Musta augu kalkulaator

Sisesta mass Päikese massides, et uurida mustade aukude geomeetriat ja termodünaamikat — mikroskoopilistest mustadest aukudest supermassiivsete kvasarite mootoriteni.

Näidisarvutus — Musta augu kalkulaator

Schwarzschildi	29.5 km
Footonisfäär	44.3 km
ISCO	88.6 km
Hawkingi temp.	6.17 nK

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Miski, mis sisse kukub, ei kao — see vaid segatakse ära 🖖

1974. aastal näitas Hawking, et kvantefektid sündmuste horisondi lähedal panevad mustad augud termiliselt kiirgama — nagu oleksid nad absoluutselt must keha temperatuuril T_H ∝ 1/M. Kiirgades kaotab auk massi ja kahaneb, kuni lõpuks täielikult aurustub. Kuid siin peitub paradoks: termiline kiirgus ei kanna endas mingit teavet selle kohta, mis sisse kukkus. Kvantmehaanika nõuab, et teave ei hävi kunagi — kuid Hawkingi arvutus näib selle kustutavat. See ongi mustade aukude informatsiooniparadoks. Aastakümnetepikkune arutelu ei toonud lahendust, kuni hiljutised tööd 'saartest' ja Page'i kõverast andsid mõista, et teave võib olla kodeeritud Hawkingi kiirguse enda peentes kvantkorrelatsioonides — põimumisstruktuuris, mis on kohalikele vaatlejatele nähtamatu. Paradoks ei ole täielikult lahendatud, kuid praegune konsensus on, et unitaarsus säilib: teave pääseb välja, kodeerituna viisil, mille lahtimõtestamiseks on vaja täielikku kvantgravitatsiooniteooriat.

Üksainus arv määrab kogu geomeetria 🖖

Mittepöörlevat musta auku kirjeldab täielikult selle mass. Kui tead Schwarzschildi raadiust r_s = 2GM/c², järgneb iga teine tähis kindla kordajana: footonisfäär raadiusel 1.5 r_s ja kõige sisemine stabiilne ringorbiit raadiusel 3 r_s. Kui mass kahekordistub, kahekordistuvad kõik need koos sellega. Mustaks auguks surutuna oleks Päikese läbimõõt vaid ~3 km, Maal aga kõigest ~9 mm.

Mustad augud lähevad kahanedes kuumemaks 🖖

Tavalised kehad jahtuvad energiat kaotades; mustad augud teevad vastupidist. Kuna T_H ∝ 1/M, muudab massi kiirgamine augu kuumemaks, mitte külmemaks — see on negatiivne soojusmahtuvus. Seetõttu muutub aurustumine isevõimenduvaks: mida väiksemaks auk kahaneb, seda kiiremini ta kiirgab, lõpetades lõpliku purskega. See tähendab ka, et must auk ei saa kunagi jõuda stabiilsesse termilisse tasakaalu piiramatu soojusvanniga.

Ülesanne täielikult lahendatud

10 Päikese massiga musta augu sündmuste horisont 5 sammu
Leia 10 Päikese massiga musta augu sündmuste horisont, seejärel vasta millelegi, mis kõlab absurdselt: kui tihe peab must auk olema?
1. Võta paokiiruse tulemus ja küsi, kus see võrdub valguse kiirusega. See on Newtoni-järgne lühitee — täielik tuletamine vajab üldrelatiivsusteooriat — ja see annab juhuslikult täpselt õige vastuse, mis on teada saamist vääriv ajalooline juhus: Michell pani selle kirja 1783. aastal.
  
  $v_{esc} = \frac{2 GM}{R} = c ⟹ R_{s} = \frac{2 GM}{c ^{2}}$
2. Asenda kümme Päikese massi. Ülalolev kalkulaator väljastab selle raadiuse ning silmatorkav omadus on võrdelisus, mitte arv ise: R_s muutub lineaarselt koos massiga.
  
  $R_{s} = \frac{2 ( 6.674 \times 1 0 ^{- 11} ) ( 10 \times 1.989 \times 1 0 ^{30} )}{( 2.998 \times 1 0 ^{8} ) ^{2}} = 2.95 \times 1 0^{4} m = 29.5 km$
3. Kaks ülejäänud raadiust tulenevad kindlate kordsetena, mistõttu tööriist väljastab need koos: valgus ise saab tiirelda raadiusel 1.5R_s ja stabiilset ringorbiiti ei ole olemas seespool 3R_s — see siseäär ongi see, mis määrab akretsiooniketta suuruse.
  
  $r_{ph} = 1.5 R_{s} = 44.3 km, r_{ISCO} = 3 R_{s} = 88.6 km$
4. Nüüd tagajärg. Tihedus on mass jagatud ruumalaga ja ruumala muutub võrdeliselt raadiuse kuubiga, samal ajal kui raadius muutub võrdeliselt massiga — seega tihedus kahaneb pöördvõrdeliselt massi ruuduga. Suuremad mustad augud on vähem tihedad.
  
  $ρ = \frac{M}{\frac{4}{3} π R _{s}^{3}} \propto \frac{M}{M ^{3}} = \frac{1}{M ^{2}}$
5. Pane sellele arvud juurde. Tähe massiga must auk on tihedam kui aatomituum. Ülimassiivne must auk seda ei ole.
  
  $M = 10 M_{⊙} : ρ \approx 1.8 \times 1 0^{17} kg/ m^{3} M = 1 0^{8} M_{⊙} : ρ \approx 1.8 \times 1 0^{3} kg/ m^{3}$
Vastus

29.5 km, fotonsfääriga 44.3 km juures ja sisima stabiilse orbiidiga 88.6 km juures. Kuid viimane rida on see, mis muudab seda, kuidas see objekt tundub: 10⁸ Päikese massiga musta augu keskmine tihedus on umbes 1800 kg/m³ — veidi tihedam kui vesi, vähem tihe kui raud. Sa võiksid ületada selle horisondi ilma kohapeal midagi märkamata. „Must auk“ tähistab geomeetriat, mitte ainet, ja horisont on koht, kust pagenemine muutub võimatuks, mitte millestki koosnev pind.

$R_{s} = \frac{2 GM}{c ^{2}} \propto M ⟹ ρ \propto \frac{1}{M ^{2}}$

Allikad (2)

Insight blocks 1 and 3 — the radiation, and the 1/M temperature that makes evaporation run away: S. W. Hawking, "Black hole explosions?" Nature 248, 30–31, 1974.
The curve block 1 names: D. N. Page, "Information in black hole radiation." Physical Review Letters 71(23), 3743–3746, 1993 — where the entropy of the radiation is argued to turn over rather than rise forever.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-07-29

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Astronoomia & Kosmos õppetunnid →

Näiteülesanded

Täheline (10 M☉) - Tähemassiline must auk (10 M☉) → Rₛ ~ 29.5 km, Tₕ ~ 6.2 × 10⁻⁹ K
Sgr A* (4×10⁶ M☉) - Sgr A* horisont on 0,0790 AU, mis on viiendik teest Päikeselt Merkuurile. Footonsfäär asub 0,118 AU ja lähim stabiilne orbiit 0,237 AU kaugusel. Inimesele mõjuv loodeline kiirendus horisondil on 1,16 mm/s² ehk umbes kümnetuhandik Maa raskuskiirendusest. Te ületaksite selle ilma midagi tundmata.
TON 618 (6,6×10¹⁰ M☉) - Horisondi raadius on 0,0206 valgusaastat, mille läbimiseks kulub valgusel seitse ja pool päeva, ehk umbes 1300 AU — see on kaheksa korda kaugemal kui Voyager 1. Hawkingi temperatuur on 9,35 × 10⁻¹⁹ K ja aurustumisaeg 6,03 × 10⁹⁹ aastat. Seega pole sellel objektil kuhugi kiire.
Algne (10⁻⁸ M☉) - Horisont läbimõõduga 29,5 μm, väiksem kui liivatera, ning Hawkingi temperatuur 6,17 K — see on kõrgem 2,725 K mikrolaine-taustkiirgusest. See piir ongi määrav: antud objekt kiirgab rohkem kui neelab ja suudab tõepoolest aurustuda, samas kui iga tähemassiga must auk on taevast külmem ning muudkui kasvab. Loodeline kiirendus horisondil: 1,85 × 10²⁶ m/s².