Fraktalite uurija

Reguleeri rekursiooni sügavust ja vaata, kuidas isesarnased mustrid lihtsatest reeglitest tekivad.

Näidisarvutus — Fraktalite uurija

Sügavus	5
Kolmnurki	243

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Fraktalite uurija

Fraktaalne dimensioon tekib siis, kui nõuda, et „dimensioon“ tähendaks seda, kuidas detail sisse suumides paljuneb, ja rakendada see siis kordamise teel ehitatud kujundile. Paneel näitab seda parasjagu ekraanil oleva kujundi kohta ja arvud ei ole täisarvud: Kochi lumehelbel on 1.262, Sierpiński kolmnurgal 1.585, Cantori hulgal 0.631. Kujund võib olla enam kui joon ja vähem kui tasand, ning selles menüüs on neid kaheksa.

Horisontaalne fraktaalse dimensiooni telg 0-st 2-ni, millele on menüü kaheksa kujundit märgitud oma dimensiooni juures, joone ja tasandi vahel.

Cantori hulk 0.631 juures on üllatus: allpool dimensiooni 1, enam kui punktitolm ja vähem kui joon. Selle kogupikkus on null ja tal on sellegipoolest ülimalt palju, mitteloenduvalt palju punkte.
Koch 1.262 ja Sierpiński 1.585 juures hõivavad just selle ala, mille jaoks sõna „fraktal“ välja mõeldi — tõepoolest joone ja tasandi vahel, ei lähendus ega ümardus.
Barnsley sõnajalg ≈ 1.893 juures jõuab tasandi täitmisele lähedale, ilma seda kunagi tegemata, ja tema väärtus on ligikaudne, sest ta neli teisendust kattuvad.
Kolm konstruktsiooni maanduvad täpselt 2 peal — draakon, Lévy C-kõver ja Hilberti oma. Need pole kõverad, mis täitmisele lähedale jõuavad: piiril nad täidavad.

Mida iga sümbol tähendab

N: mitu koopiat iseendast reegel igal sammul teeb. Koch asendab ühe lõigu neljaga, Sierpiński ühe kolmnurga kolmega.
r: kui palju väiksem on iga koopia. Koch skaleerib ⅓, Sierpiński ½, Lévy C-kõver 1/√2.
D: Hausdorffi dimensioon, mille paneel trükib: log N / log(1/r) — astendaja, mis viib koopiate arvu ja skaleerimise kokku.
depth: mitu korda reeglit ekraanil tegelikult rakendati. See lõpeb 7 juures ja iga ülalolev D on piirväärtus lõpmatuse suunas.

Kust valem tuleb

Alusta kujunditest, mida sa juba usaldad. Poolita joon ja selle taastamiseks kulub 2 koopiat; poolita ruut, kulub 4; poolita kuup, kulub 8. Muster on N = (1/r)^D, kus D on 1, 2 ja 3 — dimensioon on astendaja, mis seob koopiad ja skaleerimise, ning miski selles määratluses ei nõua täisarvu.
Avalda D. Võttes võrrandist N = (1/r)^D logaritmid, saad D = log N / log(1/r). Just selle valemi paneel trükibki ja iga selle osa on näha kohe ülalolevas ehitusreeglis.
Loe reegel lehelt ja asenda. Koch asendab ühe lõigu nelja ⅓ pikkusega, seega N = 4 ja 1/r = 3, mis annab log 4 / log 3 ≈ 1.262. Sierpiński annab log 3 / log 2 ≈ 1.585. Kumbki pole täisarv ja see pole lähendus — see ongi see, mis kujund on.
Tee nüüd arvutus seal, kus see üllatab. Lévy C-kõver asendab ühe lõigu kahega suhtega 1/√2, seega log 2 / log √2 = 2 täpselt; Hilbert asendab ühe neljaga suhtega ½, andes log 4 / log 2 = 2. Täpselt 2 tähendab, et need pole ringi ekslevad kõverad — piiril täidavad nad pinna, ja just seepärast kirjutab paneel „ruumitäitev“ kümnendmurru asemel.

Kuidas nähtut lugeda

Vaheta kujundit ja jälgi, kuidas loendurirea nimi muutub: Sierpiński juures kolmnurgad, Kochil lõigud, puul oksad, Cantoril vahemikud, Hilbertil ja sõnajalal punktid. See pole kaunistus — „mitu tükki“ tähendab igas konstruktsioonis tõesti eri asja ja paneel keeldub neid ühe sõna alla surumast. Iga loend klapib kõrvalasuva valemiga: sügavusel 4 näitab Sierpiński 81 = 3⁴, Koch 768 = 3·4⁴, Cantor 16 = 2⁴, Hilbert 256 = 4⁴ ja puu 31 = 2⁵ − 1. Sea sügavus nulli ja tõsta siis ühekaupa; loendurisammas ongi reegel, nähtavaks tehtud aritmeetika.

Eeldab: Et koopiad on täpsed ega kattu. D = log N / log(1/r) on väide range enesesarnasuse kohta — just seepärast lubab paneel endale Kochi ja Sierpiński puhul täpse logaritmide suhte ning trükib Barnsley sõnajala kohta ≈ 1.893 ja puu kohta ≈ 1. Sõnajalg on ehitatud neljast erineva suhtega afiinsest teisendusest, mis kattuvad, ja puu dimensioon muutub kohe, kui muudad oksanurka. Tilde teeb siin päris tööd.
Ei kehti, kui: Miski ekraanil ei ole fraktal. Sügavuse liugur lõpeb 7 juures ja sügavusel 7 on Kochi kõver 3·4⁷ = 49 152 sirget lõiku täiesti lõpliku kogupikkusega — tavaline hulknurk, mille dimensioon on täpselt 1. Iga paneeli väärtus on piirväärtus, mille poole joonis liigub ja milleni ta kunagi ei jõua; sama kehtib ka vastupidi: ruumitäitvad kõverad piiravad igal valitaval sügavusel nullise pindala. Selle lehe aus lugemine on, et sa vaatad jada — ja fraktal on see, mille jaoks jada olemas on.

Ükski neist fraktalitest ei tule kompleksarvulisest polünoomist — igaüks on korduv reegel 🖖

Ükski neist kaheksast kujundist ei ole Mandelbroti hulk ja ühegi moodustamiseks pole vaja kompleksarve. Kõik need tekivad asendamise teel: lõik asendatakse väiksematest lõikudest koosneva kujundiga, seejärel korratakse sama võtet. Sügavuse liugur näitabki täpselt korduste arvu. Sellest konstruktsioonist saab mõõtme vahetult leida. Kochi kõveras asendatakse üks lõik nelja kolm korda lühema lõiguga, seega on selle mõõde log 4 / log 3 = 1,262. Eelseadistuse sügavusel 4 on kõvera pikkus juba (4/3)⁴ = 3,16 korda suurem alglõigu pikkusest. Sierpiński kolmnurga mõõde on log 3 / log 2 = 1,585. Cantori hulga mõõde on log 2 / log 3 = 0,631: sel hulgal on vähem kui üks mõõde.

Üks reegel, korratuna, saab kõigeks 🖖

Iga siinne kujund sünnib ühestainsast käsust, mida programm rakendab iseendale. Fraktaalpuu oks tekitab lihtsalt kaks lühemat oksa ja igaüks neist kordab sama reeglit — see ongi rekursioon. Tõsta sügavust ühe võrra ja okste arv kahekordistub, kuid reegel ise ei muutu kunagi. Iga pesastatud väljakutse laotakse väljakutsete pinusse ja hargneb tagasi, kui joonis on valmis.

Draakonikõver kummitab Jurassic Parki 🖖

Selle uurija draakonikõver on Heighway draakon, mille saab, kui voltida pabeririba korduvalt ja avada iga murdejoon täisnurga alla. Michael Crichton pani selle oma 1990. aasta romaani Jurassic Park: iga seitsmest osast algab kõveraga ühe astme sügavamas iteratsioonis, peegeldades, kuidas tilluke häiritus paisub kaoseks. Matemaatik Ian Malcolmi valituna on see matemaatika kui jutustamisvahend.

Kolmel neist kaheksast kõverast on dimensioon täpselt 2 🖖

Tee sama arvutus ülejäänud menüü kohta ja ilmneb midagi kummalist. Draakon ja Lévy C-kõver asendavad kumbki ühe lõigu kahega, mille pikkus on 1/√2, mis annab log 2 / log √2 = täpselt 2. Hilbert asendab ühe neljaga poole pikkusega: log 4 / log 2 = jälle 2. Dimensioon täpselt 2 tähendab, et need ei ole tegelikult kõverad, mis tasandil ringi rändavad — lõpmatul sügavusel need täidavad selle, külastades piirkonna iga punkti. Just seepärast näevad nad ammu enne sügavusliuguri lõppu tihked välja, samas kui Koch 1,262 juures seda kunagi ei tee.

Sõnajalga joonistab juhus ja see tuleb iga kord täpselt sama 🖖

Barnsley on erand: mitte asendusreegel, vaid kaosemäng. Alusta punktist, vali juhuslikult üks neljast afiinsest teisendusest — kaaludega 1 %, 85 %, 7 %, 7 % —, rakenda, joonista, korda. Miski selles ei ütle „sõnajalg“, ja ometi ilmub sõnajalg. Ning igal külastusel seesama, sest tööriist käivitab oma generaatori kindla arvuga 42, nii et valikute jada ei muutu kunagi. Sügavam mõte on see, et polekski tähtis, kui muutuks: itereeritud funktsioonide süsteem koondub oma atraktorile sõltumata sellest, millist juhuslikku teed sa mööda lähed. Juhuslikkus on meetodi jaoks hädavajalik ja vastuse jaoks tähtsusetu.

Ülesanne täielikult lahendatud

Sierpiński kolmnurk sügavusel 5 ja 243 osaga 5 sammu
Sügavusel 5 on Sierpiński kolmnurgal 243 osa. Tuleta see ning seejärel leia sügavus, mille juures säilib alla 1% algsest pindalast — ja mida teeb ümbermõõt pindala hääbumise ajal.
1. Konstruktsioon on üksainus rekurents: iga kolmnurk muutub kolmeks. Selle lahendamiseks ei ole vaja muud kui märgata, et tegemist on geomeetrilise jadaga.
  
  $N (n) = 3 N (n - 1), N (0) = 1 ⟹ N (n) = 3^{n}; N (5) = 243$
2. Igal järglasel on poole lühem külg, seega veerand pindalast, ning neid on kolm. Korruta need kaks tegurit ja ilmnebki pindala reegel.
  
  $s (n) = (\frac{1}{2})^{n} s_{0} \Rightarrow A (n) = 3^{n} (\frac{1}{4})^{n} A_{0} = (\frac{3}{4})^{n} A_{0}$
3. Arvuta mõlemad sügavusel 5. Pindalast on alles veidi alla veerandi — 23,7% — ja piirjoon on juba 7,59 korda pikem oma algsest pikkusest.
  
  $A (5) = (\frac{3}{4})^{5} = \frac{243}{1024} = 23.7%, P (5) = (\frac{3}{2})^{5} = 7.59 \times$
4. Dimensiooni defineerib eksponent, mis hoiab reegli kohaselt konstantsena avaldise arv × suurus^D. Kolm koopiat poole väiksemas skaalas seab tingimuseks 3 = 2^D, ning joonisest endast ei tulene siia midagi.
  
  $N (n) s (n)^{D} = const \Rightarrow 3 \cdot 2^{- D} = 1 \Rightarrow D = \frac{lo g 3}{lo g 2} = 1.585$
5. Nüüd lahenda pindala reegel sügavuse suhtes, mille juures säilib 1%. Logaritmimine annab 16,01, seega sügavus 17 — ning selleks ajaks on kolmnurkade arv ületanud 129 miljonit, mis ongi põhjus, miks tööriist peatub sellest varem.
  
  $(\frac{3}{4})^{n} < 0.01 \Rightarrow n > \frac{ln 0.01}{ln 0.75} = 16.01 \Rightarrow n = 17, N = 3^{17} = 129140163$
Vastus

Sügavus 17, milleks hetkeks on kolmnurki 129 140 163. Kaks suurust liiguvad vastassuundades ja mõlemad teevad seda geomeetriliselt: pindala kahaneb nagu (3/4)ⁿ nulli poole, samal ajal kui koguümbermõõt kasvab nagu (3/2)ⁿ piiramatult. Kujund, mille pindala läheneb nullile ja mille piirjoon läheneb lõpmatusele, ei ole halvasti käituv, see ei ole lihtsalt ühemõõtmeline ega ka kahemõõtmeline — ning eksponent, mis need kaks lepitab, log 3 / log 2 = 1,585, ongi see, mida "dimensioon" peab tähendama, kui lubada selliseid kujundeid. Pane tähele, et see ei ole midagi pildilt mõõdetut; see tuleneb üksnes loendamisreeglist.

$N = 3^{5} = 243, A = (\frac{3}{4})^{5} = 23.7%, D = \frac{l o g 3}{l o g 2} = 1.585$

Allikad (3)

Where fractional dimension entered general use — the paper behind the dimensions quoted here: B. Mandelbrot, "How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension." Science 156, 636–638, 1967.
The chaos game and the fern, from the book that introduced both: Michael F. Barnsley, Fractals Everywhere. Academic Press, 1988. ISBN 978-0-12-079062-3.
The dragon curve as a storytelling device, section by section: Michael Crichton, Jurassic Park. Alfred A. Knopf, 1990. ISBN 978-0-394-58816-2.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-06-12

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Arvutustehnika õppetunnid →

Näiteülesanded

Sierpinski - Sügavus 6: 3⁶ = 729 kolmnurka, alles on 17,8% algsest pindalast ning piiri pikkus on kasvanud 11,39-kordseks. Mõõde log 3 / log 2 = 1,585.
Kochi lumehelves - Sügavus 4: iga lõik on neli korda järjest asendatud nelja kolm korda lühema lõiguga, seega on kontuuri pikkus (4/3)⁴ = 3,16 korda suurem alglõigu pikkusest. Mõõde 1,262.
Fraktaalpuu - Sügavus 10. Harude arv kahekordistub igal sammul, seega tekib kolmest joonest koosneva reegli järgi 2¹⁰ = 1 024 harutippu.
Lohekõver - Sügavus 12, seega 2¹² = 4 096 lõiku. Selle mõõde on täpselt 2. Seepärast näib kujund täidetuna: lõpmatu sügavuse korral täidab see tasandi piirkonna.
Cantori hulk - Ainus kujund, mille mõõde on alla 1: log 2 / log 3 = 0,631. Sügavusel 6 moodustavad alles jäänud 64 intervalli 8,8% algsest pikkusest.
Barnsley sõnajalg - See ei põhine asendusreeglil, vaid kaosemängul: juhuslikult valitakse nelja afiinteisenduse vahel kaaludega 1%, 85%, 7% ja 7%. Tööriista generaatori algväärtus on 42, mistõttu on sõnajalg igal külastusel ühesugune.
Hilberti kõver - Üks lõik asendatakse nelja poole lühema lõiguga, seega log 4 / log 2 = 2 täpselt. Sügavusel 5 katavad selle 1 024 ruutu juba kogu suure ruudu.
Lévy C-kõver - Kaks lõiku pikkusega 1/√2 alglõigu pikkusest annavad mõõtmeks log 2 / log √2 = 2, täpselt nagu draakonkõveral ja samal põhjusel.

YouTube

3Blue1Brown·Fractals are typically not self-similar