Absoluutselt musta keha kiirguse uurija

Muuda temperatuuri, et näha, kuidas soojuskiirguse kuju ja piigi lainepikkus muutuvad.

Näidisarvutus — Absoluutselt musta keha kiirguse uurija

Wieni piigi lainepikkus	502.04 nm
Piigi spektririba	Nähtav

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Absoluutselt musta keha kiirguse uurija

Plancki kiirgusseadus annab, kui heledalt ideaalne soojuskiirgaja igal lainepikkusel kiirgab — ja seda ühestainsast arvust: tema temperatuurist. Seda tasub teada mitte ainult sellepärast, et see on õige, vaid sellepärast, et selleni jõudmine sundis füüsikat tunnistama, et energia tuleb eraldi pakkidena. Siin kõveral algas kvantfüüsika.

Mida iga sümbol tähendab

B(λ, T): spektraalne kiirgustihedus — heledus lainepikkuse ühiku kohta. Selle lehe graafik näitab ainult selle kuju; näidik ei anna ühtki kiirgustiheduse väärtust.
λ_max: tipu lainepikkus, ainus arv, mille see leht väljastab: 502.04 nm temperatuuril 5772 K, 241.48 nm temperatuuril 12000 K, 9659.24 nm temperatuuril 300 K.
h: Plancki konstant. Pane see nulliks ja seadus vajub tagasi klassikaliseks ennustuseks, mis läbi kukkus.
k_B T: soojusenergia skaala. Lainepikkus on hele siis, kui tema footon maksab vähem kui see, ja tume siis, kui maksab palju rohkem.

Kust valem tuleb

Loe kokku, mitmel viisil saab valgus soojas kastis võnkuda. Lühikesed lainepikkused mahuvad sinna palju rohkematel viisidel kui pikad — arv kasvab nagu 1/λ⁴. Klassikaline füüsika annab siis igaühele neist sama keskmise energia, k_B T.
See ennustus on katastroof. Kui lühimat lainepikkust ei ole, muutub kogu kiirgusenergia lõpmatuks — iga soe keha, sealhulgas sina, ujutaks toa ultraviolettkiirgusega üle. See on ultraviolettkatastroof ja see ei olnud ümardusviga, vaid otsene vastuolu sellega, et soojad esemed lihtsalt seisavad rahulikult.
Plancki parandus: sagedusega ν võnkumine tohib kanda energiat ainult täisarvkordsetes hν jagudes. Lühike lainepikkus tähendab suurt hν-i, ja kui hν ületab k_B T tunduvalt, ei jätku soojusenergiat isegi ühe paki jaoks — see mood jääb pimedaks.
Just see ongi e^(hc/λk_B T) − 1 seaduse nimetajas. See surub lühikesed lainepikkused eksponentsiaalselt alla, ja just seepärast kõver pöördub selle asemel, et lõputult tõusta — ja pöörduval kõveral on tipp. Tuletis nulliks ja saadki selle lainepikkuse, mille see leht näitab.

Kuidas nähtut lugeda

Kõver on joonistatud normeerituna oma maksimumile, seega tema kõrgus ei kanna mingit infot — iga temperatuur ulatub raami ülaservani. Tähendust omavad siin ainult kuju ja tipu asukoht. Tegelikkuses on kuumem keha heledam igal lainepikkusel, mitte pelgalt sinisem, ja see erinevus on sellel graafikul meelega nähtamatu.

Eeldab: Keha, mis on soojuslikus tasakaalus ühel kindlal temperatuuril, läbipaistmatu, neelab kõik pealelangeva ega peegelda midagi. Päris pinnad jäävad sellest maha teguri võrra, mida nimetatakse emissiivsuseks; see skaleerib kogu kõverat allapoole, muutmata selle kuju ega tippu.
Ei kehti, kui: Plancki seadus kirjeldab ainult soojuslikku kiirgust. Luminofoorlamp, neoonsilt ja laser tekitavad valgust kuum olemata ning nende spektrid on kitsad jooned, mida see kõver ühelgi temperatuuril ei lähenda. Leht näitab ka vaiksemat piiri: laadi toatemperatuuri näidis ja tipp liigub väärtusele 9659.24 nm, kaugele paremast servast välja, nii et graafik ei joonista enam ühtki tipumärgist. Füüsika ei muutu, aken on lihtsalt liiga kitsas.

Päikese maksimum on roheline 🖖

Laadi Päikese eelseade: tööriist teatab maksimumi 502 nm juures ja värvib oma värvilapi roheliseks, sest 502 nm on roheline valgus. Ometi on päikesevalgus valge. Maksimum on üks lainepikkus, samal ajal kui silm summeerib kogu kõvera, ja 5772 K Plancki spekter annab sellest maksimumist mõlemal pool ohtralt punast ja sinist — keskmistatult tuleb valge. Värvilapp on maksimumi suhtes aus ja tähe suhtes eksitav. Tasub silmas pidada: neljast eelseadest langeb ainult Päikese maksimum üldse nähtavasse vahemikku; hõõgniit jääb 1035 nm juurde infrapunasesse ja 12 000 K täht 241 nm juurde ultraviolettsesse.

Miks kõik soe hõõgub 🖖

Kõik, mille temperatuur ületab absoluutset nulli, kiirgab valgust. See tööriist näitab selle taga olevat seaduspära: musta keha spektri kuju sõltub ainult temperatuurist, mitte keha koostisest. Samal temperatuuril annavad rauatükk ja kauge täht täpselt ühesuguse kõvera. Värvus toimib termomeetrina: liikudes hõõgpunasest sinakasvalgeni, loed temperatuuri otse helendusest.

Universum on täiuslik must keha 🖖

Kõige laitmatum kunagi mõõdetud must keha ei asu üheski laboris — see on kogu taevas. Kosmiline mikrolaine-taustkiirgus, mis on jäänuk umbes 380 000 aastat pärast Suurt Pauku, järgib Plancki spektrit temperatuuril T = 2.725 K täpsusega parem kui 0.01% ja saavutab tipu 1.06×10⁻³ m lähedal mikrolainealas. NASA instrument FIRAS ei leidnud ühtki kõrvalekallet, mis ületaks mõne osa 10⁵ kohta — kosmoloogia vanim valgus on ühtlasi füüsika puhtaim soojuskõver.

Ülesanne täielikult lahendatud

Wieni konstant Plancki seadusest 5772 K pinna jaoks 6 sammu
Päikesevalgus pärineb 5772 K temperatuuriga pinnalt. Tuletage Wieni konstant tabelist otsimise asemel Plancki seadusest, leidke spektri maksimumi lainepikkus — ning seejärel arvutage samast kahest arvust Päikese koguvõimsus.
1. Plancki seadus annab kiirgustiheduse lainepikkuse ühiku kohta. Maksimum asub seal, kus selle tuletis võrdub nulliga, seega tuletage — ning tulemus ei ole tavaline võrrand.
  
  $B_{λ} (T) = \frac{2 h c ^{2}}{λ ^{5}} \frac{1}{e ^{h c / λk T} - 1}, \frac{\partial B _{λ}}{\partial λ} = 0$
2. Dimensioonitu rühma x = hc/λkT asendamine taandab tuletise transtsendentseks võrrandiks, millel puudub ilmutatud kujul lahend. Itereerimine alates väärtusest x = 5 koondub mõne sammuga.
  
  $x = \frac{h c}{λk T} : x = 5 (1 - e^{- x}) ⟹ x = 4.9651$
3. Kuna x on dimensioonitu arv, on korrutis λT konstant, mis koosneb vaid suurustest h, c ja k. Just seepärast Wieni nihkekonstant üldse eksisteeribki: objekti kohta ei jää algebralisest teisendusest midagi järele.
  
  $b = \frac{h c}{4.9651 k} = \frac{1.9864 \times 1 0 ^{- 25}}{6.8555 \times 1 0 ^{- 23}} = 2.8978 \times 1 0^{- 3} m K$
4. Jagage temperatuuriga. 502 nm on roheline, mille juures tasub peatuda — Päikese kiirguse maksimum on rohelises piirkonnas, kuid Päike paistab valgena, sest silm integreerib kogu kõvera, mitte ei edasta selle maksimumi.
  
  $λ_{m a x} = \frac{b}{T} = \frac{2.8978 \times 1 0 ^{- 3}}{5772} = 5.0204 \times 1 0^{- 7} m = 502.04 nm$
5. Sama Plancki kõvera alune pindala antakse Stefani seadusega, ning just neljas aste teeb tähed nii armutuks: 10% kuumam tähendab 46% heledamat.
  
  $F = σ T^{4} = 5.6704 \times 1 0^{- 8} \times 577 2^{4} = 6.294 \times 1 0^{7} W/ m^{2}$
6. Korrutage pindalaga. See on Päikese heledus ning see ühtib mõõdetud väärtusega esitatud numbrite täpsusega.
  
  $L = 4 π R_{⊙}^{2} F = 6.082 \times 1 0^{18} \times 6.294 \times 1 0^{7} = 3.828 \times 1 0^{26} W$
Vastus

502,04 nm ja 3,83 × 10²⁶ W. Teine arv on see, mis rabab: päikesevalguse värvusest ja Päikese raadiusest piisab selle heleduse tuletamiseks nelja tüvenumbri täpsusega, ilma et ahela üheski lülis oleks mõõdetud heledust. See ongi kogu põhjus, miks täheastrofüüsika toimib. Täht on kaalumiseks liiga kaugel ja lähenemiseks liiga hele, kuid selle spekter annab temperatuuri, nurkmõõt annab raadiuse ning Stefani seadus teisendab selle paari energiabilansiks — millest tulenevad peajada eluiga ja lõpuks supernoova.

$λ_{m a x} = \frac{b}{T} = 502.04 nm; 4 π R_{⊙}^{2} σ T^{4} = 3.828 \times 1 0^{26} W$

Allikad (3)

The distribution the curve is drawn from: M. Planck, "Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum." Annalen der Physik 309(3), 553–563, 1901.
The 5772 K solar effective temperature the Sun preset uses: A. Prša et al., "Nominal Values for Selected Solar and Planetary Quantities: IAU 2015 Resolution B3." The Astronomical Journal 152(2), 41, 2016.
The Wien displacement constant used to place the peak marker: E. Tiesinga, P. J. Mohr, D. B. Newell and B. N. Taylor, "CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018." Reviews of Modern Physics 93(2), 025010, 2021.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-07-11

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Astronoomia & Kosmos õppetunnid →

Näiteülesanded

Toatemperatuur - Temperatuuril 300 K on spektri maksimum lainepikkusel 9659 nm ehk 9,7 mikromeetrit, sügaval infrapunapiirkonnas ja täpselt selles vahemikus, mille jaoks termokaamerad on ehitatud.
Päikesetaoline fotosfäär - Temperatuuril 5772 K on spektri maksimum lainepikkusel 502 nm. See on siin ainus eelseadistus, mille maksimum üldse nähtava valguse piirkonda jääb. Tööriist värvib näidise roheliseks, kuid päikesevalgus on valge.
Kuum O/B-täht - Temperatuuril 12000 K on spektri maksimum lainepikkusel 241 nm ehk ultraviolettkiirguse piirkonnas. Täht paistab siiski sinakasvalge, sest silma jõuab kõvera saba, mitte selle maksimum.
Hõõgniit - Temperatuuril 2800 K on spektri maksimum lainepikkusel 1035 nm, väljaspool nähtava valguse punast piiri. Hõõglamp on peamiselt infrapunakiirgur, mis juhtumisi ka helendab.