Muusikaline matemaatikalabor

arvuteooria, polürütmid ja häälestuse võrdlus

Näidisarvutus — Muusikaline matemaatikalabor

● Rada A (5/8)	1 0 1 0 1 1 0 1
● Rada B (7/12)	1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1
Häälestuses	+50 tsenti

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Kaksteist puhast kvinti lähevad seitsmest oktavist üle 🖖

Laoda kaksteist puhast kvinti, igaüks sagedussuhtega 3:2, ja peaksid jõudma tagasi algusnoodile, seitse oktavit kõrgemale. Ei jõua. (3/2)¹² = 129,7463, samas kui seitse oktavit on 2⁷ = 128, nii et spiraal eksib oktavist 1,4% võrra — see on Pythagorase komma, 23,46 senti. Klahvpilli ei ole võimalik häälestada nii, et korraga jääksid puhtaks kõik kvindid ja kõik oktavid, sest 3-l ja 2-l ei ole ühist astet. Kaheteistkümneastmeline võrdhäälestus lahendab selle, lõigates igalt kvindilt maha 1,955 senti: kõik kaksteist muutuvad pisut madalaks ja ükski ei ole täpselt õige. Iga klaver, mida oled kuulnud, on tahtlikult ja ühtlaselt valesti häälestatud.

Kuidas arvust saab akord 🖖

Iga täisarv laguneb algteguriteks — oma jagamatuteks ehituskivideks. See tööriist muudab iga algteguri muusikaliseks intervalliks: 2 on oktav, 3 puhas kvint ja 5 suur terts. Nii kõlab arv 6 = 2 × 3 oktavina, mille peal on kvint, samal ajal kui algarv nagu 7 mängib üheainsa puhta tooni. Sa kuuled sõna otseses mõttes arvu aritmeetilist skeletti.

Rütmid, mis sündisid osakeste kiirendis 🖖

Siinsed ühtlaselt jaotatud rütmimustrid pärinevad Bjorklundi algoritmist, mis loodi neutronipulsside ajastamiseks Los Alamose spallatsiooni-neutroniallikas. 2005. aastal märkas arvutiteadlane Godfried Toussaint, et selle väljund langeb kokku rahvarütmidega üle maailma — üks vaikeväärtus, E(5,8), on Kuuba cinquillo. Veelgi imelikum: meetod on Eukleidese üle 2000 aasta vana suurima ühisteguri algoritm.

Ülesanne täielikult lahendatud

Puhas kvint 1,96-tsendise lüngaga klaveril 6 sammu
Puhas kvint on puhtas intonatsioonis 3/2 ja klaveril 2^(7/12). Vahe on 1,96 senti. Selgita välja, miks keegi ei saanud seda lihtsalt parandada.
1. Sama intervalli kaks definitsiooni. Üks on väikeste täisarvude suhe, mis teeb selle kõla konsoneerivaks; teine on kaheteistkümnes juur, mis võimaldab sellel klaviatuurile sobida.
  
  $just fifth = \frac{3}{2} = 1.500; equal fifth = 2^{7/12} = 1.4983$
2. Sendid asetavad mõlemad logaritmilisele skaalale, kus oktav on 1200 ja intervallid liituvad. Puhas kvint ei ole täisarvuline sentide arv, kuid võrdtempereritud kvint on seda definitsiooni järgi.
  
  $1200 lo g_{2} \frac{3}{2} = 1200 (0.584963) = 702.0 cents; 1200 \cdot \frac{7}{12} = 700.0 cents$
3. Erinevus on väike — tunduvalt alla 5 sendi, mida enamik kuulajaid pika tooni puhul märkab, mispärast võrdtemperatsioon on üldse talutav.
  
  $difference = 701.96 - 700.00 = 1.96 cents$
4. Nüüd lao neid üksteise otsa kaksteist ja võrdle seitsme oktaviga, kuhu kaksteist kvinti peaksid välja jõudma.
  
  $(\frac{3}{2})^{12} = 129.746 against 2^{7} = 128$
5. Vahe sentides on Püthagorase komma ja see on umbes veerand pooltoonist — selgesti märgatav.
  
  $1200 lo g_{2} \frac{129.746}{128} = 23.46 cents$
6. Ja see on täpselt see väike viga, kaksteist korda. Ladumisel ei läinud midagi kaduma ega tulnud juurde; võrdtemperatsioon lihtsalt jagab komma kaheteistkümnega ja tasub selle korra iga kvindi kohta.
  
  $12 \times 1.955 = 23.46$
Vastus

Sest kaksteist sellist vahet moodustavad 23,46 senti ja see on tegelik intervall, mida saab kuulda. Lao üksteise otsa kaksteist puhast kvinti ja jõuad arvuni 129,746; lao seitse oktavit ja jõuad arvuni 128. Need kaks peaksid olema sama noot, kuid erinevad 1,4% võrra — see on Püthagorase komma. Ei ole olemas sellist häälestust, mis hoiaks iga kvindi puhtana ja sulgeks ringi, sest 3/2 mis tahes täisarvulises astmes ei ole kunagi arvu 2 aste — algtegurdused ei saa kattuda. Nõnda on iga klahvpilli häälestus otsus selle kohta, kuhu komma paigutada: jaotada see ühtlaselt kõigi kaheteistkümne kvindi vahel, mis on võrdtemperatsioon ja maksab 1,96 senti iga kvindi kohta, või peita see helistikesse, milles keegi ei mängi, mida tegid ajaloolised temperatsioonid ja miks neile kirjutatud muusika kõlab eri helistikes erinevalt.

$12 just fifths \neq = 7 octaves$

Allikad (1)

Insight block 3 — the algorithm, and the observation that it makes folk rhythms: E. Bjorklund, "The Theory of Rep-Rate Pattern Generation in the SNS Timing System." Los Alamos National Laboratory, SNS ASD Tech Note 2003. G. T. Toussaint, "The Euclidean algorithm generates traditional musical rhythms." Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, 47–56, 2005.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-09-03

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

Naturaalarvud - Naturaalarvude arpedžo: vaata, kuidas algtegurite mandala laieneb.
Fibonacci - Fibonacci ambient-jada: noodid skaleeruvad väljapoole vastavalt spiraali väärtustele.
Polürütm - Polürütmisilmus: 5-löögiline ja 7-löögiline eukleidiline rütm mängivad paralleelselt.
Häälestuse võrdlus - Häälestuse võrdlus: võrdle puhast häälestust (3:2) võrdse häälestusega (2^(7/12)).