Laplace'i teisenduse labor

Uuri Laplace'i otseteisenduse paare põhiliste funktsioonipere jaoks, nende poole, koonduvuspiirkonda ning algus- ja lõppväärtusi.

Näidisarvutus — Laplace'i teisenduse labor

Poolused	−1
Algväärtus f(0⁺)	1
Lõppväärtus f(∞)	0

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Laplace'i teisenduse labor

Laplace’i teisendus vahetab ajafunktsiooni kompleksmuutuja s funktsiooni vastu, muutes analüüsi t-s algebraks s-is. Ülalolev kataloog on kaheksa sellise paari sõnastik, ja iga paari kõrvale trükib leht neli fakti, mis loetakse üksnes F(s)-ist, ajapiirkonda kordagi naasmata.

Mida iga sümbol tähendab

F(s): teisendus. Selle kataloogi iga kirje puhul polünoomide jagatis — ainult seetõttu on kolm järgmist rida üldse olemas.
poles: need s väärtused, mis muudavad nimetaja nulliks. Kõik muu lehel sõltub sellest, kus nad asuvad.
ROC: koonduvuspiirkond — pooltasand, kus määratlev integraal tegelikult koondub. Samm 3 näitab, kui vähe omaette infot see rida kannab.
f(∞): lõppväärtus, trükituna arvuna, kujul ∞ või keeldumisena.

Kust valem tuleb

Loe paar. Vaikimisi eksponentfunktsiooni juures saab e^(−t)-st 1/(s+1): kahanemiskiirusest ajas saab ühe pooluse asukoht.
Leia poolused, võrdsustades nimetaja nulliga. s+1=0 annab s = −1, ja just seda pooluste rida näitabki.
Võrdle nüüd pooluste rida ROC-i reaga — ja võrdle edasi, kui kataloogi läbid. ROC on kõige paremal asuva pooluse reaalosa. Eksponent: poolus −1 juures, ROC Re(s) > −1. Astmefunktsioon: poolus 0 juures, ROC Re(s) > 0. Siinus: poolused ±j2, mille reaalosa on null, seega jälle ROC Re(s) > 0. Kaheksa rida, üks reegel.
Kaks väärtuserida tulevad sama F(s) vastasotstest: f(0⁺) = lim(s→∞) sF(s) ja f(∞) = lim(s→0) sF(s). Just seepärast nõustuvad samm ja koosinus, et f(0⁺) = 1, ja on lõpu suhtes eri meelt.

Kuidas nähtut lugeda

Käi kaheksa kirjet läbi ja vaata, kuidas kaks näiliselt sõltumatut veergu käituvad ühena. Samm, kaldjoon ja aste hoiavad oma pooluseid alguspunktis ja näitavad kõik Re(s) > 0. Eksponent ja mõlemad sumbuvad lained on pooluse reaalosaga −1 ja näitavad kõik Re(s) > −1. Siinus ja koosinus näivad erandina — nende poolused on imaginaarsed — ja ei ole seda: ±j2 reaalosa on null, seega näitavad nad Re(s) > 0 koos alguspunktis olijatega. Vaata siis lõppe, mille poolused samuti otsustavad: reaalosa −1 annab 0, üks poolus alguspunktis annab konstandi, kahekordne poolus alguspunktis annab ∞, ja puhtalt imaginaarne paar ei anna lõppu üldse.

Eeldab: Et f(t) = 0 enne t = 0 — see on ühepoolne teisendus, ja just seepärast on iga kirje kirjutatud ühikhüppe vastu. Et amplituud A skaleerib F(s)-i poolust liigutamata, muutes seega algväärtust ega kunagi ROC-i ega lõppu. Ja et iga kirje on polünoomide jagatis: harulõike või olulise iseärasusega teisendusel pole pooluste loendit, mida lugeda, ja kolmel neljast reast poleks midagi öelda.
Ei kehti, kui: Lõppväärtuse teoreem on see, mida tsiteeritakse ilma tema tingimusteta, ja see kataloog sisaldab vastunäidet. Pimesi siinusele rakendatuna annab lim(s→0) s·ω/(s²+ω²) väärtuse 0 — puhas, kindel ja vale: sin(ωt)-l ei ole lõppväärtust. Teoreem kehtib ainult siis, kui sF(s) poolused asuvad rangelt vasakpoolsel pooltasandil, ja siinuse omad on imaginaarteljel. Leht keeldub, selle asemel et piirväärtust teatada — seepärast seisab seal ei eksisteeri — võngub ja mitte see 0, mille valem meelsasti annab. Kaldjoon kukub samal katsel läbi teiselt poolt ja saab ∞. Kaks kaheksast kirjest murravad reegli, mida sa olid ülejäänud kuue põhjal just üldistamas.

Pooluste rida ütleb lõpu juba ette 🖖

Liigu kataloogis kirjehaaval ja võrdle tabelis ainult kaht rida: „Poolused” ja „Lõppväärtus”. Iga paar, mille poolused asuvad imaginaarteljest rangelt vasakul, läheneb väärtusele 0: e^−at, kui s = −a, ning summutatud siinus, kui s = −a ± jω. Imaginaarteljel paiknevate poolustega paarid ei stabiliseeru kunagi. Funktsioonide sin ja cos poolused on s = ±jω ning tabelis seisab „ei eksisteeri — võngub”. Kaldsignaali topeltpoolus punktis s = 0 viib väärtuse hoopis ∞-ni. Ainult astmefunktsioon, millel on punktis s = 0 üks lihtpoolus, jõuab lõpliku nullist erineva väärtuseni. Parempoolseima pooluse reaalosa määrab, kas signaal kustub, püsib või kasvab piiramatult. Seepärast projekteerivad automaatikainsenerid süsteeme s-tasandil, ilma et neil oleks üldse vaja pöördteisendust leida.

Sõnastik aja ja s vahel 🖖

Sisuliselt on see tööriist vastavustabel. Igal ajafunktsioonil, olgu selleks aste, kaldsignaal või kahanev eksponentfunktsioon, on oma vaste s-ruumis. Labor näitab iga paari mõlemat poolt. Lahenda ülesanne lihtsamas s-ruumis ja teisenda vastus nende paaride abil tagasi. Kahanevale eksponentfunktsioonile e^-at vastab alati 1/(s+a) ning arv a näitab, kui kiiresti funktsioon kahaneb.

Insener, kes matemaatikuid šokeeris 🖖

Ammu enne seda, kui teisendus rangelt põhjendati, lahendas iseõppinud insener Oliver Heaviside ahelavõrrandeid, käsitledes tuletisoperaatorit d/dt julgelt tavalise algebralise sümbolina — ja isegi jagas sellega. Puhtaid matemaatikuid kohutas tõestuse puudumine; ta olevat vastanud: „Kas ma peaksin õhtusöögist loobuma, sest ma ei mõista seedimist täielikult?" Tema hüppefunktsioon kannab siiani tema nime ja Laplace'i teisendus andis hiljem range aluse, millest ta ise ei hoolinud.

Ülesanded täielikult lahendatud

f(t) = e −1,5t otspunktide väärtused ja kahanemine 6 sammu
f(t) = e^−1,5t kui t ≥ 0. Leia F(s) definitsioonist, loe samast tuletuskäigust välja poolus ja koondumispiirkond ning määra mõlemad rajaväärtused ilma teisendust kordagi pööramata. Seejärel vasta küsimusele, millele kumbki rajaväärtusteoreem ei vasta: kui kaua kahanemine tegelikult aega võtab?
1. Teisendus on üksainus integraal ja kõik muu paneelil on selle arvutamise kõrvalsaadus. Mõlemal eksponentfunktsioonil on sama alus, mistõttu need koonduvad üheks astendajaks, −(s + 1,5)t.
  
  $F (s) = \int_{0}^{\infty} e^{- 1.5 t} e^{- s t} d t = [\frac{- e ^{- (s + 1.5) t}}{s + 1.5}]_{0}^{\infty}$
2. Kogu töö seisneb ülemises rajas. e^−(s+1,5)t kahaneb väärtuseni 0 t kasvades vaid siis, kui s + 1,5 reaalaosa on positiivne, ja see ainus võrratus annab sulle mõlemad ülejäänud kirjed: koondumispiirkonna Re(s) > −1,5 ning pooluse s = −1,5, mis asub täpselt selle piiril. Poolus ei ole eraldi päheõpitav fakt — see on s-i väärtus, mille korral integraali enam olemas ei ole.
  
  $Re (s + 1.5) > 0 ⟺ Re (s) > - 1.5 ⟹ F (s) = \frac{1}{s + 1.5}$
3. Tuleta algväärtusteoreem selle tsiteerimise asemel. Suur s kaalub funktsiooni e^−st nii tugevalt väikeste t väärtuste poole, et sF(s)-st saab f-i sond nullpunkti lähedal. Siin läheneb s/(s + 1,5) väärtusele 1 ning e⁰ = 1 kinnitab seda — oled lugenud f(0⁺) välja teisendusest, mida sa pole kunagi pööranud.
  
  $f (0^{+}) = s \to \infty lim s F (s) = s \to \infty lim \frac{s}{s + 1.5} = 1 = e^{0}$
4. Lõppväärtuse saamiseks vii s teise suunda. Selle piirväärtusega käib kaasas piirang: see on teoreem vaid siis, kui sF(s) iga poolus asub rangelt imaginaarteljest vasakul, ja ainus poolus on siin kohal −1,5. Allpool olev võnkuv juhtum ongi see, mille eest see piirang kaitseb.
  
  $f (\infty) = s \to 0 lim s F (s) = \frac{0}{1.5} = 0$
5. Kumbki teoreem ei sisalda kella. Üks kirjeldab hetke t = 0 ja teine t = ∞, ning nende vahel võib kõvera kahanemiseks kuluda mikrosekund või sajand. Lahenda võrrand f(τ) = f(0)/e, et leida puuduv skaala.
  
  $e^{- 1.5 τ} = e^{- 1} ⟹ τ = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3} = 0.667 s$
6. Nüüd jäta paneel kõrvale ja küsi, millal on signaal langenud 1%-ni oma algväärtusest.
  
  $e^{- 1.5 t} = 0.01 ⟹ t = \frac{ln 100}{1.5} = \frac{4.6052}{1.5} = 3.07 s$
Vastus

F(s) = 1/(s + 1,5), poolus kohal −1,5 ja τ = 0,667 s — paneel kuvab pooluse ja ajakonstandi ning sina tuletasid mõlemad ühest integraalist. Pea pigem meeles viimast rida. Kuna a taandub välja avaldisest ln(100)/a jagatuna 1/a-ga, võtab 1%-ni jõudmine alati 4,61 ajakonstanti, milline kahanemiskiirus ka poleks: 4,61 on arvu 100 omadus, mitte selle signaali oma. Ainus, mida poolus määrab, on see, kui kaua kestab üks τ. Korruta a kahega väärtuseni 3 ja iga kestus sellel lehel poolitub. Nihuta seda teises suunas, imaginaartelje poole, ja τ kasvab lõpmatusse — ning kui poolus jõuab teljeni, lakkab lõppväärtus hoopis olemast, mis ongi järgmine ülesanne.

$τ = \frac{1}{a}, t_{1%} = \frac{ln 100}{a} = 4.61 τ (a > 0)$
Lõppväärtuse piirväärtus f(t) = sin(4t) jaoks, mis tagastab 0 5 sammu
f(t) = sin(4t) kui t ≥ 0. Lõppväärtuse piirväärtus toimib siin täiesti sujuvalt ja annab tulemuseks 0. Miski ei lähe lõpmatusse ega ole määramatu. Selgita välja, miks 0 on sellegipoolest vale vastus ja mida teoreem tegelikult palus kontrollida.
1. Konstrueeri see teisendus eelmise ülesande tulemuse, mitte teisenduste tabeli põhjal. Euleri valem jagab siinuse kaheks kompleksseks eksponentfunktsiooniks ja kumbki neist allub reeglile, mille sa integraalist juba tuletasid.
  
  $sin 4 t = \frac{e ^{j 4 t} - e ^{- j 4 t}}{2 j}, L {e^{α t}} = \frac{1}{s - α}$
2. Vii murrud ühisele nimetajale. Lugejas taandub 2j vastamisi avaldisega j4 − (−j4), nii et kompleksne konstruktsioon jätab järele s-i reaalfunktsiooni. Paneelil on nimetaja kirjutatud kujul s² + 4², mis on täpselt sama asi.
  
  $F (s) = \frac{1}{2 j} (\frac{1}{s - j 4} - \frac{1}{s + j 4}) = \frac{4}{s ^{2} + 16}$
3. Määra pooluste asukohad. Nimetaja muutub nulliks kohtadel s = ±j4 ning nende reaalaosa on 0 — ei negatiivne ega positiivne, vaid täpselt imaginaarteljel. See ongi juhtum, mille välistamiseks ülaltoodud piirang kirjutati.
  
  $s^{2} + 16 = 0 ⟹ s = \pm j 4, Re (s) = 0$
4. Arvuta lõppväärtuse piirväärtus sellest hoolimata, sest miski ei takista sind. Lugeja läheneb väärtusele 0, nimetaja läheneb väärtusele 16 ja jagatis on 0. Aritmeetika ei hoiata sind selle eest, et sul polnud õigust seda teha.
  
  $s \to 0 lim s F (s) = s \to 0 lim \frac{4 s}{s ^{2} + 16} = \frac{0}{16} = 0$
5. Võrdle seda funktsiooni endaga. Funktsiooni sin(4t) periood on 2π/4 = 1,5708 s, mille paneel ümardab väärtusele 1,57 s, ja iga sellise perioodi veerandi peal on see tagasi väärtusel +1. Funktsioon, mis naaseb igavesti väärtuseni 1, ei saa koonduda väärtuseni 0 ega ühegi teise väärtuseni. Paneel ei kuva lõppväärtuse reas ühtegi arvu, vaid teatab selle asemel, et signaal võngub.
  
  $T = \frac{2 π}{4} = 1.5708 s, f (\frac{T}{4} + k T) = 1$
Vastus

Poolused kohtadel ±j4, periood 1,57 s ja lõppväärtus puudub täielikult — kuigi piirväärtus annab puhtalt tulemuseks 0. Õppetund ei seisne selles, et aritmeetika on habras, vaid selles, et aritmeetika ei ole teoreem. Võrdle kahte sF(s) avaldist kõrvuti ja erinevus on vaid ühe pooluse asukohas. Mis teeb arvu 0 huvitavaks, mitte lihtsalt valeks, on see, et see on õige vastus iga naaberprobleemi korral: sumbuta siinust mis tahes a > 0 võrra ja poolused nihkuvad kohale −a ± j4, teoreem rakendub ning lõppväärtus on tõepoolest 0 — iga a korral, kui tahes pisike see ka poleks. Piirväärtus annab vastuse kõigile lähedaljuhulistele ülesannetele ja mitte sellele konkreetselt. Ning tõestatav 0 võib ikkagi olla kasutu: kui a = 0,1, annab 1. ülesande kell tulemuseks ln(100)/0,1 = 46 s 1%-ni langemiseks, mis on umbes 29 täistsüklit võnkumist sellel sagedusel.

$s F (s) = \frac{4 s}{s ^{2} + 16} \Rightarrow s = \pm j 4 s F (s) = \frac{s}{s + 1.5} \Rightarrow s = - 1.5$

Allikad (3)

When the final-value theorem applies, and when the table must say it does not: E. Gluskin, "Let us teach this generalization of the final-value theorem." European Journal of Physics 24(6), 591–597, 2003.
Pole location and stability, at length: Katsuhiko Ogata, Modern Control Engineering, 5th edition. Prentice Hall, 2010. ISBN 978-0-13-615673-4.
Where the region of convergence is derived from the pole positions: A. V. Oppenheim & A. S. Willsky, Signals and Systems, 2nd edition. Prentice Hall, 1997 — chapter 9, on the Laplace transform and its region of convergence. ISBN 978-0-13-814757-0.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-07-29

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

astmefunktsioon - Astmefunktsioon kõrgusega 2 teisendub kujule 2/s. Sellel on nullpunktis üks lihtpoolus ning see on kataloogi ainus kirje, mille lõppväärtus on lõplik ja nullist erinev: 2.
Ramp - Kaldtee 2t — teisendub kujule 2/s², kahekordne poolus alguspunktis
Aste tⁿ - t³ — teisendub kujule 6/s⁴: n! = 6 tuleb kolmekordsest ositi integreerimisest ja pooluse järk on n + 1 = 4
eksponentsiaalne kahanemine - e^(-1,5t) teisendub kujule 1/(s + 1,5). Funktsioonil on üks reaalne poolus s = -1,5, seega on koonduvuspiirkond Re(s) > -1,5 ja lõppväärtus 0.
siinuslaine - sin(4t) teisendub kujule 4/(s² + 16) ning selle poolused on ±j4. Need asuvad imaginaarteljel, mistõttu võnkumine ei sumbu ja lõppväärtust ei eksisteeri.
Koosinus - cos(4t) — poolused on imaginaarteljel kohtades ±j4, seega lõppväärtust pole: see võngub lõpmatuseni
sumbuv siinus - Summutatud siinus: 3/((s + 1)² + 9), poolustega -1 ± j3. Sagedus on sama mis summutamata siinusel, kuid reaalosa -1 määrab, kas võnkumine vaibub või kestab lõputult.
Sumbuv koosinus - Sumbuv koosinus — poolused nihkuvad teljelt kohtadesse −1 ± j3, koonduvuspiirkond muutub Re(s) > −1 ja lõppväärtus on 0