Simulador de teoría de colas (M/M/1)

tasas de llegada y servicio y estabilidad de la cola

Ejemplo resuelto — Simulador de teoría de colas (M/M/1)

Utilización ρ	0,750
Predicción M/M/1 para L	3,000
Tasa de llegada resultante	3,0084
Tiempo medio W (por cliente)	1,012
Predicción de Little para L	3,045
L contado (promedio temporal)	3,044
Diferencia entre ambos	0,0006
Error estándar del L contado	0,121

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

el precipicio de rho 🖖

L = ρ/(1−ρ) no crece de forma suave. Presenta una asíntota vertical en ρ = 1. Por eso, al pasar la utilización del 90% al 99%, la longitud media de la cola salta de 9 personas a 99. Justo al límite de la capacidad carece de cota. Este es el 'precipicio de rho'. Una cola al 80% de utilización parece casi idéntica a una al 85%. Llévala al 95% y los tiempos de espera se dispararán, ya que W = 1/(μ−λ) comparte la misma singularidad. Su denominador se encoge hacia cero en lugar de crecer el numerador. Por esta razón, los sistemas reales como los centros de llamadas y las urgencias de los hospitales se sobredimensionan de forma deliberada muy por debajo del 100% de su capacidad. Ese margen de inactividad que parece desperdiciado es lo que te mantiene lejos del precipicio.

la aleatoriedad es lo que construye la cola 🖖

En M/M/1, las dos M significan "markoviano". Las llegadas se producen al azar (Poisson) y los tiempos de servicio varían también de forma aleatoria (exponencial) en un único servidor. La idea central resulta sorprendente. Puede formarse una cola incluso cuando el servidor es en promedio más rápido que la llegada de clientes. Si todos llegaran como un reloj y cada tarea llevara el mismo tiempo, un servidor con capacidad de reserva jamás formaría una fila. La espera nace de la variabilidad, no de la sobrecarga. Ajusta λ muy por debajo de μ y verás cómo una cola sigue apareciendo y desapareciendo. Configura ambos patrones con puntualidad absoluta y el rastro de arriba nunca saldrá del 0 y el 1. Con intervalos y trabajos idénticos, el servidor siempre termina antes de la siguiente llegada para cualquier utilización inferior a 1.

la ley de Little no exige casi nada 🖖

Los valores L y W que ves aquí no son independientes. Cumplen L = λW, y de igual modo Lq = λWq. Esta identidad no asume casi nada. John Little la demostró en 1961. Solo necesita una tasa de llegada a largo plazo que exista y sea finita, junto a un tiempo medio en el sistema a largo plazo que también lo sea. No requiere llegadas de Poisson ni tiempos de servicio exponenciales. Tampoco independencia, un solo servidor o ni siquiera un estado estacionario distribucional. Puedes observar el valor de esto en la tabla superior. Introduce un patrón constante o en ráfagas en cualquiera de los flujos. La fórmula ρ/(1−ρ) resulta cuatro veces mayor en una configuración y quince veces menor en otra. Mientras tanto, λW y el recuento independiente de L se mantienen a menos de 0,011 clientes de diferencia en cada uno de los 405 ajustes probados. Esta misma relación gobierna la planta de un hospital, el trabajo en curso de una fábrica y el inventario de una tienda. El contenido medio es igual a la tasa de llegada multiplicada por el tiempo medio de permanencia en el interior.

dos promedios, y solo uno le pertenece al cliente 🖖

Configura ambos patrones como constantes y compara dos filas de la tabla. La cola que encuentra un cliente al llegar es 0,000. El observador que cuenta esa misma cola en el tiempo obtiene 0,751. Cada cliente entra en un sistema vacío. El servidor está ocupado tres cuartas partes del tiempo. Ambos datos son correctos. La variable L pondera la longitud de la cola por el tiempo, mientras que la perspectiva de la llegada la pondera por cliente. No hay motivo para que dos ponderaciones distintas coincidan. La ley de Little empareja un promedio de tiempo con un promedio de cliente y nunca afirma que sean iguales. Con llegadas de Poisson sí coinciden, y por eso es fácil pasar por alto la distinción. Una llegada tiene la misma probabilidad de ocurrir en cualquier instante. La vista del cliente constituye una muestra justa del reloj. Esa es la propiedad PASTA, y pertenece a las llegadas en lugar de a la cola. Si cambias las llegadas a ráfagas, la misma ejecución da 27,011 frente a un promedio temporal de 21,482. Una ráfaga ocurre precisamente cuando llegan más clientes y cuando la fila es más larga.

Problemas resueltos al detalle

Una cola con 3 llegadas por hora y un aumento del 20% 5 pasos
Llegan 3 clientes por hora y el servidor atiende 4 por hora. El servidor está inactivo una cuarta parte del tiempo, lo cual suena holgado. Calcula la cola que esto produce y luego el efecto que tendría un aumento del 20% en las llegadas.
1. La cadena se equilibra. La tasa de entrada en cada estado iguala a la de salida. Esto nos da Pₙ = (1 − ρ)ρⁿ, una distribución geométrica de la longitud de la cola donde ρ es la fracción de tiempo que el servidor está ocupado. Aquí ρ = 0,75.
  
  $P_{n} = (1 - ρ) ρ^{n}, ρ = \frac{λ}{μ} = \frac{3}{4} = 0.750$
2. La media de esta distribución es ρ/(1 − ρ). Fíjate en el denominador. No contiene la capacidad libre en clientes por hora, sino la fracción libre. Hay tres personas en el sistema en promedio para un servidor que descansa una cuarta parte del día.
  
  $L = n \geq 0 \sum n P_{n} = \frac{ρ}{1 - ρ} = \frac{0.750}{0.250} = 3.000$
3. Si restas a la persona que está siendo atendida (presente con probabilidad ρ), quedan 2,25 esperando.
  
  $L_{q} = L - ρ = 3.000 - 0.750 = 2.250$
4. La ley de Little convierte una población en un tiempo y no exige ninguna suposición sobre la distribución. El número medio en el sistema es la tasa de llegada por el tiempo medio de permanencia. Pasas una hora en el sistema y 45 minutos haciendo cola para un trabajo que requiere 15 minutos.
  
  $W = \frac{L}{λ} = \frac{3.000}{3} = 1.000, W_{q} = \frac{L _{q}}{λ} = 0.750$
5. Ahora sube λ a 3,6. La utilización pasa de 0,75 a 0,90 (un 20% más de trabajo) y ρ/(1 − ρ) salta de 3 a 9.
  
  $λ = 3.6 : ρ = 0.90, L = 9; λ = 3.96 : ρ = 0.99, L = 99$
Respuesta

La herramienta imprime L = 3,000, L_q = 2,250, W = 1,000, W_q = 0,750 al 75% de utilización. La lección reside en el denominador de ρ/(1 − ρ). Lo que determina la cola no es tu capacidad libre absoluta sino tu remanente como fracción. Esa fracción es precisamente lo que consumes al añadir carga. Un veinte por ciento más de llegadas triplica la cola. Un 10% adicional (ρ = 0,99) la dispara a 99. Por esto los hospitales, las autopistas y los controladores de disco colapsan con altas utilizaciones en lugar de degradarse poco a poco. Y también explica por qué la frase "solo estamos al 90% de capacidad" no resulta tan tranquilizadora como parece.

$L = \frac{ρ}{1 - ρ} blows up at ρ = 1 : + 20% λ ⟹ \times 3 queue$
Las mismas tasas eliminando la aleatoriedad 5 pasos
Mantén λ = 3 por hora y μ = 4 por hora y elimina cualquier rastro de aleatoriedad. Llegadas separadas por exactamente veinte minutos y cada trabajo toma quince minutos justos. La utilización sigue siendo 0,750. Calcula la cola generada y descubre qué tan lejos queda ρ/(1 − ρ) de ese valor.

Abre este problema en la herramienta
1. El cliente k llega en k/λ y, con el servidor libre, sale en k/λ + 1/μ. El siguiente llega en (k + 1)/λ. El servidor ha terminado a tiempo siempre que 1/μ ≤ 1/λ, lo cual equivale a reescribir ρ ≤ 1.
  
  $ρ = \frac{λ}{μ} = \frac{3}{4} = 0.750, \frac{1}{λ} = 0.3333 > \frac{1}{μ} = 0.250$
2. Así que, mientras la cola permanece estable, nadie espera en absoluto. Tenemos W_q = 0, y W corresponde únicamente al tiempo de servicio, 1/μ = 0,250 horas. Quince minutos en el edificio, siendo atendidos durante cada uno de ellos.
  
  $\frac{k}{λ} + \frac{1}{μ} \leq \frac{k + 1}{λ} ⟺ \frac{1}{μ} \leq \frac{1}{λ} ⟺ ρ \leq 1 ⟹ W_{q} = 0$
3. La ley de Little lo convierte en una población sin necesidad de distribuciones. Obtenemos L = λW = 3 × 0,250 = 0,750, y L_q = 0. Tres cuartos de cliente, que coincide exactamente con la fracción de tiempo que el servidor está ocupado.
  
  $W = \frac{1}{μ} = 0.250, L = λW = 3 \times 0.250 = 0.750, L_{q} = λ W_{q} = 0$
4. Ahora calculamos ρ/(1 − ρ) = 0,750/0,250 = 3,000, cuatro veces el valor real. El factor no es ninguna coincidencia de estas cifras. M/M/1 devuelve ρ/(1 − ρ) donde el ritmo constante da ρ. La sobrestimación es de 1/(1 − ρ) para cualquier utilización.
  
  $ρ 0.50 0.75 0.90 0.95 0.99 ρ / (1 - ρ) 1.000 3.000 9.000 19.000 99.000 ρ 0.500 0.750 0.900 0.950 0.990 1/ (1 - ρ) 241020100$
5. Con ρ = 0,99, ese factor se convierte en 100. El modelo M/M/1 coloca a 99 personas en el sistema. El tráfico perfectamente regular ubica a 0,99.
  
  $\frac{ρ / ( 1 - ρ )}{ρ} = \frac{1}{1 - ρ}; ρ = 0.99 : 99.000 ⟷ 0.990$
Respuesta

La herramienta imprime W = 0,250. La ley de Little lo transforma en L = 0,750 frente a una predicción M/M/1 de 3,000, lo que supone un error del +299,6%. La cola nunca existió. El precipicio de ρ del primer bloque se construye enteramente a partir de la variabilidad. Sin ella, tampoco hay precipicio en ρ = 0,99. Lo que esto aporta fuera de esta página es un argumento a favor de las citas previas. Tanto aumentar la capacidad como reducir la variabilidad acortan una cola. El factor 1/(1 − ρ) nos indica que lo segundo resulta más rentable justo donde lo primero cuesta más conseguir. Al 75% de utilización, un horario perfectamente regular equivale a una reducción de cuatro veces. Al 99%, a una de cien veces. Ninguna clínica real alcanza esa precisión absoluta. Con las mismas tasas y llegadas agrupadas obtienes 21,482 en su lugar.

$L_{D / D /1} = ρ = 0.750 ⟷ L_{M / M /1} = \frac{ρ}{1 - ρ} = 3.000, \frac{L _{M / M /1}}{L _{D / D /1}} = \frac{1}{1 - ρ} = 4$

Referencias (1)

Insight block 3 — how little L = λW assumes: J. D. C. Little, "A Proof for the Queuing Formula: L = λW." Operations Research 9(3), 383–387, 1961.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.