Pöördruudu seaduse uurija

Jõud, kiiritustihedus ja voog kahanevad kõik võrdeliselt 1/r²-ga — sest need levivad üle kerapinna, mille pindala kasvab võrdeliselt 4πr²-ga.

Näidisarvutus — Pöördruudu seaduse uurija

G	6.674×10⁻¹¹ Nm²kg⁻²
m₁	5.97×10²⁴ kg
m₂	1 kg
Kaugus r	6.37×10⁶ m
r²	4.06×10¹³ m²
Kera pindala 4πr²	5.10×10¹⁴ m²

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Voyager 1 töötab 22 W peal — ja me kuuleme teda ikka veel 🖖

Voyager 1 on praegu ~163 AÜ kaugusel Päikesest (≈ 2,4 × 10¹³ m). Kui panna see kiiritustiheduse valemisse: E = 3,828 × 10²⁶ / (4π × (2,4 × 10¹³)²) ≈ 0,051 W/m² — umbes 26 600 korda nõrgem kui päikesevalgus Maal, mis ongi täpselt 163². Päikesepaneelid oleksid kasutud. Seetõttu töötab Voyager radioaktiivse lagunemise (radioisotoop-termoelektrilise generaatori) abil, mis toodab umbes 250 W kasutatavat elektrit. Tema raadiosaatja kiirgab 22 W — umbes sama palju, kui kulutab tuhm LED-riba. Selleks ajaks, kui signaal jõuab Maa Deep Space Networki antennideni (70 m läbimõõduga), on 1/r² seadus juba hajutanud need 22 W üle kera, mille suurus vastab Päikesesüsteemi siseosale. Vastuvõetav võimsus on umbes 10⁻¹⁸ W. Sellepärast peavadki vastuvõtuantennid olema tohutud ja NASA peab vastuvõtjaid jahutama peaaegu absoluutse nullini, et signaali üldse kuulda. Sama seadus, sama geomeetria — olgu selleks su nägu soojendav päikesevalgus või inimkonna kaugeima artefakti sosin.

Miks kahekordne kaugus tähendab veerandit heledusest 🖖

Reegel on puhas geomeetria. Punktallikast lähtuv energia jaotub ühtlaselt laieneva kera pinnale, mille pindala kasvab võrdeliselt 4πr²-ga. Kui kaugus kahekordistada, katab sama energia neli korda suurema pinna, nii et intensiivsus langeb veerandini, mitte poolele. Seepärast jahtud kiiresti, kui lõkkest eemale astud, ja seepärast joonistab see tööriist gravitatsiooni, valguse ja elektrijõu ühele ja samale kõverale.

1/r² seadus on kolmemõõtmelise ruumi sõrmejälg 🖖

Astendaja pole juhuslik — see võrdub ruumimõõtmete arvuga miinus üks. Saame 1/r², sest kera pindala kasvab kolmes mõõtmes võrdeliselt r²-ga. Hüpoteetilises neljamõõtmelises universumis kahaneks gravitatsioon nagu 1/r³, ja Paul Ehrenfest näitas 1917. aastal, et planeediorbiidid oleksid siis ebastabiilsed — planeedid kukuksid tähte või lendaksid minema. Stabiilsete päikesesüsteemide ja seega elu olemasolu võib sõltuda sellest, et ruumil on täpselt kolm mõõdet.

Ülesanne täielikult lahendatud

Ainus orbiit, kus satelliit ripub liikumatult 5 sammu
Maa tõmbab oma pinnal 1 kg massiga keha jõuga 9,82 N. Kasuta ainult seda teavet, et leida ainus orbiit, kus satelliit püsib liikumatult ekvaatori kohal asuva punkti kohal. See on Gravitatsioon parameetritega m₁ = 5,972 × 10²⁴ kg, m₂ = 1 kg ja r = 6371 km.
1. Newtoni seadus arvuliste väärtustega. Edasise jaoks pole oluline mitte 9,82 N, vaid korrutis GM = 3,986 × 10¹⁴ SI-ühikutes, sest satelliidi enda mass kohe taandub ega tule enam tagasi.
  
  $r^{2} = (6.371 \times 1 0^{6})^{2} = 4.06 \times 1 0^{13} m^{2}; F = \frac{G m _{1} m _{2}}{r ^{2}} = \frac{3.986 \times 1 0 ^{14} \times 1}{4.06 \times 1 0 ^{13}} = 9.82 N$
2. Ringorbiit tähendab, et see sama gravitatsioonikiirendus kulub tsentripetaalkiirenduseks. Nende kahe võrdsustamine eemaldab tiirleva keha massi ning jätab alles ühe seose raadiuse ja nurkkiiruse vahel.
  
  $\frac{GM}{r ^{2}} = ω^{2} r ⟹ r^{3} = \frac{GM}{ω ^{2}}$
3. Nurkkiirus on ette antud, mitte valitav: et püsida fikseeritud punkti kohal, peab satelliit pöörlema täpselt koos Maaga. Maa teeb ühe pöörde 86 164 s, mitte 86 400 s jooksul, sest päikeseööpäev peab korvama ka maa-ala, mille Maa oma orbiidil läbis. Väärtuse 86 400 kasutamine viib orbiidi 77 km liiga kõrgele ning valel raadiusel asuv satelliit ei püsi oma punkti kohal.
  
  $ω = \frac{2 π}{86 164 s} = 7.292 \times 1 0^{- 5} rad/s, ω^{2} = 5.318 \times 1 0^{- 9} s^{- 2}$
4. Võta kuupjuur. Tulemus 42 163 km on mõõdetud Maa keskmest, seega paneelil juba oleva 6371 km lahutamisel jääb kõrguseks umbes 35 790 km — tavaliselt esitatav 35 786 km on sama orbiit mõõdetuna ekvaatori raadiusest, mis on 7 km suurem.
  
  $r^{3} = \frac{3.986 \times 1 0 ^{14}}{5.318 \times 1 0 ^{- 9}} = 7.495 \times 1 0^{22} m^{3} ⟹ r = 4.2163 \times 1 0^{7} m = 42163 km$
5. Gravitatsioon seal kaugel allub täpselt sellele seadusele, mida see lehekülg kujutab. Raadius on kasvanud 6,62 korda, seega selle ruut näitab, kui palju nõrgemaks on tõmbejõud muutunud.
  
  $(\frac{42 163}{6371})^{2} = 43.8 ⟹ g (r) = \frac{9.82}{43.8} = 0.2242 m/ s^{2}$
Vastus

Tööriist kuvab 1 kg massi kohta 9,82 N, kui kauguse ruut on 4,06 × 10¹³ m². Sellest tulenev kõrgus ei ole kellegi valitud: 42 163 km on ainus raadius, mille tiirlemisperiood kattub Maa pöörlemisega, seega on geostatsionaarne orbiit lahendus, mitte disainivalik. See teeb geostatsionaarsest vööndist ühe 264 900 km pikkuse ringjoone ning iga satelliit, mis peab paigale jääma — televisioon, ilm, enamik releesid —, peab asuma kuskil sellel. Üks kraad sellest ringjoonest on 736 km, mistõttu eraldatakse pesasid rahvusvahelise lepinguga, mitte ei haarata kes ees, see mees. Ja tõmbejõud seal on 43,8 korda nõrgem kui sinu jalge all, mis on selle lehe 1/r² kõver jälgituna kuni kuue ja poole Maa raadiuseni.

$r_{GEO} = 3 \frac{GM}{ω ^{2}} = 42163 km, 2 π r_{GEO} = 264900 km$

Allikad (1)

Voyager transmitter power, antenna sizes and received signal levels: R. Ludwig and J. Taylor, "Voyager Telecommunications." DESCANSO Design and Performance Summary Series, Article 4. Jet Propulsion Laboratory, 2002.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-08-17

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Füüsika õppetunnid →

Näiteülesanded

Maa pind - Maa pinna raskusjõud (m2=1 kg): F ≈ 9.8 N — see on 1 kg-jõud
Kuu orbiit - Kuu orbiidi kaugusel: 1 kg tunneb F ≈ 0.0027 N — ≈3600× nõrgem kui pinnal
Päikesevalgus Maal - Päikesekiirgus Maal (1 AU): kiiritustihedus ≈ 1361 W/m² — päikesekonstant
Kahekordne vahemaa - 2× Maa kaugusel: kiiritustihedus langeb ≈ 340 W/m² peale — täpselt ¼ päikesekonstandist
Prootonid - Prooton-prooton 1 fm kaugusel: Coulomb'i jõud ≈ 230 N — selle peab ületama tugev jõud