayecto de ida, la potencia se propaga sobre una esfera, por lo que la densidad que llega al blanco disminuye como 1/R². El blanco intercepta una fracción σ de esa potencia y la vuelve a radiar, y la potencia reemitida se propaga también sobre una esfera: un segundo factor 1/R² independiente. La antena capta entonces a partir de un área efectiva A_e = Gλ²/4π.
  
  $S_{t} = \frac{P _{t} G}{4 π R ^{2}}, S_{r} = \frac{S _{t} σ}{4 π R ^{2}}, A_{e} = \frac{G λ ^{2}}{4 π}$
4. Multiplique los tres factores y los términos R² se elevan al cuadrado. La potencia recibida disminuye como R⁻⁴, de modo que un eco de radar no es solo débil, sino catastróficamente débil: duplique el alcance y el eco se reducirá en un factor de 16, no de 4.
  
  $P_{r} = S_{r} A_{e} = \frac{P _{t} G ^{2} λ ^{2} σ}{( 4 π ) ^{3} R ^{4}}$
5. Sustituya los datos. El numerador es 5×10⁹; el denominador es (4π)³ = 1984 por R⁴ = 6,56×10¹⁹, es decir, 1,30×10²³. El eco es de 3,84×10⁻¹⁴ W. Eso supone 38 femtovatios que regresan de un transmisor de 100 kW, y la proporción entre ambos constituye todo el problema.
  
  $P_{r} = \frac{1 0 ^{5} \cdot 1 0 ^{6} \cdot 1 0 ^{- 2} \cdot 5}{1984 \times ( 9 \times 1 0 ^{4} ) ^{4}} = \frac{5 \times 1 0 ^{9}}{1.30 \times 1 0 ^{23}} = 3.84 \times 1 0^{- 14} W$
6. Las potencias de radar abarcan 20 órdenes de magnitud, por lo que se expresan en dB relativos a un milivatio. 3,84×10⁻¹⁴ W equivale a -104 dBm, holgadamente por encima de los -120 dBm que necesita el receptor.
  
  $10 lo g_{10} (\frac{3.84 \times 1 0 ^{- 14}}{1 0 ^{- 3}}) = 10 lo g_{10} (3.84 \times 1 0^{- 11}) = - 104 dBm$
7. Ese margen se convierte en alcance, pero no de manera generosa. En vatios, el eco es 38,4 veces el umbral, y como la potencia varía según R⁻⁴, el alcance solo puede aumentar en la raíz cuarta de 38,4. Esto es 2,489, y 90 km × 2,489 = 224 km.
  
  $\frac{P _{r}}{P _{m i n}} = \frac{3.84 \times 1 0 ^{- 14}}{1 0 ^{- 15}} = 38.4 ⟹ R_{m a x} = 90 \times 38. 4^{1/4} = 90 \times 2.489 = 224 km$
Respuesta

224 km, y se ha necesitado un eco 38 veces más fuerte de lo que requiere el receptor para alcanzarlo. Existe un segundo límite oculto tras ese número, y nada en el panel lo muestra. Un eco desde 224 km tarda 2 × 224 km / c = 1,49 ms en regresar. Si se emite el siguiente pulso antes, el eco tardío llegará cuando ya haya salido un pulso nuevo, y el equipo no podrá determinar a qué pulso pertenece: notificará un blanco a 224 km como si estuviera cercano. De modo que el alcance de detección que acaba de deducir fija un límite máximo para la frecuencia de repetición de impulsos de unos 670 Hz. La distancia a la que un radar puede ver y la frecuencia con la que puede explorar están sujetas a un compromiso impuesto únicamente por la velocidad de la luz, y ninguna cantidad de potencia de transmisión puede alterar ese compromiso.

$\frac{2 R _{m a x}}{c} = 1.49 ms ⟹ PRF < \frac{1}{1.49 ms} = 670 Hz$
Un blanco con σ = 0,01 m² a 70 km 5 pasos
El mismo radar, aún con 100 kW a 3 GHz, observando ahora un blanco con σ = 0,01 m² a 70 km. Eso es una sección eficaz de radar 500 veces menor que la del caza, y está 20 km más cerca. Halle el eco y, a continuación, calcule a qué distancia tendría que estar para poder detectarse.
1. Solo ha cambiado un factor en el numerador: 10⁵ × 10⁶ × 10⁻² × 10⁻² = 10⁷. Con R⁴ a 70 km dando un denominador de 4,76×10²², el eco es de 2,1×10⁻¹⁶ W: 0,21 femtovatios.
  
  $P_{r} = \frac{1 0 ^{5} \cdot 1 0 ^{6} \cdot 1 0 ^{- 2} \cdot 1 0 ^{- 2}}{1984 \times ( 7 \times 1 0 ^{4} ) ^{4}} = \frac{1 0 ^{7}}{4.76 \times 1 0 ^{22}} = 2.1 \times 1 0^{- 16} W$
2. Observe lo descompensados que están ambos cambios. Acercarse de 90 km a 70 km multiplica el eco por (90/70)⁴ = 2,73; la sección eficaz lo divide por 500. La ganancia geométrica queda completamente anulada.
  
  $(\frac{90}{70})^{4} = 2.73 ≪ \frac{5}{0.01} = 500$
3. En dBm eso es -127, frente a un umbral del receptor de -120. El eco está por debajo del umbral, por lo que a 70 km este blanco no existe para el equipo.
  
  $10 lo g_{10} (2.1 \times 1 0^{- 13}) = - 127 dBm < - 120 dBm$
4. El alcance es la única variable que queda. En vatios, al eco le falta un factor de 10⁻¹⁵ / 2,1×10⁻¹⁶ = 4,76, y como aumenta según R⁻⁴, el alcance debe reducirse en la raíz cuarta de 4,76: un factor de 1,477. 70 km / 1,477 = 47,4 km.
  
  $\frac{P _{m i n}}{P _{r}} = \frac{1 0 ^{- 15}}{2.1 \times 1 0 ^{- 16}} = 4.76 ⟹ R = \frac{70}{4.7 6 ^{1/4}} = \frac{70}{1.477} = 47.4 km$
5. Se llega al mismo resultado partiendo del otro extremo, los 224 km del caza. El alcance de detección es proporcional a σ elevado a 1/4, por lo que dividir σ entre 500 divide el alcance entre 500 elevado a 1/4, que es 4,73. 224 / 4,73 = 47,4 km. Una misma ley, leída en ambas direcciones.
  
  $R_{m a x} \propto σ^{1/4} : \frac{224}{50 0 ^{1/4}} = \frac{224}{4.73} = 47.4 km$
Respuesta

Reducir la sección eficaz de radar entre 500 proporciona un factor de 4,73 en el alcance de detección, y esa raíz cuarta constituye toda la viabilidad económica de la baja observabilidad. También permite calcular el coste de la alternativa. Para situar de nuevo este blanco a 224 km recurriendo solo a la potencia hay que restablecer el producto P_tσ: σ se redujo entre 500, por lo que P_t debe aumentar por 500; de 100 kW a 50 MW. Ese es el argumento a favor de dar forma al blanco en lugar de agrandar el radar. Sin embargo, el exponente cobra el mismo precio al diseñador: cada reducción adicional a la mitad del alcance de detección cuesta otro factor de 16 en σ.

$R_{m a x} \propto (P_{t} σ)^{1/4} ⟹ P_{t} \to 500 \times 100 kW = 50 MW$

Referencias (2)

The radar range equation and the R⁴ two-way loss: M. I. Skolnik, Introduction to Radar Systems, 3rd ed., ch. 1–2. McGraw-Hill, 2001. ISBN 978-0-07-288138-7.
MTI, blind speeds and PRF staggering, behind the third block: M. A. Richards, Fundamentals of Radar Signal Processing, 2nd ed., ch. 5. McGraw-Hill, 2014. ISBN 978-0-07-179832-7.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-07-17

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

Distancia
El muro R⁴
Sigilo - Sigiloso, RCS=0.01 m² a 120 km — el alcance de detección es de solo 47 km
Doppler