Algarvusesõel ja Ulami spiraal

Algarvude täpset jaotust juhivad Riemanni dzeetafunktsiooni ζ(s) nullkohad. Kõik 10¹³ teadaolevat mittetriviaalset nullkohta asuvad kriitilisel sirgel Re(s) = 1/2. Selle tõestamine kõigi nullkohtade jaoks annaks kõige täpsemad võimalikud piirid algarvude loendamiseks — ja tooks 1 miljoni dollari suuruse Millenniumi auhinna. 2025. aasta seisuga on see tõestamata.

Eratosthenese sõel leiab algarvud väljajätmise, mitte iga arvu kontrollimise teel. Alusta arvust 2, kriipsuta maha kõik selle kordsed, hüppa järgmise ellujäänud arvu juurde ja korda; mis kunagi maha ei kriipsutata, on algarv. Nutikas nipp: et sõeluda kõik arvud kuni n, tuleb eemaldada vaid algarvude kordsed kuni √n. Nii piisab kõige alla 100 jaoks arvude 2, 3, 5 ja 7 kordsete mahakriipsutamisest.

1963. aastal kritseldas matemaatik Stanisław Ulam ettekande ajal igavusest täisarvud ruudukujulisse spiraali ja märkis ära algarvud — ilmusid üllatavalt selged diagonaaltriibud. Need diagonaalid järgivad algarvurikkaid ruutvalemeid nagu Euleri n² + n + 41, mis annab algarvu iga n korral vahemikus 0 kuni 39. Miks mõned diagonaalid nii tihedaks jäävad, pole siiani täielikult mõistetud.