Ohu Kordumisperiood ja Eluea Risk

Uurige, kuidas aastased tõenäosused aastakümnete jooksul koonduvad ja kuidas ehitusnormid arvutavad kordumisperioode tagurpidi.

Näidisarvutus — Ohu Kordumisperiood ja Eluea Risk

Oodatav Arv n/T	0,30
Nõutav Kordumisperiood	285

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

100-aastane üleujutus tähendab 26% riski 30-aastase hüpoteegi jooksul 🖖

'100-aastane üleujutus' ei tähenda korrapäraselt kord sajandis toimuvat sündmust. See tähistab aastast ületustõenäosust 1/100 ehk 1% igal aastal. 30-aastase hüpoteegi jooksul on vähemalt ühe sellise üleujutuse kogemise kumulatiivne tõenäosus 1 − (1 − 0,01)³⁰ = 26,03% — rohkem kui 1 neljast. 100 aasta jooksul on tõenäosus 63,40%, samas kui võimalus, et seda ei juhtu kunagi, on 36,60%. Kordumisperiood on lihtsalt aastase tõenäosuse pöördväärtus.

63% konstant: ühe kordumisperioodi ootamine ei anna kunagi kindlust 🖖

Kui seate säritusperioodi n võrdseks kordumisperioodiga T, koondub kumulatiivne risk 1 − (1 − 1/T)ᵀ kiiresti väärtuseni 1 − 1/e ≈ 63,21%. Kui T = 10, on risk 65,13%; kui T = 50, 63,58%; kui T = 100, 63,40%; ja kui T = 500, 63,25%. Ühe täieliku kordumisperioodi ootamine annab umbes 63% tõenäosuse, mitte kunagi 100%. Matemaatiline sõltumatuse eeldus — et iga aasta on sõltumatu valim muutumatust jaotusest — on siin määrav. Tegelikkuses võivad kliimatrendid tõenäosusjaotust aja jooksul muuta.

Ehitusnormid on see võrrand tagurpidi lahendatuna 🖖

Kui avaldada seosest T, saame T = 1 / (1 − (1 − R)^(1/n)), kus R tähistab vastuvõetavat riski ja n projekteeritud kasutusiga. Konstruktsioonide ja maavärinakindluse normid on juba ammu lähtunud just sellest teisendusest. Kui 50-aastase projekteeritud kasutusea jooksul lubatakse 10% riski, tuleb projekteerida 475-aastase korduvusperioodiga sündmuse järgi (projekteerimise alusmaavärin). Vastuvõetava riski vähendamine 2%-ni 50 aasta jooksul pikendab nõutava korduvusperioodi 2 475 aastani (maksimaalne arvestatav maavärin). Need tuntud korduvusperioodid ei kirjelda geoloogilist perioodilisust, vaid tulenevad inimese riskitaluvusest üheainsa algebralise teisenduse kaudu.

Ülesanded täielikult lahendatud

Kaks 100-aastast üleujutust, mis tabasid sama linna ühe 30-aastase hüpoteegi jooksul 6 sammu
Kaks "100-aastast üleujutust" tabavad sama linna ühe 30-aastase kodulaenu jooksul. Kui halb õnn see on ja mitut linna on vaja vaadelda, enne kui see juhtub kellegagi tõenäolisemalt kui mitte?
1. Korduvusperiood T = 100 aastat tähendab aastast ületustõenäosust p = 1/T = 0,01. Aastase tõenäosuse kaart näitab 1,00%.
  
  $p = \frac{1}{T} = \frac{1}{100} = 0.01$
2. Vaatleme neid 30 aastat kui 30 sõltumatut katset. Puhta seeria tõenäosus on 0,99³⁰ = 0,7397, seega vähemalt ühe üleujutuse tõenäosus on 26,03%. Mõlemad arvud on lehel olemas, puudumise tõenäosuse ja eluaegse riski kaartidel.
  
  $P (0) = (1 - p)^{30} = 0.9 9^{30} = 0.7397 ⟹ P (\geq 1) = 0.2603$
3. Täpselt ühe üleujutuse puhul tuleb valida, millisele neist 30 aastast see langeb: 30 × 0,01 × 0,99²⁹ = 0,2242.
  
  $P (1) = (1 30) p (1 - p)^{29} = 30 \times 0.01 \times 0.9 9^{29} = 0.2242$
4. Kõik ülejäänu tähendab kahte või enamat: 1 − 0,7397 − 0,2242 = 0,03615. ≥2 sündmuse tõenäosuse kaart näitab 3,61%, mis teeb umbes ühe kodulaenu 28-st.
  
  $P (\geq 2) = 1 - 0.7397 - 0.2242 = 0.03615$
5. See on üks linn. Võtame nüüd N linna, millest igaüks asub oma jõel omaenda 1% lävendiga. Tõenäosus, et üheski neist kordust ei toimu, on 0,96385 astmes N, ja selle poolega võrdsustamine annab N = ln 0,5 / ln 0,96385 = 18,8.
  
  $(1 - 0.03615)^{N} = 0.5 ⟹ N = \frac{ln 0.5}{ln 0.96385} = 18.8$
6. Üheksateist linna. Saja linna puhul on tõenäosus, et vähemalt üht neist tabab sama 30 aasta sees kaks 100-aastast üleujutust, 1 − 0,96385¹⁰⁰ = 97,5%, ning selliste linnade oodatav arv on 100 × 0,03615 = 3,61.
  
  $1 - 0.9638 5^{100} = 0.9748$
Vastus

Kahe või enama üleujutuse tõenäosus on teie elukohas 3,61%, saja valgala peale kokku aga 97,5%. Iga selle lehe kaart käsitleb üht kohta ja üht lävendit. Suuruse 3,61%-lt 97,5%-le viis vaadeldavate jõgede arv. Seetõttu jõuab „kaks 100-aastast üleujutust ühe elu jooksul kusagil“ uudistesse enamikul aastatel, ilma et see tõendaks mingit muutust. Muutuse kontrollimiseks tuleb uurida ühe mõõtejaama vaatlusandmeid, mitte lugeda pealkirju. Ülaltoodud arvutus eeldab ka, et linnad on üksteisest sõltumatud. Valgalad seda ei ole, sest üks tormisüsteem võib naaberaladel korraga üleujutusi põhjustada. Positiivse korrelatsiooni tõttu jääb tegelik näitaja alla 97,5%, kuid see leht ei näita, kui palju: mudel kirjeldab üht vaatluskohta.

$N_{\geq 2} = 100 \times 0.03615 = 3.61$
475-aastane maavärin ja hoone, mis elab oma projekteeritud eluea üle 6 sammu
Norm nõuab, et ületustõenäosus 50 aasta jooksul ei ületaks 10%. Arvuta, millist korduvusperioodi see nõuab, ja otsusta siis, kas lubadus kehtib veel hoone kohta, mis seisab ka 100 aasta pärast.
1. See on esimene ülesanne tagurpidi. Seal oli oht antud ja risk tuli välja; siin määrab riski komisjon ja leida tuleb oht. Viiskümmend puhast aastat, tõenäosusega 0,90.
  
  $(1 - p)^{50} = 1 - 0.10 = 0.90$
2. Võta viiekümnes juur ja lahuta ühest. Aastane ületustõenäosus on 0,0021 ja aastase tõenäosuse kaart näitab 0,21%.
  
  $p = 1 - 0.9 0^{1/50} = 1 - e^{(l n 0.90) /50} = 0.0021050$
3. Korduvusperiood on selle pöördväärtus: 475 aastat, ja just seda näitab nõutava korduvusperioodi kaart. Ükski geoloogia ei valinud seda arvu. Komisjon valis 10% ja 50 aastat ning üks rida algebrat andis 475.
  
  $T = \frac{1}{p} = \frac{1}{0.0021050} = 475.06$
4. Otsetee, mille järele enamik haarab, on 50 jagatud 0,10-ga ehk 500 aastat, ja selle vea suund on oluline. 500-aastane sündmus annab 50 aasta peale 9,53%, mitte 10%, nii et otsetee nõuab veidi suuremat arvutuslikku sündmust kui norm. Ja mida väiksem on risk, seda paremaks ta läheb: 2% korral 50 aasta jooksul on täpne vastus 2 475 oletuse 2 500 vastu.
  
  $\frac{n}{R} = \frac{50}{0.10} = 500 ⟹ 1 - (1 - \frac{1}{500})^{50} = 9.53%$
5. Jäta hoone nüüd sama ohu juures 100 aastaks seisma. Ellujäämised korrutuvad, nii et puhas sajand on 0,90 ruudus ehk 0,81. Ületustõenäosus on 19,00% — mitte 20%, mida kahekordistamine pakuks, ega midagi 10% lähedast, mida norm lubas.
  
  $(1 - p)^{100} = [(1 - p)^{50}]^{2} = 0.9 0^{2} = 0.81 ⟹ 19.00%$
6. Et hoida 100 aasta peale 10%, peab aastane tõenäosus langema 0,105%-ni, korduvusperiood 949,6 aastat. Kahekorda kasutusiga ja nõutav korduvusperiood kahekordistub ligikaudu kaasa, sest nii väikeste tõenäosuste juures teeb kogu töö ära astendaja.
  
  $p^{'} = 1 - 0.9 0^{1/100} = 0.0010531 ⟹ T^{'} = 949.6$
Vastus

475 aastat 50-aastase eluea kohta ja 19,0% ületustõenäosus, kui seesama hoone on 100 aasta pärast alles. Need 10% kuuluvad viiekümnele aastale, mille keegi lähteülesandesse kirjutas, mitte konstruktsioonile, ning nad kasvavad umbes ühes sammus aastatega, mil hoonet alles hoitakse.

Haiglad, tammid ja koolimajad elavad projekteeritud eluea, mille järgi nad mõõtu said, tavapäraselt üle, ja konstruktsioonis ei muutu seejuures midagi. Muutub see, mis on astendajas. Tööriist näitab seda: pane 475 päripidisesse režiimi 100-aastase säritusega ja eluaegse riski kaart näitab 19,00%. Aus viis arvutuslikku sündmust esitada on seega koos säritusega. 475 aastat on lühend väitele 10% 50 aasta jooksul, ja neist viiekümnest aastast lahutatuna on see suur arv, mis kõlab nagu garantii.

$T = \frac{1}{1 - ( 1 - R ) ^{1/ n}}, T (0.10, 100) = 949.6 \approx 2 T (0.10, 50)$

Allikad (2)

What a "100-year flood" means, and the misreading the tool exists to correct Holmes, R. R. and Dinicola, K. USGS Fact Sheet FS-229-96, "The 100-Year Flood". U.S. Geological Survey.
Where designing to an annual exceedance probability comes from Cornell, C. A. (1968). Engineering seismic risk analysis. Bulletin of the Seismological Society of America, 58(5), 1583–1606. doi:10.1785/bssa0580051583

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-09-03

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Bio, geo ja keemia õppetunnid →

Näiteülesanded

30-aastane Hüpoteek (T=100) - 1-100-st aastane ohurisk tähendab 30-aastase hüpoteegi jooksul 26,03% kumulatiivset riski.
100-aastane Aken (T=100) - 100 aasta jooksul on 100-aastase sündmuse toimumise tõenäosus 63,40% ja mittetoimumise võimalus 36,60%.
Seismiline Norm DBE (10%/50a) - 50 aasta jooksul 10% riski lubamine nõuab 475-aastast kordumisperioodi (Design Basis Earthquake).
Maksimaalne Norm MCE (2%/50a) - 50 aasta jooksul 2% riski lubamine nõuab 2 475-aastast kordumisperioodi (Maximum Considered Earthquake).