Muestreo de señales y teorema de Nyquist

Deduzca desde cero la regla de los 6 dB por bit para un convertidor de 8 bits —¿de dónde sale ese 1,76 aislado?— y señale después lo que no garantiza.

1. El redondeo al nivel más cercano deja un error no mayor que medio escalón, y en una señal compleja ese error se distribuye de forma uniforme por todo el intervalo. Su varianza es la integral de e² sobre una distribución uniforme.

   $$\Delta =\frac{V_{FS}}{2^N},e\sim \mathcal{U}\left(-\frac{\Delta }{2},\frac{\Delta }{2}\right),{\sigma }_e^2=\frac{1}{\Delta }{\int }_{-\Delta /2}^{\Delta /2}{e}^{2}de=\frac{{\Delta }^2}{12}$$

2. La señal de referencia es una sinusoide que ocupa todo el rango de entrada, de modo que su potencia es la mitad del cuadrado de su amplitud.

   $$P_{\text{sig}}=\frac{(V_{FS}/2{)}^2}{2}=\frac{V_{FS}^2}{8}$$

3. Divida ambos valores. El rango a plena escala se cancela, motivo por el cual el resultado es una función exclusiva del número de bits y no de la tensión.

   $$\mathrm{SNR}=\frac{V_{FS}^2/8}{{\Delta }^2/12}=\frac{12}{8}{\left(\frac{V_{FS}}{\Delta }\right)}^2=\frac{3}{2}\cdot 2^{2N}$$

4. Tome logaritmos. El 6,02 es 20 log₁₀2 —un bit duplica el número de niveles— y el 1,76 es la fracción 3/2 sobrante de la línea anterior.

   $$\mathrm{SN}{\mathrm{R}}_{\mathrm{dB}}=10{\log }_{10}\frac{3}{2}+20N{\log }_{10}2=1.76+6.02N$$

5. Evalúe en 8 bits y luego en 16. Cada bit adicional aporta algo más de 6 dB, por lo que los ocho bits adicionales del audio de CD aportan 48 dB.

   $$N=8:6.02(8)+1.76=49.92\mathrm{dB};N=16:98.08\mathrm{dB}$$