Polaarkõverad

Polaarkoordinaadid loobuvad ristkoordinaatidest radiaalse geomeetria kasuks. Funktsioonid r(θ) konstrueerivad spiraale ja rosette, demonstreerides, kuidas nurgast sõltuvad raadiusfunktsioonid kirjeldavad tsentraaljõudude füüsikat.

Polaarkoordinaadid määravad punkti kahe igapäevase küsimusega: kui kaugel keskpunktist ja mis suunas? Seetõttu saavad loomuliku keskpunktiga kujundid — spiraalid, lillelaadsed roosid, orbiidid — siin lühikesed ja puhtad võrrandid, samas kui x-y-ruudustikus paisuvad need tülikateks valemiteks. Proovi spiraali eelseadet: r = θ/π tähendab lihtsalt „raadius kasvab pöördega ühtlaselt“, kuid Descartes'i variant on segapundar. Õppetund: vali koordinaadid, mis sobivad ülesande sümmeetriaga, ja matemaatika muutub lihtsamaks.

Logaritmiline spiraal r = a·e^(bθ) võlus Jakob Bernoullit nii väga, et ta nimetas seda spira mirabilis — „imeline spiraal“ —, sest suurendamisel, pööramisel või peegeldamisel jääb see samaks kõveraks. Ta soovis sellist oma hauakivile koos motoga Eadem mutata resurgo („kuigi muudetud, tõusen taas samana“). Baseli kiviraidur raius aga hoopis Archimedese spiraali (r = aθ) — täiesti teistsuguse kõvera, ja viga on näha tänini.