Explorador de Pi por Monte Carlo

puntos aleatorios y comportamiento de convergencia

Ejemplo resuelto — Explorador de Pi por Monte Carlo

Error absoluto	∣3.122000−3.141593∣≈1.959×10⁻²

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

por qué el error se reduce tan lentamente 🖖

El error de Monte Carlo se reduce proporcionalmente a 1/√N, no a 1/N — consecuencia del Teorema del Límite Central, ya que la estimación es un promedio de N lanzamientos independientes de "dentro/fuera" cuya varianza cae como 1/N. Esa raíz cuadrada sale cara: ganar una cifra decimal correcta más requiere unas 100 veces más puntos, no 10 — por eso la nube de puntos puede parecer convincentemente circular mucho antes de que las cifras decimales dejen de oscilar. Es también la razón por la que este método rara vez se usa en la práctica solo para calcular π: donde realmente rinde es en integrales de alta dimensión, donde los métodos deterministas de rejilla escalan exponencialmente con la dimensión, mientras que la tasa 1/√N de Monte Carlo no depende de cuántas dimensiones haya.

un valor fijo a partir del puro azar 🖖

Lo asombroso: π es un número fijo y exacto y, sin embargo, esta herramienta lo determina usando solo azar. Cada punto individual cae de forma impredecible, dentro o fuera del círculo por pura suerte. Pero su promedio acumulado se comporta: la ley de los grandes números garantiza que, al añadir más puntos, la fracción ruidosa se asienta en un valor estable. La conclusión: el azar, promediado en masa, se convierte en un instrumento de medida fiable.

la aguja que hizo trampa 🖖

Mucho antes de los puntos en pantalla, la aguja de Buffon (1777) estimaba π dejando caer agujas sobre líneas equidistantes — posiblemente el primer experimento de Monte Carlo. En 1901 Mario Lazzarini afirmó que 3,408 lanzamientos daban π = 3.1415929, exacto hasta seis decimales. El truco: eso es justo 355/113, una famosa aproximación antigua, y 3,408 es sospechosamente el número preciso de tiradas necesario para lograrlo — casi con certeza se detuvo en cuanto el azar coincidió con el objetivo.

Problema resuelto al detalle

Evaluación de si 3,122 es una mala ejecución a partir de 2000 puntos 5 pasos
¿Es 3,122 una mala ejecución? El estado por defecto genera N = 2000 puntos a partir de la semilla 42, y 1561 de ellos caen dentro del cuarto de círculo. Calcule cuál habría sido un recuento normal antes de juzgar la estimación.
1. Cada punto es un ensayo que tiene éxito si cae en el cuarto de disco, y dado que el cuadrado circunscrito tiene un área de 1, la probabilidad de éxito coincide exactamente con esa área. A lo largo de 2000 ensayos independientes, el recuento sigue una distribución binomial, y la media de una binomial es el número de ensayos multiplicado por la probabilidad.
  
  $p = \frac{π /4}{1} = 0.7853982, E [N_{in}] = N p = 2000 \times 0.7853982 = 1570.80$
2. Esos mismos dos números determinan la dispersión. El recuento observado se queda a menos de diez del valor esperado, lo que apenas llega a media desviación estándar, de modo que esta semilla es del todo ordinaria, algo que conviene dejar claro antes de achacarle nada.
  
  $σ_{N_{in}} = N p (1 - p) = 337.10 = 18.360, z = \frac{1561 - 1570.80}{18.360} = - 0.534$
3. La estimación es el recuento multiplicado por una constante fija, de modo que su desviación estándar es la del recuento multiplicada por esa misma constante. Aquí es donde entra en juego la conocida expresión 1/√N: la dispersión del recuento crece como √N mientras que la división se realiza entre N.
  
  $\overset{π}{^} = \frac{4 N _{in}}{N} ⟹ σ_{\overset{π}{^}} = \frac{4}{N} σ_{N_{in}} = \frac{4 \times 18.360}{2000} = 0.036720$
4. El error mostrado debe ser igual a las mismas 0,53 desviaciones estándar, ya que multiplicar por una constante no puede desplazar un valor en relación con su propia dispersión. Se trata de un único hecho expresado en dos unidades distintas, no de dos hechos.
  
  $∣ \overset{π}{^} - π ∣ = ∣ 3.122000 - 3.141593 ∣ = 0.019593 = 0.534 σ_{\overset{π}{^}}$
5. Ahora la parte que ninguna semilla puede arreglar. Cuatro veces un número entero dividido entre 2000 es siempre un múltiplo de 0,002, y π es irracional, por lo que nunca coincide con ninguno de ellos; el error no puede ser cero, y lo más cerca que el estimador puede situarse físicamente es a un paso de distancia en la rejilla.
  
  $\overset{π}{^} \in \frac{4}{2000} Z = 0.002 Z : k min \frac{4 k}{2000} - π = ∣ 3.142 - 3.141593 ∣ = 4.073 \times 1 0^{- 4}$
Respuesta

La herramienta muestra 1561 puntos dentro, una estimación de 3,122000 y un error de 1,959 × 10⁻² frente a 3,141593. Un error típico para N = 2000 es 0,0367, por lo que esta ejecución es mejor que la media en lugar de peor, y aproximadamente tres de cada cinco semillas lo harían peor que la 42. La cota inferior del paso 5 es 4,073 × 10⁻⁴: ninguna semilla con este N puede superarla, porque ningún resultado posible de la fórmula está más cerca de π que eso. Es 90 veces menor que el error típico, de modo que la rejilla dista mucho de ser el factor limitante, y la diferencia aumenta con N en lugar de reducirse: la cota cae como 1/N mientras que el error aleatorio solo disminuye como 1/√N. Esto aclara también una afirmación habitual sobre este método: obtener seis decimales correctos a partir de un par de miles de ensayos no es una ejecución afortunada, sino algo aritméticamente inalcanzable, ya que con N = 2000 nada de lo que el estimador produce llega a ser correcto ni siquiera hasta el cuarto decimal.

$σ_{\overset{π}{^}} = \frac{4 p ( 1 - p )}{N} = \frac{1.6422}{N} vs δ_{m i n} \leq \frac{2}{N}$

Referencias (1)

Lazzarini's 3,408 tosses and why 355/113 gave him away: L. Badger, "Lazzarini's Lucky Approximation of π." Mathematics Magazine 67(2), 83–91, 1994.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-08-17

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

N pequeño - Un número pequeño de muestras produce una estimación de alta varianza.
N medio - 1.561 de los 2.000 puntos caen dentro del cuarto de círculo, por lo que la estimación es 3,122000 y el error es 1,959×10⁻². La semilla es fija, así que obtendrás los mismos 1.561 cada vez que pulses. Lo que se mueve en la gráfica de error es la estimación estabilizándose al acumularse los puntos, no la herramienta volviendo a tirar los dados.
N grande - Un número mayor de muestras ajusta la estimación en torno a pi.