Paokiiruse võrdleja

Leia kiirus, millega Maalt minema visatud keha ei tule kunagi tagasi — ning kasuta seda selgitamaks, miks Maal on ikka veel lämmastikku, miks ta kaotab aeglaselt oma vesinikku ja miks Kuul ei ole üldse õhku. Maa: M = 5.972 × 10²⁴ kg, R = 6371 km.

1. „Ei tule kunagi tagasi“ on väide energia, mitte kõrguse kohta. Gravitatsioonitõmme nõrgeneb kaugusega, kuid ei lülitu kunagi välja, seega on tingimuseks see, et kineetiline energia on vähemalt sama suur kui gravitatsiooniaugu sügavus, milles keha asub.

   $$\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{GMm}{R}\ge 0$$

2. Sea koguenergia võrdseks nulliga — piirjuhtum, kus lõpmatusse jõutakse ilma et midagi üle jääks — ja lahenda. Heidetava keha enda mass taandub välja, mis on esimene üllatav asi: kuul ja kaljurahn vajavad täpselt sama kiirust.

   $$v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$$

3. Pane Maa arvud sisse. See on väärtus, mille ülalolev võrdleja väljastab, kui Maa on valitud, ja tasub tähele panna, et see on kiirus, mitte tõmbejõud: miski siin ei ütle, kuidas sa selleni jõuad.

   $$v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2(6.674\times 10^{-11})(5.972\times 10^{24})}{6.371\times 10^6}}=11186m/s\approx 11.2km/s$$

4. Nüüd kasuta tõsiasja, et m taandus välja. See kehtib lämmastikumolekuli kohta sama palju kui raketigi kohta. Gaasimolekulid ei liigu kõik ühe kiirusega, kuid ruutkeskmine kiirus tuleneb üksnes temperatuurist.

   $$v_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}:{\mathrm{H}}_2\text{at}288\mathrm{K}=1.90km/s,{\mathrm{N}}_2=0.51km/s$$

5. Gaas ei kao niipea, kui mõne molekuli kiirus ületab paokiiruse: jaotuse kiiremas sabas olevad molekulid hajuvad maailmaruumi miljardite aastate jooksul. Rusikareegli järgi suudab taevakeha gaasi kinni hoida, kui paokiirus on molekulide kiirusest vähemalt ligikaudu kuus korda suurem. Kuu rea väärtus vastab Kuu enda temperatuurile. Kuna seal pole õhku, mis soojust jaotaks, tõuseb päevakülje temperatuur ligikaudu 390 K-ni ja lämmastikumolekulide kiirus 0,59 km/s-ni.

   $$\frac{v_{\text{esc}}}{v_{\text{rms}}}:\text{Earth},{\mathrm{N}}_2=22\text{Earth},{\mathrm{H}}_2=5.9\text{Moon},{\mathrm{N}}_2=4.0$$

11,2 km/s pääseb Maalt. Päikeselt see ei pääse: see jätab su Päikese haardesse Maa kaugusel, tiirlema kõrvuti planeediga, mille just maha jätsid. Arvuta välja, mis Päikesesüsteemist lahkumine tegelikult maksab.

1. Alusta paneelil olevast arvust ja energiabilansist, mis selle andis: kineetiline energia kaotab täpselt ära gravitatsioonilehtri sügavuse.

   $$v_{\mathrm{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=\sqrt{\frac{2(6.674\times 10^{-11})(5.972\times 10^{24})}{6.371\times 10^6}}=11.19\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$

2. Nüüd vaheta keskpunkti, mille suhtes mõõdad. Maa ise langeb ümber Päikese kiirusega, mille sama seadus ühe astronoomilise ühiku kaugusel paika paneb.

   $$v_{\oplus }=\sqrt{\frac{G{M}_{\odot }}{a}}=\sqrt{\frac{(6.674\times 10^{-11})(1.989\times 10^{30})}{1.496\times 10^{11}}}=29.79\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$

3. Päikeselt sellelt kauguselt pääsemine nõuab √2 korda ringkiirust — täpselt sama seos, sest aritmeetikat ei huvita, kumb keha sind kinni hoiab.

   $$v_{\mathrm{esc},\odot }(1\mathrm{AU})=\sqrt{2}{v}_{\oplus }=1.4142\times 29.79=42.13\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$

4. Lahuta ja pane tähele, mida sulle kingitakse. Sa liigud juba 29,79-ga ja vajad 42,13, seega puudu on ainult vahe — ja selle saad tasuta, kui startida suunas, kuhu Maa niikuinii liigub.

   $$\Delta v=42.13-29.79=12.34\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$

5. Maalt tuleb siiski välja ronida, ja liituvad energiad, mitte kiirused. Just seepärast liidetakse kaks arvu ruutudena: pinnal vajalik kiirus on hüpotenuus, mitte summa.

   $$\frac{1}{2}{v}^2-\frac{GM}{R}=\frac{1}{2}\Delta v^2⟹v=\sqrt{v_{\mathrm{esc}}^2+\Delta v^2}=\sqrt{11.19^2+12.34^2}=16.65\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$

6. Nüüd pööra ümber ja starti Maa liikumisele vastu. Kaks kiirust ei kustuta enam teineteist, vaid liituvad.

   $$v_{\mathrm{retro}}=\sqrt{11.19^2+(42.13+29.79{)}^2}=\sqrt{125.2+5172.5}=72.79\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$