Explorador de Pi por Monte Carlo

El error de Monte Carlo se reduce proporcionalmente a 1/√N, no a 1/N — consecuencia del Teorema del Límite Central, ya que la estimación es un promedio de N lanzamientos independientes de "dentro/fuera" cuya varianza cae como 1/N. Esa raíz cuadrada sale cara: ganar una cifra decimal correcta más requiere unas 100 veces más puntos, no 10 — por eso la nube de puntos puede parecer convincentemente circular mucho antes de que las cifras decimales dejen de oscilar. Es también la razón por la que este método rara vez se usa en la práctica solo para calcular π: donde realmente rinde es en integrales de alta dimensión, donde los métodos deterministas de rejilla escalan exponencialmente con la dimensión, mientras que la tasa 1/√N de Monte Carlo no depende de cuántas dimensiones haya.

Lo asombroso: π es un número fijo y exacto y, sin embargo, esta herramienta lo determina usando solo azar. Cada punto individual cae de forma impredecible, dentro o fuera del círculo por pura suerte. Pero su promedio acumulado se comporta: la ley de los grandes números garantiza que, al añadir más puntos, la fracción ruidosa se asienta en un valor estable. La conclusión: el azar, promediado en masa, se convierte en un instrumento de medida fiable.

Mucho antes de los puntos en pantalla, la aguja de Buffon (1777) estimaba π dejando caer agujas sobre líneas equidistantes — posiblemente el primer experimento de Monte Carlo. En 1901 Mario Lazzarini afirmó que 3,408 lanzamientos daban π = 3.1415929, exacto hasta seis decimales. El truco: eso es justo 355/113, una famosa aproximación antigua, y 3,408 es sospechosamente el número preciso de tiradas necesario para lograrlo — casi con certeza se detuvo en cuanto el azar coincidió con el objetivo.