Laplace'i teisenduse labor

Laplace'i teisendus teisendab ajadomeeni diferentsiaalvõrrandi kompleksseks algebraliseks võrrandiks integraali L{f(t)} = ∫ e^{-st} f(t) dt abil. See viib diferentseerimise üle korrutamiseks s-iga, muutes keerulised dünaamilised protsessid lahendatavaks lihtsa algebra abil enne lahenduse tagasiteisendamist ajadomeeni.

Sisuliselt on see tööriist tõlketabel. Igal ajafunktsioonil — hüppefunktsioonil, rambil, kahaneval eksponentfunktsioonil — on s-piirkonnas oma paariline, ja labor näitab iga paari mõlemat poolt. Lahenda ülesanne lihtsamas s-piirkonnas ja tõlgi vastus nende paaride abil tagasi. Konkreetselt: kahanemine e^{-at} teiseneb alati kujule 1/(s+a) ning arv a näitab, kui kiiresti see hääbub.

Ammu enne seda, kui teisendus rangelt põhjendati, lahendas iseõppinud insener Oliver Heaviside ahelavõrrandeid, käsitledes tuletisoperaatorit d/dt julgelt tavalise algebralise sümbolina — ja isegi jagas sellega. Puhtaid matemaatikuid kohutas tõestuse puudumine; ta olevat vastanud: „Kas ma peaksin õhtusöögist loobuma, sest ma ei mõista seedimist täielikult?" Tema hüppefunktsioon kannab siiani tema nime ja Laplace'i teisendus andis hiljem range aluse, millest ta ise ei hoolinud.