Carnot' mootori simulaator

Carnot' mootor määrab iga soojusmasina teoreetilise maksimaalse kasuteguri.

Näidisarvutus — Carnot' mootori simulaator

η (Kasutegur)	1 - 300/600
W (Tehtud töö)	1000 × 0.500
QC (Äraantud soojus)	1000 - 500.0

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Carnot' mootori simulaator

Soojusmasin võtab kuumalt kehalt soojust, muudab osa sellest tööks ja viskab ülejäänu millegi külma sisse. Carnot’ kasutegur on suurim osa, mida ükski masin muuta suudab, ja selle määravad ainult kaks temperatuuri: η = 1 − T_C/T_H. Mitte kütus, mitte töökeha, mitte insenerilahendus — temperatuurid.

Mida iga sümbol tähendab

T_H, T_C: sooja ja külma reservuaari temperatuurid kelvinites. Absoluutsed temperatuurid: valem on suhe, seega suvalise nullpunktiga skaala annab suvalise vastuse.
Q_H: ühe tsükli jooksul soojalt reservuaarilt võetud soojus.
Q_C: külma reservuaari visatud soojus. Just see teeb masinast masina — nulli seda panna ei saa.
η: W/Q_H, sisse võetud soojuse osa, mis väljub tööna.

Kust valem tuleb

Alustage raamatupidamisest. Terve tsükli jooksul naaseb masin algolekusse, seega ei salvesta midagi: kõik, mis sisse läheb, peab välja tulema. W = Q_H − Q_C ja seega η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H. Kasutegur on nüüd tervenisti suhte Q_C/Q_H küsimus.
Pange tähele, mida see EI välista. Ainuüksi jäävusseadus lepib olukorraga Q_C = 0 ja η = 1 — masin, mis muudab kogu oma soojuse tööks. Termodünaamika esimene seadus seda ei keela. Piir peab tulema mujalt.
See tuleb entroopiast. Q_H võtmine soojalt reservuaarilt langetab selle entroopiat Q_H/T_H võrra; Q_C viskamine külma tõstab selle oma Q_C/T_C võrra. Masin ise naaseb algolekusse, seega on kogumuutus just need kaks. Teine seadus keelab vähenemise, seega Q_C/T_C ≥ Q_H/T_H.
Ümber tõstetuna Q_C/Q_H ≥ T_C/T_H, ja 1. sammu asetades saame η ≤ 1 − T_C/T_H. Võrdus nõuab, et kogu entroopiamuutus oleks täpselt null, see tähendab täiuslikult pööratavat tsüklit. Carnot’ väärtus pole seega nutikas konstruktsioon, vaid lagi, mille vastu iga konstruktsiooni mõõdetakse — ja iga tegelik pöördumatus tõstab Q_C ja langetab η.

Kuidas nähtut lugeda

Vasak paneel näitab tsüklit rõhu-ruumala telgedel: kaks isotermi T_H ja T_C juures, ühendatud kahe adiabaadiga, ja ümbritsetud pindala on töö tsükli kohta. Parem paneel näitab sedasama voona — Q_H sisse soojast plokist, W kõrvale välja, Q_C alla külma plokki — kolme arvuga nooltel. Muutke ainult Q_H ja silmus säilitab kuju, kõik energiad skaleeruvad; muutke temperatuuri ja silmus ise muudab proportsioone.

Eeldab: Kaks reservuaari, mis on nii suured, et soojuse võtmine ei jahuta üht ega soojenda teist, ja pööratavalt läbitud tsükkel — nii aeglaselt, et töökeha on igal hetkel tasakaalus. Mõlemad temperatuurid kelvinites. Eeldatakse ka, et reservuaarid on ainus, millega masin kokku puutub: ei hõõrdumist ega soojust, mis lekiks tsüklist mööda selle asemel, et sellest läbi minna.
Ei kehti, kui: ΔS rida on iga sisestuse korral null, ja see on arvutuse omadus, mitte otsus masina kohta. Q_C arvutatakse siin kui Q_H − W, kus W tuleb Carnot’ valemist, mis teeb Q_C/T_C ja Q_H/T_H identselt võrdseks — rida kinnitab, et Carnot’ tsükkel on see pööratav, ja midagi muud tuvastada ei suuda. Päris masin tekitab entroopiat, ja aus viis seda siin näha on võrrelda mõõdetud kasutegurit selle laega, mille see leht välja trükib, mitte otsida nullist erinevat ΔS-i.

Arvutage Celsiuses ja masin näib poole võrra parem 🖖

Selle tööriista sisendid on märgitud kelvinites ja see ei ole vormitäide — η = 1 − T_C/T_H on absoluutsete temperatuuride suhe ja see variseb kokku niipea, kui anda sellele suvalise nullpunktiga skaala. Võtke auru eelseadistus, 773 K üle 373 K, mille tööriist annab 51,7%. Needsamad temperatuurid on 500 °C ja 100 °C ning 1 − 100/500 annab 80%. Masina juures ei muutunud miski, ainult skaala nullpunkt. Leebemate temperatuuride juures on veel hullem: 100 °C vastu 20 °C on tõeliselt 21,4% ja loeb Celsiuses 80%, mis on 3,7-kordne ülepakkumine. Sügavam põhjus on see, et just see suhe teeb absoluutsest nullist tõelise koha ja mitte kokkuleppe — kasutegur jõuab ühele täpselt siis, kui T_C jõuab nulli, ja ühelgi teisel skaalal pole nulli, mis midagi tähendaks.

Tähtsad on ainult temperatuurid 🖖

Carnot' kasutegur η = 1 − T_C/T_H sõltub ainult kahe reservuaari temperatuurist — mitte kütusest, gaasist ega sellest, kui nutikalt masin on ehitatud. Mõlemad temperatuurid tuleb esitada kelvinites, seega 300 °C ei ole „10 korda kuumem" kui 30 °C. Praktiline järeldus: rohkema töö saamiseks tuleb temperatuurivahet suurendada — tõsta T_H või langetada T_C. 100% pole kunagi saavutatav, sest T_C = 0 K on kättesaamatu.

Kõige tõhusam masin annab null võimsust 🖖

On üks konks, mille õpikud sageli vahele jätavad: Carnot' piiri saavutamiseks peab tsükkel töötama lõpmata aeglaselt, et iga takt jääks pöörduvaks. Lõpmata aeglane masin annab aga tühiselt väikese võimsuse — praktikas kasutu. 1975. aastal küsisid Curzon ja Ahlborn hoopis, milline on kasutegur maksimaalse võimsuse juures, ja leidsid η = 1 − √(T_C/T_H). Masinal 1800 K / 600 K annab see ≈ 42% — palju lähemal tegelikele elektrijaamadele kui Carnot' 67%.

CARNOT’ PIIR — MIS SEAB LAE JA MIS MAKSAB SELLE TÕSTMINE

Millise Carnot’ juhtumiga on tegemist?

Parim, mida soojusmasin suudab, on η = 1 − Tc/Th, ja tähelepanuväärne on see, mis puudub: kütus, töökeha, masina suurus. Loevad ainult kaks temperatuuri, ja neistki ainult suhe. See üksainus avaldis ütleb, kus lagi on, miks päris mootorid kuumalt töötavad ja miks seesama riistvara, millest saab kehv masin, annab suurepärase soojuspumba.

Temperatuuride suhe kaks ühele — pool soojusest muutub tööks η = 1 − Tc/Th

Väga kuum allikas — lagi tõuseb, tegelikkus jääb maha T_h ↑ ⇒ η ↑

Päris masin — külm pool loeb sama palju kui kuum T_c ↓ ⇒ η ↑

Väga külm neel — kõrge lagi leigest allikast η = 1 − T_c/T_h

Väike temperatuurivahe — kehv masin ja suurepärane soojuspump COP = T_c/(T_h − T_c)

Temperatuuride suhe kaks ühele — pool soojusest muutub tööks

Mida te teate: Mõlema soojusmahuti temperatuur kelvinites. η = 1 − Tc/Th, ja arvutusse ei lähe midagi muud.

Kasutegur: η = 1 − Tc/Th

Näidisarvutus: Th = 600 K ja Tc = 300 K → η = 1 − 0,5 = 50 %. Kuumalt poolelt võetud 1000 džaulist saab 500 J tööd ja 500 J läheb külmalt välja.

Ava see juhtum: 50% kasutegur

Temperatuuride suhe kaks ühele — pool soojusest muutub tööks. Pool sisendist muutub tööks ja pool väljub külmast mahutist — jaotuse otsustab suhe. Mõlema soojusmahuti temperatuur kelvinites. η = 1 − Tc/Th, ja arvutusse ei lähe midagi muud. — Pool sisendist muutub tööks ja pool väljub külmast mahutist — jaotuse otsustab suhe.

Väga kuum allikas — lagi tõuseb, tegelikkus jääb maha

Mida te teate: Põlemistemperatuur kaugelt üle ümbritseva. Suhe Tc/Th muutub väikeseks, seega ronib teoreetiline kasutegur ühe poole.

Kasutegur: T_h ↑ ⇒ η ↑

Näidisarvutus: Th = 2500 K ja Tc = 300 K → η = 88 %. 5000 džaulist lubab piir 4400 J tööd ja vaid 600 J ärajuhtimist.

Ava see juhtum: Automootor

Väga kuum allikas — lagi tõuseb, tegelikkus jääb maha. Kuum allikas kahandab ärajuhitava soojuse õhukeseks vooluks, vähemalt põhimõtteliselt. Põlemistemperatuur kaugelt üle ümbritseva. Suhe Tc/Th muutub väikeseks, seega ronib teoreetiline kasutegur ühe poole. — Kuum allikas kahandab ärajuhitava soojuse õhukeseks vooluks, vähemalt põhimõtteliselt.

Päris masin — külm pool loeb sama palju kui kuum

Mida te teate: Mõlemad temperatuurid määravad töökeha ja kondensaator. Tc langetamine aitab täpselt sama palju kui Th tõstmine samas suhtes.

Kasutegur: T_c ↓ ⇒ η ↑

Näidisarvutus: Th = 773 K ja Tc = 373 K → η = 51,7 %, seega 2000 J annab 1035 J tööd ja juhib ära 965 J.

Ava see juhtum: Aurumasin

Päris masin — külm pool loeb sama palju kui kuum. Mõlemad mahutid on hoovad; kondensaatori temperatuur liigutab lage sama kindlalt kui katel. Mõlemad temperatuurid määravad töökeha ja kondensaator. Tc langetamine aitab täpselt sama palju kui Th tõstmine samas suhtes. — Mõlemad mahutid on hoovad; kondensaatori temperatuur liigutab lage sama kindlalt kui katel.

Väga külm neel — kõrge lagi leigest allikast

Mida te teate: Kuum pool on lihtsalt toatemperatuur, külm aga vedel lämmastik. Loeb suhe, mitte see, kui kuum allikas tundub.

Kasutegur: η = 1 − T_c/T_h

Näidisarvutus: Th = 300 K ja Tc = 77 K → η = 74,3 %. 500 džaulist lubab piir 372 J tööd.

Ava see juhtum: Krüogeenne

Väga külm neel — kõrge lagi leigest allikast. Külm neel teeb sama töö mis kuum allikas, sest arvesse läheb ainult nende kahe suhe. Kuum pool on lihtsalt toatemperatuur, külm aga vedel lämmastik. Loeb suhe, mitte see, kui kuum allikas tundub. — Külm neel teeb sama töö mis kuum allikas, sest arvesse läheb ainult nende kahe suhe.

Väike temperatuurivahe — kehv masin ja suurepärane soojuspump

Mida te teate: Kaks mahutit on teineteise lähedal. Kasutegur variseb kokku, aga seesama ringprotsess tagurpidi muutub väga tõhusaks.

Kasutegur: COP = T_c/(T_h − T_c)

Näidisarvutus: Th = 350 K ja Tc = 300 K → η = 14,3 %, 1000 džaulist vaid 143 J tööd. Vastupidi käivituna on soorituskoefitsient Tc/(Th − Tc) = 6,0.

Ava see juhtum: Ebaefektiivne

Väike temperatuurivahe — kehv masin ja suurepärane soojuspump. Kitsas vahe raiskab masinana suurema osa soojusest ja liigutab seda tagurpidi odavalt. Kaks mahutit on teineteise lähedal. Kasutegur variseb kokku, aga seesama ringprotsess tagurpidi muutub väga tõhusaks. — Kitsas vahe raiskab masinana suurema osa soojusest ja liigutab seda tagurpidi odavalt.

Allikad (2)

Insight block 3 — efficiency at maximum power, not at zero power: F. L. Curzon and B. Ahlborn, "Efficiency of a Carnot engine at maximum power output." American Journal of Physics 43(1), 22–24, 1975 — where η = 1 − √(T_C/T_H) comes from.
The limit itself: S. Carnot, Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance. Bachelier, Paris, 1824.

Ülesanded täielikult lahendatud

Mootor, mis tarbib 1000 J 600 K ja 300 K vahel 5 sammu
Soojusmasin töötab temperatuuride 600 K ja 300 K vahel ning võtab sisse 1000 J. Leia maksimaalne töö, mida see saaks toota — ning tee kindlaks, miks kuuma poole temperatuuri tõstmine on tõhusam kui külma poole jahutamine.
1. Pöörduv tsükkel pöördub tagasi oma algolekusse, seega peab seda tegema ka entroopia. See ainus nõue seob kaks soojusvoogu kahe temperatuuriga enne, kui ühtegi mootori konstruktsiooni üldse kaalutakse.
  
  $\oint \frac{δ Q}{T} = 0 ⟹ \frac{Q _{H}}{T _{H}} = \frac{Q _{C}}{T _{C}}$
2. Kasutegur on tehtud töö ja sisendsoojuse suhe, ning töö on see osa soojusest, mida ei heidetud ära. Entroopiatingimuse asendamine eemaldab soojused täielikult ja jätab alles vaid temperatuurid.
  
  $η = \frac{W}{Q _{H}} = \frac{Q _{H} - Q _{C}}{Q _{H}} = 1 - \frac{Q _{C}}{Q _{H}} = 1 - \frac{T _{C}}{T _{H}}$
3. Arvuta. Ülalolev simulaator näitab seda asendust, mitte ainult tulemust, mis ongi peamine: vastus ei sõltu töökehast, rõhkudest ega mehhanismidest.
  
  $η = 1 - \frac{300}{600} = 0.500$
4. Nii et 1000 J-st tuleb 500 J ära visata. Mitte sellepärast, et mootor oleks halvasti ehitatud — vaid sellepärast, et nende temperatuuride vahel töötav täiesti pöörduv mootor viskaks samuti täpselt nii palju ära.
  
  $W = η Q_{H} = 0.500 \times 1000 = 500 J, Q_{C} = 1000 - 500 = 500 J$
5. Võrdle nüüd kahte võimalikku täiustust. Kuuma poole temperatuuri saab tõsta 200 K võrra tasemeni 800 K või külma poole temperatuuri keskkonna lubatud 50 K võrra tasemeni 250 K. Keskkonna temperatuurist madalamale jahutamiseks läheks vaja teist masinat, mis kulutaks selleks tööd.
  
  $T_{H} = 800 K, T_{C} = 300 K : η = 0.625; T_{C} = 250 K : η = 0.583$
Vastus

500 J ja mitte ühte džauli rohkem. Kuuma reservuaari temperatuuri tõstmine 800 K-ni annab η = 0.625; külm pool on altpoolt piiratud keskkonnaga, seega tulevad tegelikud võidud peaaegu alati ülevalt. See on põhjus, miks reaktiivmootorites taga aetakse turbiini sisselasketemperatuuri eksootiliste sulamite ja labade jahutamisega, ning miks elektrijaama jahutustornid ei ole projekteerimisviga — nende poolt ära antav 500 J on teise seaduse nõue. Piir ei ole siin insenerikunstis; täiuslik mootor jõuab sama arvuni.

$η_{m a x} = 1 - \frac{T _{C}}{T _{H}} (temperatures in K, always)$
50,0% kasutegur kogu tsükli tagurpidi töötamisel 6 sammu
Paneel näitab kasutegurit 50,0 % ja summaarset entroopiamuutu täpselt 0,0000. See null on huvitavam arv: see on luba kogu ringprotsess tagurpidi käima panna. Tee seda — ja küsi, milleks Carnot' masin siis muutub.
1. Alusta sealt, kus paneel juba on. Pool kuumast reservuaarist võetud soojusest väljub tööna ja teine pool visatakse külmalt välja — seda tähendab siin 50 %, ja 1000 J sisse annab 500 J välja.
  
  $η = 1 - \frac{T _{C}}{T _{H}} = 1 - \frac{300}{600} = 0.500, W = η Q_{H} = 500 J, Q_{C} = Q_{H} - W = 500 J$
2. Nüüd entroopiarida. See, mida külm reservuaar võidab, ja see, mida kuum kaotab, on võrdsed ja vastasmärgilised, nii et summa on null — ja null entroopiamuuduga protsess on definitsiooni järgi pööratav. Miski ringprotsessis ei eelista suunda.
  
  $Δ S = \frac{Q _{C}}{T _{C}} - \frac{Q _{H}}{T _{H}} = \frac{500}{300} - \frac{1000}{600} = 1.6667 - 1.6667 = 0$
3. Niisiis pööra see ümber. Pane 500 J tööd sisse ja protsess tõstab 500 J külmalt poolelt üles ning annab kuumale 1000 J. Jaga tööga: kaks ühikut soojust iga kulutatud tööühiku kohta, mis on täpselt 1/η.
  
  $\frac{Q _{H}}{W} = \frac{1000}{500} = 2 = \frac{1}{η}, \frac{Q _{C}}{W} = \frac{500}{500} = 1$
4. Mõlemad suhted väärivad nime. Antud soojus tööühiku kohta on 2; külmalt poolelt eemaldatud soojus tööühiku kohta on 1. Nende vahe on alati täpselt 1, ja mitte juhuslikult: kahe soojuse vahe ongi töö.
  
  $\frac{Q _{H}}{W} - \frac{Q _{C}}{W} = \frac{Q _{H} - Q _{C}}{W} = \frac{W}{W} = 1 \forall T_{H} > T_{C}$
5. Nüüd arv, mis maja jaoks loeb. Kirjuta suhe ainult temperatuurides: 20 °C toas 0 °C vastu õues on 20 K vahe, ja ideaalne väärtus on 14,65 — ligi viisteist džauli soojust iga elektridžauli kohta.
  
  $\frac{Q _{H}}{W} = \frac{T _{H}}{T _{H} - T _{C}} : T_{H} = 293 K, T_{C} = 273 K ⟹ \frac{293}{20} = 14.65$
6. Kaks suunda tõmbavad vastupidi, ja selles ongi teravus. Suru temperatuurivahe kokku ja soojuspump muutub suurepäraseks, samal ajal kui masin muutub kasutuks.
  
  $T_{H} - T_{C} \to 0 : \frac{T _{H}}{T _{H} - T _{C}} \to \infty, η = 1 - \frac{T _{C}}{T _{H}} \to 0$
Vastus

Pane Carnot' masin tagurpidi käima ja tema kasutegurist saab soorituskoefitsient 1/η — siin 2 ehk 1000 J antud 500 J töö eest. See loeb end kui 200 % ega riku midagi, sest soojuspump liigutab soojust, mitte ei tooda seda. Masina vaenlane on soojuspumba sõber: 293 K 273 K vastu annab ideaalis 14,65, päris seade jõuab 3–5-ni. Kogu vahe 14,65 ja 4 vahel on pöördumatus — paneeli entroopiarida, mis enam nulli ei näita.

$\frac{Q _{H}}{W} = \frac{1}{η} = \frac{T _{H}}{T _{H} - T _{C}} : 2 (600/300 K), 14.65 (293/273 K)$

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-07-29

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Füüsika õppetunnid →

Näiteülesanded

50% kasutegur - Ümmargune arv, mida meeles pidada: 600 K 300 K kohal poolitab suhte ja annab täpselt 50,0% — 1000 J sisse, 500,0 J tööna välja
Automootor - Bensiinileek 2500 K juures heitgaasiga 300 K juures lubab 88,0% ja 4400,0 J igast 5000-st — lagi, millest päris mootorid saavutavad vaevu kolmandiku
Aurumasin - 773 K 373 K kohal on 51,7%: ülekuumendatud aur kondensaatorisse, ja ikkagi saab tööks vaid pool soojusest
Krüogeenne - Vedel lämmastik 77 K juures külma poolena annab toatemperatuurilt 74,3% — külm reservuaar on odavam hoob, ja siit on näha, miks
Ebaefektiivne - 350 K 300 K kohal on 14,3%. 50-kraadine vahe annab kehva masina, ükskõik kui hästi ehitatud — ja just sellest valem räägibki