Pargi loendus

Park ootab 12 looma. Looduses on neid nelikümmend. Iga ring tuvastab konkreetse looma tõenäosusega 0,28 ja otsing kestab 8 ringi. Mida loendus näitab, nii ülempiiriga kui ka ilma?

1. Alustame katvusest. Loom jääb ühel ringil märkamata tõenäosusega 0,72. Seega jääb ta kõigil kaheksal ringil märkamata tõenäosusega 0,72 astmes kaheksa.

   $$(1-0.28{)}^8=0.72^8=0.0722$$

2. Otsing tuvastab seega umbes 93% kõigest, mis seal leidub. Kui kohal on 40 looma, teeb see kokku 37.

   $$1-0.0722=0.928\Rightarrow 40\times 0.928=37$$

3. Kui ülempiir on rakendatud, peatub otsing 12 juures. See ei jõua kunagi 37-ni ja raport näitab täpselt oodatud arvu.

   $$\min (37,12)=12$$

4. See lünk ongi peamine leid. Looduses on 28 looma, keda pole arvele võetud, ometi näitab raport täiuslikku klappimist. Ülempiir ei seadnud arvule lihtsalt piirangut. See kõrvaldas ainsa signaali, et midagi on valesti.

   $$40-12=28$$

5. Nüüd teine mõõdik. Suurusi mõõdetakse leitud loomadel, seega määrab ülempiir ka valimi suuruse. 12 looma ülempiiriga, 37 ilma.

   $$n_{\mathrm{capped}}=12n_{\mathrm{free}}=37$$

6. Kolme põlvkonna mudeli võrdlemine pideva vanusjaotusega annab log-tõepära suhteks 12 looma puhul −2,6 ja 37 looma puhul −18,5. Kui absoluutväärtus jääb alla 5, ei anna tõepära suhe sulle veel alust tegutseda.

   $$\log \frac{L_{\mathrm{cohorts}}}{L_{\mathrm{continuous}}}=-2.6\text{vs}-18.5$$

7. Siinkohal ammendab rakendus oma võimalused ja selgub, et romaanil on märkamatult õigus millegi vägagi reaalse osas. Mõlemad arvud viitavad paljunemisele. Vaid üks neist on piisavalt tugev, et seda ka väita. Nendevahelist erinevust ei põhjustanud loomad ega bioloogia. Selle põhjustas reegel, millal otsimine lõpetada.

   $$|\Lambda |<5\Rightarrow \varnothing$$

Vajuta Keegi ei paljune. Looduses on neid viiskümmend, otsing teeb kaheksa ringi ja toob tagasi 46. Lase tööriistal töötada tagurpidi — taasta loendusest populatsioon — ja otsusta seejärel, kas park peaks otsima sagedamini või mõõtma oma otsingut paremini.

1. Kõigepealt katvus, sest kõik siinne ripub selle küljes. Üks ring märkab konkreetset looma tõenäosusega 0,28, jätab ta seega märkamata tõenäosusega 0,72 ning kaheksa sõltumatut ringi jätavad ta märkamata tõenäosusega 0,72 astmes kaheksa. Mis iganes seal ka on, otsing leiab sellest 92,78%.

   $$c=1-(1-p{)}^k=1-0.72^8=1-0.0722=0.9278$$

2. Sealt tulebki kaardil olev 46, ja tasub näha, kuidas tööriist teeb selle suunas, mille jaoks kellelgi kunagi andmeid ei ole: talle anti tõde ja temalt küsiti loendust.

   $$\lfloor 50\times 0.9278\rfloor =46$$

3. Päris uuring seisab selle võrrandi teisel pool. Tal on märkmikus 46 ja ta tahab teada arvu pargis, seega tuleb korrutamise asemel jagada. Ümardatuna lähima terve loomani: 50.

   $$\hat{N}=\frac{n}{c}=\frac{46}{0.9278}=49.58\Rightarrow 50$$

4. See vastus toetub märkamistõenäosusele, mille park lihtsalt pakkus, seega on küsimus, kui tugevasti ta sellele toetub. Diferentseeri logaritmi: hinnangu suhteline viga on p suhteline viga korrutatuna selle teguriga.

   $$\left|\frac{d\ln \hat{N}}{d\ln p}\right|=\frac{kp(1-p{)}^{k-1}}{1-(1-p{)}^k}$$

5. Ühe ringi juures on see täpselt 1 — iga protsent, mille võrra sa p-s eksid, on protsent, mille võrra sa populatsioonis eksid, ei rohkem ega vähem. Kaheksa ringi juures on see 0,242. Sama eksimus maksab veerand sellest.

   $$k=1:\frac{p}{p}=1;k=2:0.837;k=8:\frac{8\times 0.28\times 0.72^7}{0.9278}=0.242$$

6. Kontrolli seda mooduli abil, mitte tuletist usaldades. Lase tõelisel märkamistõenäosusel olla ükskõik kus vahemikus 0,20 kuni 0,40, samal ajal kui park eeldab endiselt 0,28: kaheksa ringi järel rändab hinnang 55 ja 47 vahel, kahe ringiga otsing aga — mis leiab 24 looma, mitte 46 — rändab 67 ja 38 vahel.

   $$p=0.20\to 0.40:{\hat{N}}_{k=8}=55.3\to 46.8,{\hat{N}}_{k=2}=66.7\to 37.5$$