Explorador de la ley de Benford

Elige un conjunto de números y compara sus primeros dígitos con la ley de Benford. Luego, cambia las unidades y observa qué conjuntos de datos varían.

Ejemplo resuelto — Explorador de la ley de Benford

Chi-cuadrado	0,2
Desviación media absoluta	0,08%
Peor dígito	7, se desvía en 0,2%

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Por qué el primer dígito es un 1 casi un tercio de las veces 🖖

Los nueve dígitos no tienen la misma probabilidad porque el primer dígito no se distribuye de manera uniforme entre los valores, sino entre los logaritmos. Pasar de 1 a 2 implica duplicar. Pasar de 8 a 9 supone un aumento del 12,5%. Una cantidad que crece por multiplicación pasa, por tanto, seis veces y media más tiempo empezando por 1 que empezando por 9. Además, el log₁₀(2) = 0,301 representa exactamente la fracción de una década que ocupa el tramo del 1 al 2. Todas las cifras de la ley provienen de ese único cálculo: log₁₀(1 + 1/d), que da como resultado un 30,1% para el 1 y un 4,6% para el 9.

Cambia las unidades y descubre qué datos iban a cumplirla en algún momento 🖖

Multiplicar todos los valores por una constante desplaza todos los logaritmos en la misma proporción, de modo que un conjunto que ya distribuye sus logaritmos uniformemente no sufre alteraciones. Esto es algo que aquí puedes comprobar en lugar de tener que aceptarlo sin más. Toma los números de Fibonacci, conviértelos como si fueran centímetros pasando a pulgadas, y luego millas a kilómetros: 30,1%, 30,1%, 30,0%, y el chi-cuadrado nunca sale del intervalo entre 0,03 y 0,19. Ahora haz lo mismo con las estaturas. En centímetros, todos los valores empiezan por 1. En pulgadas, el 86% empiezan por 6. En pies, el 96% empiezan por 5. Son las mismas personas. Conviene conocer una advertencia antes de probarlo: multiplicar por una potencia de diez mueve la coma decimal y nada más, así que ×100 deja todos los conjuntos de datos exactamente como estaban, incluidos los que fallan. Se encuentra en el conjunto de control a propósito.

El intervalo debe terminar en una década, y los datos reales nunca lo hacen 🖖

El consejo habitual afirma que la ley requiere datos que abarquen varios órdenes de magnitud. El consejo es correcto, pero el motivo que suele darse para justificarlo no lo es. Distribuye los valores uniformemente por logaritmo a lo largo de exactamente una década y coincidirán a la perfección con la ley (un 30,2% de 1 inicial, con un chi-cuadrado de 11,3 en cinco mil valores). No es una aproximación, ya que los logaritmos uniformes a lo largo de una década completa son Benford por definición. Dos, tres, cuatro, seis y diez décadas dan valores de chi-cuadrado de 8,1, 5,0, 4,8, 5,2 y 7,5. Todo correcto. Ahora ajusta el intervalo a 1,5 décadas. El chi-cuadrado es 456 y la ley se rechaza de plano en un rango más amplio que el que sí pasó la prueba. La media década sobrante cuenta sus dígitos bajos dos veces y nada lo compensa. Lo que salva a los datos reales es que ese sobrante deja de importar a medida que crece el intervalo. La penalización de la media década cae de 4.707 a las 0,5 décadas a 456 a las 1,5, pasando luego por 191, 101, 57 y 32 al llegar a las 6,5 décadas. Las mediciones reales nunca se detienen de forma exacta en una potencia de diez, así que lo que realmente te aportan esos varios órdenes de magnitud es un extremo irregular demasiado pequeño para tener importancia.

Problemas resueltos al detalle

Frecuencia esperada y contribución a chi-cuadrado para 24 de 200 declaraciones de gastos 6 pasos
Un auditor extrae 200 declaraciones de gastos y descubre que 24 de ellas empiezan por el dígito 1. ¿Es eso coherente con la ley de Benford? Calcula el recuento esperado, la contribución al chi-cuadrado de ese dígito por sí solo y qué necesitaría la prueba completa antes de que pudieras actuar.
1. Empieza por lo que predice la ley. La probabilidad de que el primer dígito sea 1 es log₁₀(1 + 1/1) = log₁₀ 2 = 0,30103, por lo que de las 200 declaraciones, el recuento esperado es 0,30103 × 200.
  
  $P (d = 1) = lo g_{10} (1 + \frac{1}{1}) = lo g_{10} 2 = 0.30103$
2. Eso da 60,2 declaraciones. El auditor encontró 24. El déficit es de 36,2 declaraciones, y se trata de un déficit en el dígito que, según la ley, debería ser el más común con gran diferencia.
  
  $E_{1} = 0.30103 \times 200 = 60.21 claims$
3. El chi-cuadrado suma un término por cada dígito, cada uno de ellos calculado como (observado − esperado)² ÷ esperado. Para el dígito 1 inicial, ese término es (24 − 60,21)² ÷ 60,21.
  
  $χ^{2} = d = 1 \sum 9 \frac{( O _{d} - E _{d} ) ^{2}}{E _{d}}$
4. (−36,21)² es 1.310,9, y al dividirlo entre 60,21 obtenemos 21,77. La prueba completa tiene ocho grados de libertad y su valor crítico al 5% es 15,507, así que este único dígito ya ha empujado al estadístico más allá del límite de rechazo por sí solo.
  
  $\frac{( 24 - 60.21 ) ^{2}}{60.21} = \frac{1310.9}{60.21} = 21.77$
5. Esto significa que la aritmética ha terminado, pero la inferencia no. El chi-cuadrado crece con la muestra. Las mismas proporciones en 2.000 declaraciones darían un término diez veces mayor, por lo que un conjunto de datos grande y legítimo puede suspender la prueba por una desviación que nadie consideraría un fraude. Esa es la razón por la que los auditores prefieren citar la desviación media absoluta, que no crece con n.
  
  $MAD = \frac{1}{9} d = 1 \sum 9 \frac{O _{d}}{n} - P (d)$
6. La conclusión rigurosa es que estas 200 solicitudes no presentan la distribución de primeros dígitos que predice la ley de Benford. Los propios dígitos no permiten saber qué demuestra esto: una empresa con un límite de aprobación de £999 puede acumular una gran cantidad de nueves iniciales por una razón del todo inocente, al igual que otra que reembolsa una cantidad diaria fija.
Respuesta

Se esperan 60,2 declaraciones que empiecen por 1; se encontraron 24. Ese dígito por sí solo aporta 21,77 a un estadístico cuyo valor crítico al 5% es 15,507. La prueba lo rechaza, pero rechazar no es lo mismo que detectar. La ley de Benford es un filtro que le indica al auditor dónde mirar. Todos los usos publicados de la ley con ese fin (desde los trabajos sobre impuestos de Mark Nigrini en la década de 1990 en adelante) tratan el fallo como un motivo para abrir el expediente, no como una conclusión sobre él. La herramienta muestra la desviación media absoluta junto al chi-cuadrado exactamente por este motivo. Cambia a un conjunto de datos de 5.000 y observa cómo sube el chi-cuadrado mientras la desviación apenas se mueve.
Un chi-cuadrado de 0,2 y por qué es el que levanta sospechas 6 pasos
Carga el preajuste Fibonacci. El chi-cuadrado marca 0,2 frente a un valor crítico al 5% de 15,507, así que la secuencia pasa la prueba con holgura. Calcula qué probabilidad tiene un ajuste tan bueno y decide después qué debería decirle a un auditor un chi-cuadrado tan pequeño.
1. Empieza comparando los recuentos. Mil números de Fibonacci colocan 301 valores en la casilla del 1 inicial frente a los 301,03 que pide la ley, y la mayor discrepancia de las nueve casillas está en el dígito 7: 56 observados contra 57,99 esperados. Eso no es acercarse. Es casi exacto.
  
  $O = (301, 177, 125, 96, 80, 67, 56, 53, 45), E = (301.0, 176.1, 124.9, 96.9, 79.2, 67.0, 58.0, 51.2, 45.8)$
2. Un chi-cuadrado con ocho grados de libertad tiene media 8 y desviación típica 4. La tarjeta redondea a 0,2 y el valor que hay detrás es 0,1695: dos desviaciones típicas por debajo de la media de un estadístico que no puede bajar de cero.
  
  $χ^{2} = 0.1695 on 8 df, E [χ_{8}^{2}] = 8, sd = 16 = 4$
3. Aquí la cola inferior tiene forma cerrada, porque con ocho grados de libertad la gamma incompleta se reduce a cuatro términos. No hace falta ninguna tabla.
  
  $P (χ_{8}^{2} \leq x) = 1 - e^{- x /2} (1 + \frac{x}{2} + \frac{( x /2 ) ^{2}}{2} + \frac{( x /2 ) ^{3}}{6})$
4. Al meter 0,1695 se obtiene 2,0 × 10⁻⁶. Cerca de una muestra de cada medio millón se ajusta tan bien a la ley. Cambia el conjunto de datos a la muestra log-uniforme del mismo tamaño, que es el propio mecanismo extraído al azar, y la tarjeta marca 5,6.
  
  $P (χ_{8}^{2} \leq 0.1695) = 2.0 \times 1 0^{- 6} (1 in 498, 235)$
5. La explicación es que los números de Fibonacci nunca fueron una muestra. log₁₀ Fₖ es k log₁₀ φ menos una constante, así que los primeros dígitos los deciden las partes fraccionarias de los múltiplos de 0,2089876…, y ese número es irracional. Weyl demostró en 1916 que una sucesión así se reparte de manera uniforme.
  
  $lo g_{10} F_{k} = k lo g_{10} φ - lo g_{10} 5 + o (1), lo g_{10} φ = 0.2089876 \dots \in / Q$
6. Y se reparte mejor de lo que consigue el azar. Los huecos que deja una rotación de este tipo se encogen como log N entre N, mientras que N extracciones aleatorias dejan huecos del orden de 1/√N, y el chi-cuadrado va como N por el cuadrado de ese hueco. Mil términos deterministas le sacan por eso mucha ventaja a mil aleatorios, y 0,17 es el aspecto que tiene esa ventaja.
  
  $D_{N} = O (\frac{l o g N}{N}) vs O (N^{- 1/2}), χ^{2} \sim N D_{N}^{2}$
Respuesta

Una entre 500.000 bajo cualquier modelo aleatorio, lo que convierte el buen ajuste en la prueba de que estos datos no se muestrearon en absoluto. Una prueba de chi-cuadrado hace una sola pregunta: ¿se aleja el conjunto de la ley más de lo que permite el azar? No tiene forma de decir que unos datos se acercan demasiado, y la línea del veredicto dice lo mismo con 0,17 que con 8.

Para un auditor eso invierte la lectura habitual. Un libro de cuentas que reproduce a Benford con dos decimales tiene un problema, y es el problema que R. A. Fisher planteó en 1936 sobre los guisantes de Mendel, donde la concordancia con la teoría era más estrecha de lo que el muestreo puede producir. Quien ha leído sobre la ley de Benford y genera los dígitos a partir de ella deja esta firma, y se ve mejor que el fraude para el que se ideó la prueba: la contabilidad honrada llega con los bordes irregulares de una muestra real, y mil números de Fibonacci no.

$χ^{2} = 0.17 ⟹ not a sample; {k lo g_{10} φ} equidistributed (Weyl, 1916)$

Referencias (3)

The observation, made fifty-seven years before the law was named after somebody else: S. Newcomb, "Note on the Frequency of Use of the Different Digits in Natural Numbers." American Journal of Mathematics 4 (1881), p. 39.
Why the law is scale-invariant, which is the property the unit switch on this page tests: T. P. Hill, "A Statistical Derivation of the Significant-Digit Law." Statistical Science 10 (1995).
The paper the law is named for, and the one that first checked it against real data: F. Benford, "The Law of Anomalous Numbers." Proceedings of the American Philosophical Society 78 (1938), 551-572.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-08-27

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

Fibonacci - Los mil primeros números de Fibonacci. El 30,1% empiezan por 1 y el chi-cuadrado es 0,2. Esto es lo más cerca de la ley que pueden estar mil números. No se ha ajustado nada; la sucesión es la que es.
Estaturas en cm - Dos mil estaturas de adultos en centímetros. Absolutamente todas empiezan por 1, porque los adultos miden entre 145 cm y 195 cm aproximadamente, y en ese intervalo no hay ningún otro primer dígito posible. Se trata de la máxima infracción posible, no de un ligero desvío.
Mismas estaturas, en in - Las mismas dos mil personas medidas en pulgadas. Ahora el 86% empiezan por 6. Las personas no han cambiado, ni tampoco sus estaturas: solo lo ha hecho la unidad de medida, y en eso consiste la prueba.
Números inventados - Mil números del tipo que la gente produce cuando se le pide que invente algunos. Los dígitos se distribuyen de forma bastante uniforme y el 1 es el que menos se elige. El chi-cuadrado es 502. Por este motivo, la prueba se utiliza en las declaraciones de gastos.
Media década de amplitud - Cinco mil valores distribuidos uniformemente a lo largo de media década, desde el 1 hasta aproximadamente el 3,2. El 61% empiezan por 1 y el chi-cuadrado es 4.707. Amplía el intervalo a una década completa y el mismo generador cumplirá la ley con exactitud. Amplíalo a 1,5 y volverá a fallar, detalle que nadie suele mencionar.