Pendiente y aspecto

Dos paneles, una serie. El izquierdo inicia su eje en cero; el derecho recorta hasta los datos. Arrastra la altura y observa cómo se mueven ambos ángulos mientras los números permanecen exactamente donde estaban.

Ejemplo resuelto — Pendiente y aspecto

Ángulo medio, desde cero	6,1°
Ángulo medio, recortado	27,4°
Altura para inclinar a 45°	469 px para 351 px de ancho

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Un conjunto de números, dos imágenes distintas 🖖

Ambos paneles dibujan los mismos doce números. El izquierdo inicia su eje en cero, el derecho recorta hasta los datos y los dos ángulos impresos encima difieren por completo. Arrastra el deslizador de altura y observa cómo se mueven a la par mientras los números que hay debajo nunca cambian. Ese es el argumento principal: la inclinación no está en los datos. La fijan el rango del eje Y y la forma del recuadro, elementos elegidos por quien dibujó el gráfico. Así que cuando alguien dice que un gráfico muestra un ascenso pronunciado, está describiendo un eje. El problema resuelto a continuación lo concreta con cifras exactas en un recuadro estipulado de 600 × 300, donde la misma línea queda en 20,1° o en 3,1° dependiendo únicamente de dónde empiece el eje.

Dos palancas que se anulan mutuamente 🖖

El ángulo obedece a una sola fórmula: tan θ = pendiente × (píxeles por unidad Y) ÷ (píxeles por unidad X). Eso le deja al autor dos palancas que se compensan de forma precisa. Reduce a la mitad el rango de Y y a la mitad la altura del recuadro, y la línea saldrá con idéntico ángulo hasta con nueve decimales. Lo cual significa que no existe un gráfico sin escala. Todo gráfico de líneas jamás trazado ha tomado esta decisión. La mayoría, simplemente, omitió decírtelo.

Existe una respuesta justificable y parece errónea 🖖

Como el ojo juzga ángulos en lugar de pendientes, separa mejor una inclinación de otra cuando los segmentos se acercan a los 45°. Elegir la relación de aspecto para colocar ahí el segmento típico se denomina inclinación a 45°, y es pura aritmética, no cuestión de gusto. Pulsa el botón y la herramienta calculará la altura para tu panel, mostrando la anchura que utilizó. Una altura inclinada no significa nada por sí sola, porque lo que se elige es una proporción. Para una anchura de 600 píxeles, esta serie requiere 818 píxeles de alto. Más alto que ancho, un formato que nadie dibujaría por instinto, y la forma honesta para esos datos. Poder calcular el número es lo que convierte a la frase «elige una proporción sensata» en un hecho comprobable.

Problemas resueltos al detalle

Ángulo de una recta que sube 2 unidades por paso a lo largo de 12 puntos 7 pasos
Un gráfico tiene 600px de ancho y 300px de alto, su eje Y va de 95 a 125 y la línea sube 2 unidades por paso a lo largo de 12 puntos. ¿En qué ángulo está trazado realmente?
1. Trabaja en píxeles por unidad. Doce puntos forman once espacios a lo largo de 600 píxeles, y el eje de 30 unidades se distribuye en 300 píxeles.
  
  $\frac{600}{11} = 54.55 \frac{300}{30} = 10$
2. Por tanto, un paso de 2 unidades de datos supone 20 píxeles de subida frente a 54,5 píxeles de avance horizontal.
  
  $tan θ = \frac{2 \times 10}{54.55} = \frac{20}{54.55} = 0.3667$
3. Ese es el ángulo. Ahora abre el eje a 0–200 y no cambies nada más. La escala vertical cae a 1,5 píxeles por unidad, de modo que el mismo paso equivale a 3 píxeles en lugar de 20.
  
  $θ = arctan 0.3667 = 20. 1^{\circ}$
4. De 20,1° a 3,1°, con los idénticos doce números. Cualquiera que describa el primero como una subida brusca y el segundo como un llano está describiendo el eje.
  
  $\frac{300}{200} = 1.5 \Rightarrow tan θ = \frac{3}{54.55} \Rightarrow θ = 3. 1^{\circ}$
5. Ahora la comprobación que demuestra que las dos palancas son una sola. Reduce el rango a la mitad (15 unidades) y la altura a la mitad (150 píxeles): los píxeles por unidad permanecen inalterados, por lo que el ángulo también debe estarlo.
  
  $\frac{150}{15} = 10 = \frac{300}{30}$
6. La inclinación a 45° plantea la pregunta inversa. ¿Qué altura sitúa al segmento típico a 45°, donde tan θ = 1 y el ojo compara mejor las pendientes? Iguala la subida en píxeles al avance horizontal en píxeles y despeja la altura.
  
  $tan θ = 1 \Rightarrow 2 \cdot \frac{H}{30} = 54.55$
7. 818 píxeles de alto frente a 600 de ancho. Esa es la forma que exigen estos datos, y no es una forma que nadie dibuje por instinto, motivo por el cual hay que calcularla en lugar de estimarla a ojo.
  
  $H = \frac{54.55 \times 30}{2} = 818$
Respuesta

20,1°, y podría haber sido 3,1° con total honestidad. El ángulo queda fijado por el rango del eje y el recuadro, y esos dos elementos se anulan exactamente, por lo que ningún gráfico carece de escala. La inclinación a 45° ofrece una respuesta defendible para esta serie: 818 píxeles de alto sobre una anchura de 600 píxeles.
Una subida y una bajada en razón 3 a 1, y la forma que lo enseña 7 pasos
Pulsa Sube lento, baja rápido. La serie sube durante seis pasos y vuelve a caer en dos, y con la forma predeterminada los dos tramos se parecen mucho. Encuentra la altura que los vuelve lo más distintos posible y decide después si el botón Inclinar el panel derecho a 45° de la propia herramienta te la da.
1. Lee los números antes de mirar el dibujo. Diecisiete puntos, dieciséis pasos y solo dos valores distintos en toda la serie: una subida de 5 doce veces y una bajada de 15 cuatro veces. En estos datos no hay nada más.
  
  $100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 115, 100, \dots \Rightarrow + 5 (\times 12), - 15 (\times 4)$
2. Por tanto, el paso mediano es 5 y la razón entre los dos tramos es exactamente 3. Esa razón es una propiedad de los números y ninguna relación de aspecto puede tocarla, que es justo por lo que el dibujo tiene libertad para mentir sobre ella.
  
  $median ∣ slope ∣ = 5, \frac{∣ - 15∣}{5} = 3 at every aspect ratio$
3. Dale al segmento mediano una pendiente en píxeles y llámala s. El tramo empinado queda entonces en 3s, y los ángulos que ves de verdad son sus arcotangentes. Toda la cuestión es qué s elegir.
  
  $θ_{↑} = arctan s, θ_{↓} = arctan 3 s (s = median pixel slope)$
4. Inclinar a 45° elige s = 1, que es lo que hace el botón: escala la altura hasta que el segmento mediano queda a 45°. El tramo de subida cae en 45,000° y el de bajada en 71,565°, una separación de 26,565°.
  
  $s = 1 : 45.00 0^{\circ} and 71.56 5^{\circ}, Δ θ = 26.56 5^{\circ}$
5. Pero la separación nunca fue lo que la inclinación maximizaba, así que pídela directamente. Deriva la diferencia entre los dos ángulos e iguálala a cero. El 3s y el s tiran en sentidos opuestos, el álgebra se reduce a una sola ecuación de segundo grado y la respuesta es 1/√3.
  
  $\frac{d}{d s} (arctan 3 s - arctan s) = \frac{3}{1 + 9 s ^{2}} - \frac{1}{1 + s ^{2}} = 0 ⟹ s^{*} = \frac{1}{3}$
6. Con esa forma los dos tramos salen a 30° y 60°, y la separación es de 30,000°: tres grados y medio más de lo que da la forma inclinada, en un recuadro que apenas supera la mitad de altura.
  
  $s^{*} = 0.5774 : 30.00 0^{\circ} and 60.00 0^{\circ}, Δ θ = 30.00 0^{\circ}$
7. Los dos ángulos son complementarios, y eso no es una casualidad del número 3. El par más distinguible queda siempre simétrico respecto a 45°, es decir, lo que corresponde situar en 45° es la media geométrica de las dos pendientes. La regla de Cleveland es esa misma afirmación para una serie cuyas pendientes tienen todas el mismo tamaño.
  
  $arctan \frac{1}{r} + arctan r = 9 0^{\circ}, s^{*} \cdot 3 s^{*} = 1$
Respuesta

30° y 60°, al 0,577 de la altura inclinada. Sea cual sea el número que la tarjeta Inclinar el panel derecho a 45° dé para tu panel, multiplícalo por 0,577 y la asimetría de esta serie quedará tan visible como se puede.

La inclinación sigue siendo el ajuste correcto por defecto y esto no es un argumento en su contra. Maximiza lo bien que un ojo distingue una pendiente de otra en todo un conjunto de ellas, usando la mediana como representante del caso típico, y en una serie con muchas pendientes distintas eso es lo que hay que hacer. Esta serie tiene dos. Cuando un conjunto de datos contiene un número pequeño de pendientes distintas y la pregunta es si difieren, la mediana no representa a nadie y la magnitud que importa es la media geométrica: √(5 × 15) en lugar de 5.

Merece la pena saberlo porque la serie que hizo famosa la inclinación tiene esta forma. Dibujado alto, el registro de manchas solares parece una fila de jorobas simétricas; dibujado bajo y ancho, como lo dibujó Cleveland, los ciclos suben claramente más empinados de lo que bajan. La relación de aspecto era toda la diferencia. La aritmética de arriba dice cuánto hay que achatarlo, y dice que cuando una serie tiene dos pendientes en lugar de muchas, la respuesta honesta es aún más baja que la regla que él escribió.

$H^{*} = \frac{H _{banked}}{r} : r = 3 \Rightarrow 0.577 H_{banked}$

Referencias (2)

Banking to 45 degrees: the aspect ratio the tool computes, and why that angle Cleveland, W. S., McGill, M. E. and McGill, R. (1988). The Shape Parameter of a Two-Variable Graph. Journal of the American Statistical Association, 83(402), 289–300. doi:10.1080/01621459.1988.10478598
Where the perceptual claim underneath it comes from Cleveland, W. S. (1993). Visualizing Data. Hobart Press. — on judging slope, and on aspect ratio as a parameter of the display rather than of the data.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-09-03

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

Ascenso constante - Una recta perfecta, que sube 2 en cada paso. Al ajustar el encuadre a los datos, su inclinación aparente es casi cinco veces mayor que cuando el gráfico parte de cero. Son los mismos doce números, pero ambos ángulos cambian al redimensionar la ventana.
Plano, con ruido - Aquí no ocurre nada: los valores deambulan dentro de una banda de cuatro unidades de ancho. Trazada desde cero, la línea parece plana. Recortada al propio rango de los datos, esta misma oscilación llena el panel y se interpreta como un ascenso, y las dos lecturas de ángulo no se parecen en nada. Ninguno de los ángulos es propiedad de los datos. Ambos dependen del ancho que tenga el panel.
Sube lento, baja rápido - Esta sí sube despacio y baja deprisa, en una proporción exacta de tres a uno. Cuánto más rápido parece el descenso depende del recuadro: si lo aplanas, se ve tres veces más pronunciado; si lo inclinas a 45°, ese mismo descenso se ve 1,6 veces más pronunciado. La asimetría es real, aunque la cifra con que la describas depende del encuadre.