Kuldlõige ja Fibonacci spiraal

Fibonacci rekursioon asendab suhte korduvalt väärtusega 1 pluss selle pöördväärtus: F(n)/F(n-1) = 1 + F(n-2)/F(n-1). Kui see suhe stabiliseerub väärtusel x, peab kehtima x = 1 + 1/x, seega x² = x + 1, ja positiivne lahend on phi. Spiraal on selle sama iseenesesarnasuse geomeetriline kujutis: iga suurem ruut sisaldab eelmist ristkülikut pluss ühe uue ruudu.

Vaata tulpdiagrammi: järjestikused Fibonacci suhted jäävad vaheldumisi veidi üle ja veidi alla φ ning vahe kahaneb igal sammul. Suhtel 21/13 = 1.615 oled juba vähem kui 0.003 kaugusel φ-st ja mõne liikme pärast langeb suhe φ-ga kokku nii mitmel kümnendkohal, kui ekraan näidata suudab. Koondumine on kiire ja ükski üksik kõrvalekalle ei püsi kaua kaugel.

Ahelmurruna kirjutatuna on φ = [1; 1, 1, 1, …] — ainult ühed, väikseimad võimalikud kordajad. See teeb φ-st arvu, mida on murdudega kõige raskem hästi lähendada, ja tema parimad lähendid on just need Fibonacci suhted, mida see tööriist joonistab. Loodus kasutab seda ära: seemned, mis paiknevad 360°/φ² ≈ 137.5° kaugusel, ei rivistu kunagi tühikuteks, andes päevalilledele ja käbidele tiheda ning ühtlase pakkimise.