Hüperboolsete funktsioonide uurija

Hüperboolsed vs ringfunktsioonid, samasuste kontroll ja geomeetriline intuitsioon.

Näidisarvutus — Hüperboolsete funktsioonide uurija

cosh(1)	1.543081
cosh^2(t)-sinh^2(t)	1

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Hüperboolsete funktsioonide uurija

Hüperboolsed funktsioonid on nime saanud ühelt kõveralt, ja see nimi ongi kogu mõte. Kui (cos t, sin t) läbib ringjoone x² + y² = 1, siis paar (cosh t, sinh t) läbib hüperbooli x² − y² = 1 — üks märk muudetud, üks kõver vahetatud. Raskem küsimus, ja selle õppetüki tegelik teema, on see, mida ühine parameeter t tähendab, kui ringjoon on selja taha jäetud.

Mida iga sümbol tähendab

t: parameeter. Ringjoonel õpetati sind seda nurgaks nimetama. See lugemisviis ei ela hüperboolile üleminekut üle, ja selle korrektne asendamine ongi sammude 3 ja 4 mõte.
cosh t: (eᵗ + e⁻ᵗ)/2, punkti x-koordinaat. Mitte kunagi väiksem kui 1 ja mitte kunagi võnkuv — kaks asja, mida sõna „koosinus“ agaralt vihjab ja mis mõlemad on siin väärad.
sinh t: (eᵗ − e⁻ᵗ)/2, y-koordinaat. Mõlemas suunas tõkestamata ja null ainult kohas t = 0.
x² − y² = 1: ühikhüperbool. See leht trükib tulemustesse cosh²t − sinh²t ja näitab alati 1 — see arv ongi see võrrand, ja selles peitub nime põhjus.

Kust valem tuleb

Alusta sealt, kus intuitsioon tekkis. Punkt (cos t, sin t) asub ühikringjoonel, ja ringjoonel on parameetril t kaks lugemisviisi, mis annavad juhtumisi sama arvu: see on kohast (1, 0) läbitud kaare pikkus, ja see on keskpunktist pühitud sektori kahekordne pindala. Kuna need kaks langevad kokku, ei pea keegi kunagi valima, ja kõik lahkuvad koolist, nimetades t-d nurgaks.
Muudame nüüd üht märki ja küsime punkti kõveral x² − y² = 1. Võtame cosh t = (eᵗ + e⁻ᵗ)/2 ja sinh t = (eᵗ − e⁻ᵗ)/2, tõstame ruutu ja lahutame: ristliikmed taanduvad ja jääb (e²ᵗ + 2 + e⁻²ᵗ)/4 − (e²ᵗ − 2 + e⁻²ᵗ)/4 = 1. Seega asub (cosh t, sinh t) sellel hüperboolil iga reaalse t korral, ja seda konstruktsiooni tõttu. Just selle samasuse leht trükibki, ja selles on kogu sõna „hüperboolne“ õigustus.
Kumb t lugemisviisidest siis kaasa tuleb? Kaare pikkus mitte. Mööda hüperbooli punktist (1, 0) punktini (cosh t, sinh t) läbitud vahemaa ei ole t, ja sellel pole üldse elementaarset valemit — see on elliptiline integraal, mistõttu ükski õpik seda ei esita. Ellu jääb teine: pindala.
Siin on see väide ära teenitud, mitte lihtsalt esitatud. Hüperboolne sektor — piiratud x-teljega, kiirega punktini (cosh t, sinh t) ja kõveraga endaga — on kolmnurk kiire all miinus piirkond hüperbooli all. Kolmnurk on ½·cosh t·sinh t. Teise osa jaoks kehtib ∫√(x² − 1) dx = ½(x√(x² − 1) − arcosh x), ja arvutades 1-st kuni cosh t-ni saame ½(cosh t·sinh t − t), kuna √(cosh²t − 1) = sinh t ja arcosh(cosh t) = t. Lahutades: ½·cosh t·sinh t − ½(cosh t·sinh t − t) = t/2. Sektori pindala on täpselt t/2 — seesama reegel mis ringjoonel.
Aus väide on seega, et t on pühitud pindala kahekordne väärtus, ja seda mõlemas geomeetrias; „nurk“ oli ringjoone juhus, mis kaasa ei tule. Just seepärast märgib siinne geomeetriapaneel kaks punkti ja mitte ühtki nurka: liugurit lohistades pühib ringjoone punkt ühtlase nurkkiirusega, hüperbooli oma nähtavalt mitte — ja suurus, mida nad jagavad, on nende taha jääv pindala, mitte suund, kus nad asuvad.

Kuidas nähtut lugeda

Kaks paneeli ja kaks arvu. Vasakul valitud funktsioon t suhtes; paremal geomeetria, ja see on neist kahest huvitavam — ühikringjoon punktiga (cos t, sin t) hüperbooli kõrval punktiga (cosh t, sinh t), mõlemad sama liuguri ajel. Märkeruut „võrdle ringfunktsioonidega“ asetab ringjoone partneri peale, nii et lahknemine on vahetult näha. Näitudest tasub vaadata teist: cosh²(t) − sinh²(t) näitab igal seadistusel 1.000000, sest see pole üldse arvutatud tulemus, vaid kõvera võrrand ümber kirjutatuna.

Eeldab: Reaalne t ja hüperbooli parem haru — cosh t ≥ 1 alati, seega ei jõua see parametriseering kunagi vasakule harule ja ükski reaalne t ei jõuagi. Just ühikhüperbool, mõlemad poolteljed võrdsed 1-ga; üldine x²/a² − y²/b² = 1 nõuab (a·cosh t, b·sinh t) ja kena pindalatulemus saab teguri ab. Ja pindala loetakse märgiga sektorina positiivsest x-teljest, nii et negatiivne t pühib sellest allpool.
Ei kehti, kui: Nimi eksitab korraga kahes suunas, ja mõlemat tasub meeles pidada. Loe t-d nurgana ja iga hüperboolne joonis muutub vaikselt vääraks: pildil pole ühtki nurka, mis võrduks t-ga, ja kaare pikkus, mis oleks teine loomulik kandidaat, pole elementaarne. Loe „koosinust“ tõkestatud võnkumisena ja järgneb vastupidine viga — cosh t pole kunagi väiksem kui 1 ega tule kunagi tagasi alla, ja just seepärast on see rippuva keti, mitte laine kuju. Need funktsioonid on nime saanud kõvera järgi, mida nad parametriseerivad, mitte mingi käitumise järgi, mida nad jagaksid oma ringjoonelise nimekaimuga.

Galileo pidas rippuvat ketti parabooliks 🖖

Omaenda raskuse all rippuv kett näeb paraboolile nii sarnane välja, et Galileo kirjutas ta 1638. aastal paraboolina üles. Ta ei ole see: tõeline kõver on y = a cosh(x/a) ehk ahelkõver, ja erinevus on tegelik, mitte ümardamise pisiasi. Joachim Jungius näitas, et parabool on vale, ja 1691. aastal esitasid Huygens, Leibniz ja Johann Bernoulli üksteisest sõltumatult õige kõvera vastuseks Jakob Bernoulli avalikule väljakutsele. Nimi tuleb ladinakeelsest sõnast catena, mis tähendab ketti. Pööra kuju tagurpidi ja saad ainsa kaare, mis kannab oma raskust puhta surve all, ilma igasugust paindumist — just seepärast on St. Louisi Gateway Arch ahelkõver ja mitte parabool.

Tegelikult lihtsalt eksponentfunktsioonid 🖖

Kui uhked nimed kõrvale jätta, on sinh ja cosh lihtsalt kokku pandud eksponentfunktsioonidest e^t ja e^-t: cosh(t) = (e^t + e^-t)/2 ja sinh(t) = (e^t - e^-t)/2. Nii on cosh kasvava ja kahaneva eksponentfunktsiooni keskmine, sinh aga pool nende vahest. Just seetõttu ei lange cosh kunagi alla 1 ja sinh läbib puhtalt alguspunkti.

Sild, mis ei vaja i-d 🖖

Hüperboolsete ja ringfunktsioonide vahel saab teisendada ilma ühegi imaginaararvuta, kasutades Gudermanni funktsiooni gd(t): sin(gd t) = tanh(t) ja tan(gd t) = sinh(t). Selle pöördfunktsioon, ln(tan(π/4 + φ/2)), on täpselt Mercatori projektsiooni vertikaalkoordinaat. Nii joonistatakse iga klassikaline merekaart vaikselt sinh-i ja cosh-i geomeetriat kasutades.

Ülesanne täielikult lahendatud

Cosh 1 eksponentidest ja füüsikaline suurus 1,543081 6 sammu
Arvutage eksponentsiaalidest cosh 1, tõestage samasus, mis annab neile funktsioonidele nende nime — ja tehke seejärel kindlaks, mis füüsikaline suurus on 1,543081.
1. Mõlemad funktsioonid on moodustatud samast kahest eksponentsiaalist, erinedes vaid ühe märgi poolest. Kõik ülejäänu tuleneb sellest.
  
  $cosh t = \frac{e ^{t} + e ^{- t}}{2}, sinh t = \frac{e ^{t} - e ^{- t}}{2}$
2. Arvutage väärtus kohal t = 1, kui e = 2,718282. See on arv, mille tööriist väljastab.
  
  $cosh 1 = \frac{2.718282 + 0.367879}{2} = \frac{3.086161}{2} = 1.543081$
3. Võtke mõlemad ruutu ja lahutage. Segaliikmed taanduvad välja ning järele jääb 4/4 — samasus, milles pole kuskil ühtegi ümardust, ning põhjus, miks parameeter kirjeldab ringjoone asemel hüperbooli.
  
  $cosh^{2} t - sinh^{2} t = \frac{( e ^{t} + e ^{- t} ) ^{2} - ( e ^{t} - e ^{- t} ) ^{2}}{4} = \frac{4}{4} = 1$
4. Liitke need selle asemel ja eksponentsiaal ilmub uuesti muutmata kujul. Nende jagatis on tanh, mis on tõkestatud väärtustega ±1 sõltumata sellest, kui suureks argument kasvab — ülempiir, mis muutub peagi oluliseks.
  
  $cosh t + sinh t = e^{t}; tanh 1 = \frac{1.175201}{1.543081} = 0.761594$
5. Võtke see tõkestatud jagatis kiiruseks ühikutes c ning arvutage Lorentzi tegur. See annab täpselt 2. sammu arvu.
  
  $γ = \frac{1}{1 - β ^{2}} = \frac{1}{1 - 0.76159 4 ^{2}} = \frac{1}{0.419974} = 1.543081 = cosh 1$
6. Nüüd liitke kaks rapiditeeti tavalisel viisil ja teisendage tagasi. Tulemus klapib relativistliku kiiruste liitmisega, mis teebki rapiditeedist loomuliku koordinaadi.
  
  $tanh (1 + 1) = 0.964028 = \frac{0.761594 + 0.761594}{1 + 0.76159 4 ^{2}}$
Vastus

1,543081, mis on kiirusega 0,7616 c liikuva keha Lorentzi tegur. See ei ole kokkusattumuseks maskeeritud kokkusattumus. Kui defineerida rapiditeet seosega β = tanh φ, järeldub γ = cosh φ otse 3. sammus tõestatud samasusest ning kogu ühemõõtmeline erirelatiivsusteooria muutub hüperboolseks trigonomeetriaks. Kasu seisneb selles, et rapiditeedid lihtsalt liituvad: kaks rapiditeediga 1 tõuget annavad tulemuseks tanh 2 = 0,9640 c, mis on täpselt see, mille Einsteini kiiruste liitmise valem annab kiiruse 0,7616 c liitmisel iseendaga. Kiirused ei liitu; liituvad nurgad, mille koosinused need on.

$cosh 1 = 1.543081 = γ at v = 0.7616 c$

Allikad (2)

The lesson — the definitions, the identity and the sector-area interpretation of the argument: F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert and C. W. Clark (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, ch. 4. Cambridge University Press, 2010. ISBN 978-0-521-19225-5.
Where the functions and their name come from: V. Riccati, Opusculorum ad res physicas et mathematicas pertinentium, vol. I. Bologna, 1757 — where the hyperbolic sine and cosine are introduced. J. H. Lambert, "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques", Mémoires de l'Académie royale des sciences de Berlin 17, 1768, which brought them into general use.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-07-22

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

samasuse kontroll - Hüperboolse samasuse kontroll: cosh^2(1) - sinh^2(1) = 1.
tanh asümptoot - tanh läheneb väärtusele +/-1, kui |t| kasvab, erinevalt tan-ist, mis läheb lõpmatusse.
aheljoone kuju - cosh kõver on aheljoon, mida kirjeldab rippuv kett või kaabel.
tuletiste seos - Tuletiste seos: d/dx sinh = cosh ja d/dx cosh = sinh.