Simulador de teoría de colas (M/M/1)

tasas de llegada/servicio y estabilidad de la cola

Ejemplo resuelto — Simulador de teoría de colas (M/M/1)

L (en el sistema)	3.000
Lq (en la cola)	2.250
W (espera, sistema)	1.000
Wq (espera, cola)	0.750
Utilización (ρ)	0.750

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

el precipicio de rho 🖖

L = ρ/(1−ρ) no crece de forma suave: tiene una asíntota vertical en ρ = 1, así que cuando la utilización pasa del 90 % al 99 %, la longitud media de la cola salta de 9 personas a 99, y justo en la capacidad máxima se vuelve ilimitada. Ese es el 'precipicio de rho': una cola al 80 % de utilización se siente casi igual que una al 85 %, pero llévala al 95 % y los tiempos de espera se disparan, porque W = 1/(μ−λ) tiene la misma singularidad — el denominador se acerca a cero, no es que el numerador crezca. Por eso sistemas reales como los centros de llamadas y las urgencias hospitalarias se sobredimensionan deliberadamente muy por debajo del 100 % de capacidad: ese margen ocioso 'desperdiciado' cerca del límite es justo lo que te mantiene alejado del precipicio.

el azar es lo que forma la fila 🖖

En M/M/1 las dos M significan "markoviano": las llegadas ocurren al azar (Poisson) y los tiempos de servicio varían al azar (exponencial), con un solo servidor. La idea central sorprende — una fila puede formarse aunque el servidor sea en promedio más rápido de lo que llegan los clientes. Si todos llegaran como un reloj y cada tarea durara lo mismo, un servidor con capacidad de sobra nunca formaría fila. La espera nace de la variabilidad, no de la sobrecarga. Pon λ muy por debajo de μ y aun así una fila aparece y desaparece.

la ley de Little casi no pide nada 🖖

Las variables L y W que ves aquí no son independientes: satisfacen L = λW, e igualmente Lq = λWq. Esta identidad apenas presupone nada. En 1961, John Little demostró que se cumple para cualquier cola estable en estado estacionario, sin importar las distribuciones de llegada o servicio, el número de servidores ni el orden de atención a los clientes. Esta misma relación rige la planta de un hospital, el trabajo en curso de una fábrica y el inventario de una tienda: el contenido medio es igual a la tasa de llegadas multiplicada por el tiempo medio de permanencia.

Problema resuelto al detalle

Una cola con 3 llegadas por hora y un aumento del 20% 5 pasos
Los clientes llegan a razón de 3 por hora y el servidor atiende 4 por hora. El servidor está libre una cuarta parte del tiempo, lo que parece cómodo. Calcule la cola que esto genera — y después qué le hace un aumento del 20% en las llegadas.
1. La cadena se equilibra: la tasa de entrada a cada estado es igual a la tasa de salida, lo que da Pₙ = (1 − ρ)ρⁿ — una distribución geométrica sobre la longitud de la cola, donde ρ es la fracción de tiempo que el servidor está ocupado. Aquí ρ = 0,75.
  
  $P_{n} = (1 - ρ) ρ^{n}, ρ = \frac{λ}{μ} = \frac{3}{4} = 0.750$
2. La media de esa distribución es ρ/(1 − ρ). Observe lo que hay en el denominador: no la capacidad ociosa en clientes por hora, sino la fracción ociosa. Tres personas en el sistema de media, para un servidor que está libre una cuarta parte del día.
  
  $L = n \geq 0 \sum n P_{n} = \frac{ρ}{1 - ρ} = \frac{0.750}{0.250} = 3.000$
3. Reste a la persona que está siendo atendida — presente con probabilidad ρ — y quedan 2,25 esperando.
  
  $L_{q} = L - ρ = 3.000 - 0.750 = 2.250$
4. La ley de Little convierte una población en un tiempo y no requiere ninguna hipótesis sobre la distribución: el número medio en el sistema es la tasa de llegada multiplicada por el tiempo medio transcurrido en él. Una hora en el sistema, 45 minutos de ella en cola, para un trabajo que requiere 15 minutos.
  
  $W = \frac{L}{λ} = \frac{3.000}{3} = 1.000, W_{q} = \frac{L _{q}}{λ} = 0.750$
5. Ahora eleve λ a 3,6. La utilización pasa de 0,75 a 0,90 — un 20% más de trabajo — y ρ/(1 − ρ) pasa de 3 a 9.
  
  $λ = 3.6 : ρ = 0.90, L = 9; λ = 3.96 : ρ = 0.99, L = 99$
Respuesta

La herramienta muestra L = 3,000, L_q = 2,250, W = 1,000, W_q = 0,750 con una utilización del 75%. La lección está en el denominador de ρ/(1 − ρ): lo que determina la cola no es cuánta capacidad ociosa se tiene, sino cuánta queda como fracción, y esa fracción es lo que se consume al añadir carga. Un veinte por ciento más de llegadas triplica la cola. Otro 10% adicional — ρ = 0,99 — la eleva a 99. Es la razón por la que los hospitales, las autopistas y las controladoras de disco colapsan a alta utilización en lugar de degradarse suavemente, y por la que «solo estamos al 90% de capacidad» no es el mensaje tranquilizador que parece.

$L = \frac{ρ}{1 - ρ} blows up at ρ = 1 : + 20% λ ⟹ \times 3 queue$

Referencias (1)

Insight block 3 — how little L = λW assumes: J. D. C. Little, "A Proof for the Queuing Formula: L = λW." Operations Research 9(3), 383–387, 1961.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-07-29

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

Todas las lecciones de Estadística y Finanzas →

Problemas de ejemplo

carga ligera - Una baja utilización mantiene pequeñas la cola y la demora.
carga alta - λ = 3,8 frente a μ = 4: el servidor está inactivo una unidad de tiempo de cada veinte, y aun así hay una media de 19,000 clientes en el sistema, 18,050 de ellos haciendo cola en lugar de ser atendidos, esperando 5,000 unidades de tiempo para pasar. Sube λ una décima y L, Lq y W casi se duplican. Es la asíntota en ρ = 1 tirando.
inestable - Una utilización mayor a 1 hace que la cola sea inestable.