Explorador de Interés Compuesto

cómo el crecimiento exponencial supera la intuición lineal

Valores iniciales — Explorador de Interés Compuesto

Capital inicial (P)	1000
Tasa anual (r)	7
Tiempo (t)	30
Importe objetivo (X)	10000
Modo de capitalización	mensual (n = 12)
Capitalizaciones personalizadas por año (n)	12
Mostrar límite de capitalización continua	off
Mostrar símbolo de moneda	off

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Capitalizar más a menudo rinde cada vez menos 🖖

Capitalizar con mayor frecuencia sí ayuda, pero cada aumento aporta menos que el anterior. Prueba el ejemplo Mercado bursátil: 10.000 $ al 7 % durante treinta años. Al subir la frecuencia, la capitalización anual da 76.122,55 $; la trimestral, 80.191,83 $; la mensual, 81.164,97 $; y la diaria, 81.645,26 $. El primer cambio aporta 4.069 $. El siguiente aporta 973 $ y, después, 480 $. Pasar de la capitalización horaria a capitalizar infinitas veces, que es lo que expresa A = Pe^rt, apenas añade 69 céntimos. Casi todo el beneficio se obtiene al abandonar la frecuencia anual.

Intereses que generan sus propios intereses 🖖

La magia del interés compuesto es que los intereses de cada período se suman al saldo, así que en el período siguiente ganas intereses sobre una cantidad mayor. Ese efecto de realimentación hace que los ahorros se aceleren en lugar de crecer en línea recta. Un atajo útil es la regla del 72: divide 72 entre la tasa anual en porcentaje para estimar en cuántos años se duplica tu dinero. Al 6% son unos 12 años.

Aquí nació el número e 🖖

Prueba a capitalizar $1 al 100% durante un año. Con capitalización anual se convierte en $2, mensual unos $2.61 y diaria cerca de $2.71. Cuanto más a menudo capitalizas, más se acerca el resultado a e ≈ 2.71828. Jacob Bernoulli topó con este límite en 1683 estudiando el interés compuesto, que es literalmente de donde procede la constante e.

INTERÉS COMPUESTO — ¿QUÉ PREGUNTA, Y HACIA QUÉ LADO APUNTA?

¿En qué caso de capitalización estás?

Los intereses sobre los intereses son toda la idea, y convierten la recta en una curva: A = P(1 + r/n)^(nt) en lugar de P(1 + rt). En qué caso estás depende de lo que preguntes. ¿Cuánto añade de verdad la capitalización? ¿Cuánto tarda en duplicarse? ¿Qué pasa cuando esa misma curva apunta a una deuda tuya? ¿Y cuánto importa realmente la frecuencia de capitalización?

Un tipo modesto durante mucho tiempo: la distancia frente al interés simple A = P(1 + r/n)^nt

Cuánto tarda en duplicarse, y por qué funciona el 72 t_2× ≈ 72 / r%

La misma curva apuntándote a ti: la deuda capitaliza igual (1 + r/n)ⁿ − 1

Con qué frecuencia capitalizas, y por qué deja de importar n → ∞ ⇒ A = Pe^rt

Un tipo modesto durante mucho tiempo: la distancia frente al interés simple

Lo que sabes: Un tipo que de verdad se consigue en el ahorro, dejado quieto durante décadas. Compara A = P(1 + r/n)^(nt) con la recta del interés simple P(1 + rt).

Fórmula: A = P(1 + r/n)^nt

Ejemplo resuelto: 5 000 al 4 % capitalizado mensualmente durante 20 años → 11 112,91, frente a 9 000 con interés simple: la capitalización vale 2 112,91

Abrir este caso: ahorro seguro

Un tipo modesto durante mucho tiempo: la distancia frente al interés simple. La curva compuesta se separa de la recta del interés simple, despacio al principio. Un tipo que de verdad se consigue en el ahorro, dejado quieto durante décadas. Compara A = P(1 + r/n)^(nt) con la recta del interés simple P(1 + rt). — La curva compuesta se separa de la recta del interés simple, despacio al principio.

Cuánto tarda en duplicarse, y por qué funciona el 72

Lo que sabes: Un tipo más alto durante un horizonte largo. Lo que importa no es la ganancia anual sino el tiempo de duplicación, que depende solo del tipo y no del capital inicial.

Fórmula: t_2× ≈ 72 / r%

Ejemplo resuelto: 10 000 al 7 % capitalizado mensualmente se duplican cada 9,93 años, así que 30 años dan algo más de tres duplicaciones: 81 164,97, es decir 8,12 veces el depósito

Abrir este caso: media bursátil

Cuánto tarda en duplicarse, y por qué funciona el 72. Cada duplicación tarda los mismos 9,93 años, así que la curva se empina sin cambiar de regla. Un tipo más alto durante un horizonte largo. Lo que importa no es la ganancia anual sino el tiempo de duplicación, que depende solo del tipo y no del capital inicial. — Cada duplicación tarda los mismos 9,93 años, así que la curva se empina sin cambiar de regla.

La misma curva apuntándote a ti: la deuda capitaliza igual

Lo que sabes: Nada en la fórmula sabe de quién es el dinero. Con un tipo alto el tiempo de duplicación es corto, y los saldos impagados crecen igual que los ahorros.

Fórmula: (1 + r/n)ⁿ − 1

Ejemplo resuelto: 3 000 al 20 % capitalizado mensualmente durante 5 años → 8 087,91. El tiempo de duplicación es 3,49 años y el tipo efectivo anual es 21,94 %, no 20 %.

Abrir este caso: deuda tarjeta

La misma curva apuntándote a ti: la deuda capitaliza igual. Un tipo alto empina rápido la misma curva, y aquí crece en contra tuya. Nada en la fórmula sabe de quién es el dinero. Con un tipo alto el tiempo de duplicación es corto, y los saldos impagados crecen igual que los ahorros. — Un tipo alto empina rápido la misma curva, y aquí crece en contra tuya.

Con qué frecuencia capitalizas, y por qué deja de importar

Lo que sabes: Subir n eleva el tipo efectivo, pero con rendimientos que caen deprisa. Más allá de la capitalización diaria estás dentro del error de redondeo del límite continuo, A = Pe^(rt).

Fórmula: n → ∞ ⇒ A = Pe^rt

Ejemplo resuelto: 1 000 al 7 % durante 30 años: 7 612,26 con capitalización anual, 8 116,50 mensual, 8 164,53 diaria y 8 166,17 continua

Abrir este caso: capitalización diaria

Con qué frecuencia capitalizas, y por qué deja de importar. Tipo efectivo frente a frecuencia: casi toda la ganancia ya está con capitalización mensual. Subir n eleva el tipo efectivo, pero con rendimientos que caen deprisa. Más allá de la capitalización diaria estás dentro del error de redondeo del límite continuo, A = Pe^(rt). — Tipo efectivo frente a frecuencia: casi toda la ganancia ya está con capitalización mensual.

Referencias (1)

Insight block 3 — where the limit turned up: J. Bernoulli, "Quaestiones nonnullae de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum." Acta Eruditorum, May 1690, 219–223 — the compound-interest question whose limit is e.

Problemas resueltos al detalle

El valor de un punto porcentual de tipo de interés a lo largo de treinta años 5 pasos
¿Cuánto vale un punto porcentual del tipo de interés a lo largo de treinta años y cómo se compara esto con una capitalización más frecuente? La herramienta fija P = 1.000 a un 7 % nominal con capitalización mensual durante 30 años, junto con el límite continuo representado al lado.
1. La capitalización mensual divide el tipo anual en doce partes iguales y aplica cada parte al saldo acumulado hasta ese momento. Treinta años equivalen a 360 de esas partes.
  
  $i = \frac{r}{n} = \frac{0.07}{12} = 0.0058 \overline{3}, N = n t = 12 \times 30 = 360$
2. Cada parte multiplica el saldo por el mismo factor, de modo que los treinta años enteros corresponden a ese único factor elevado al número de partes.
  
  $A = P (1 + i)^{N} = 1000 (1.0058 \overline{3})^{360} = 8116.50, I = A - P = 7116.50$
3. El modelo continuo sustituye los 360 pasos por un límite, y es la versión con la que conviene trabajar, ya que en ella el tipo y el tiempo aparecen únicamente como el producto rt. La diferencia entre ambos modelos sirve para comprobar que sustituir uno por otro no altera la respuesta.
  
  $A_{c} = P e^{r t} = 1000 e^{0.07 \times 30} = 8166.17, Δ = A_{c} - A = 49.67 (0.61%)$
4. Si r varía en δ, entonces rt varía en tδ, por lo que el saldo final se multiplica por e^tδ, un factor determinado únicamente por el horizonte temporal, sin que intervenga P. Recomputar el saldo mensual exacto al 6 % permite comprobar si se puede confiar en ese atajo.
  
  $\frac{A ( r + δ )}{A ( r )} \approx e^{t δ} : e^{- 0.30} = 0.7408 vs \frac{1000 ( 1.005 ) ^{360}}{8116.50} = \frac{6022.58}{8116.50} = 0.7420$
5. Ahora planteemos la pregunta a la inversa: ¿qué variación del tipo habría proporcionado el mismo dinero que se obtuvo mediante la capitalización con frecuencia infinita?
  
  $e^{t δ} = 1 + \frac{Δ}{A} ⟹ δ = \frac{ln ( 1.006120 )}{30} = \frac{0.006101}{30} = 2.03 \times 1 0^{- 4}$
Respuesta

El saldo alcanza los 8.116,50, de los cuales 7.116,50 corresponden a intereses, y el límite continuo se sitúa justo por encima, en 8.166,17, una diferencia de 49,67. Esos 49,67 son todo el beneficio que se obtiene por capitalizar con frecuencia infinita en lugar de mensualmente, y equivalen a unas dos centésimas de punto porcentual en el tipo. En cambio, reducir el tipo al 6 % cuesta 2.093,92, es decir, 42 veces más, porque el horizonte multiplica cada cambio de tipo: a lo largo de t años, un cambio δ escala el saldo por e^tδ, de modo que treinta años convierten una pequeña diferencia en r en una gran diferencia de dinero. De los cuatro números que se pueden ajustar aquí, la frecuencia de capitalización es la que menos importa: tres centésimas de punto en el tipo ya superan todo el salto de mensual a continuo.

$δ = \frac{ln ( 1 + Δ/ A )}{t} = 2.03 \times 1 0^{- 4} vs n : 12 \to \infty$
Conversión de 10.000 en 81.164,97 durante 30 años al 7% de interés compuesto mensual 7 pasos
El panel convierte 10.000 en 81.164,97 a lo largo de 30 años al 7% con capitalización mensual. Nadie hace eso de cabeza, y por eso todo el mundo cita la Regla del 72: el dinero se duplica en unos 72/7 ≈ 10,3 años. ¿De dónde sale el 72, y cuándo miente?
1. Empieza por el número del panel, porque el tiempo de duplicación ya está escondido dentro.
  
  $A = P (1 + \frac{r}{n})^{n t} = 10000 (1 + \frac{0.07}{12})^{360} = 81 164.97, I = A - P = 71 164.97$
2. Divide por la cantidad inicial y pregunta qué potencia de dos es eso. Algo más de tres duplicaciones en treinta años, así que una duplicación tarda 9,9310 años — y fíjate en que el capital se ha cancelado. Por eso nadie pregunta nunca con cuánto empezaste.
  
  $\frac{A}{P} = 8.1165 = 2^{3.0209} ⟹ t_{2} = \frac{30}{3.0209} = 9.9310$
3. Dedúcelo como es debido en lugar de leerlo de un cociente: iguala el saldo al doble del capital y despeja. La P se cancela por la misma razón, y el resultado coincide en cuatro decimales con el camino anterior.
  
  $2 P = P (1 + \frac{r}{n})^{n t_{2}} ⟹ t_{2} = \frac{ln 2}{n ln ( 1 + r / n )} = \frac{0.693147}{12 ln ( 1.00583 3 )} = 9.9310$
4. Ahora compara con la regla popular. La Regla del 72 está enunciada para capitalización anual, así que toma n = 1: el tiempo exacto es 10,2448 años y la regla dice 10,2857. Quince días de desvío, en una década.
  
  $n = 1 : t_{2} = \frac{ln 2}{ln 1.07} = 10.2448 \frac{72}{7} = 10.2857 Δ = 0.0409 (\approx 15 d)$
5. ¿De dónde sale entonces el 72? Multiplica el tiempo de duplicación por la tasa en porcentaje y la r casi se cancela. Al desarrollar el logaritmo hasta el segundo término no queda una constante, sino 69,31 con una pequeña corrección que crece con la tasa.
  
  $100 r t_{2} = \frac{100 r ln 2}{ln ( 1 + r )} \approx \frac{100 r ln 2}{r ( 1 - \frac{r}{2} )} = \frac{69.31}{1 - \frac{r}{2}} \approx 69.31 (1 + \frac{r}{2})$
6. Evalúalo a tres tasas. La constante verdadera sube, y 72 es sencillamente el valor por el que pasa cerca del 8%: un compromiso centrado en las tasas de las que discutes de verdad.
  
  $r = 2% : 70.01 r = 8% : 72.05 r = 15% : 74.39$
7. Queda algo sin explicar: 69,31 redondea a 69, y para tasas bajas 70 está más cerca de lo correcto que 72. No ganó ninguno de los dos.
  
  $72 = 2^{3} \cdot 3^{2} \Rightarrow 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 7270 = 2 \cdot 5 \cdot 7 \Rightarrow 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70$
Respuesta

La constante no es constante: va de 70,0 al 2% a 72,1 al 8% y 74,5 al 15%, y 72 es donde queda para un rendimiento típico a largo plazo. Que la regla popular lo prefiriera a 69,3 o a 70, más exactos, es aritmética, no análisis. 72 = 2³·3², así que se divide limpiamente entre 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24 y 36; 70 = 2·5·7 no se divide limpiamente entre casi nada que aparezca en una conversación sobre intereses. Una regla que haces de cabeza tiene que ser divisible de cabeza, y eso venció a la exactitud.

$t_{2} r_{%} \approx 69.31 (1 + \frac{r}{2}) : 70.0 (2%), 72.1 (8%), 74.5 (15%)$

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-08-17

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

ahorro seguro - 5.000 $ al 4 %, con capitalización mensual durante veinte años, se convierten en 11.112,91 $, algo más del doble. Con capitalización continua sumarían otros 14,79 $.
media bursátil - 10.000 $ al 7 %, con capitalización mensual durante treinta años, se convierten en 81.164,97 $: ocho veces el capital inicial, sin que el tipo de interés cambie.
deuda tarjeta - Una deuda de 3.000 $ al 20 %, con capitalización mensual durante cinco años, crece hasta 8.087,91 $. La misma aritmética que hace crecer tus ahorros actúa con idéntica fuerza en tu contra.
capitalización diaria - 1.000 $ al 7 %, con capitalización diaria durante treinta años, dan 8.164,53 $, solo 1,64 $ menos que el límite de 8.166,17 $ con capitalización continua. La frecuencia diaria ya está muy cerca de capitalizar infinitas veces.