Raketitõrje ja proportsionaalnavigatsioon

Püüdja asukohas (22, 2) km lendamas kiirusega 1500 m/s, sihtmärk asukohas (5, 19) km lendamas kiirusega 900 m/s kursiga -14° ning püüdja lansseeritud otse piki vaatejoont. Kui navigatsioonikordaja N = 3, millist külgkiirendust nõuab proportsionaalne navigatsioon esimesel hetkel — ja miks see üldse midagi nõuab, kui rakett on juba suunatud täpselt sihtmärgi poole?

1. Lahutage need kaks asukohta: 17 km vasakule ja 17 km üles. 45° sümmeetria on kingitus, sest R² väärtuseks tuleb täpselt 578 ja iga alljärgnev samm jagab sellega.

   $$\vec{r}=(5-22,19-2)=(-17,17)\mathrm{km};R=17\sqrt{2}=24.04\mathrm{km};\lambda =atan2(17,-17)=135.0^{\circ }$$

2. Sihtmärk ei manööverda selles kohtumises, seega selle kiirusvektor ei muutu kunagi. Lahutage see komponentideks üks kord ja kasutage uuesti.

   $${\vec{v}}_T=900(\cos (-14^{\circ }),\sin (-14^{\circ }))=(873.3,-217.7)m/s$$

3. Püüdja lansseeritakse piki vaatejoont, seega on ka selle kurss ψ₀ 135°. Lahutage need kaks kiirust ja saate ainukese vektori, mida juhtimisseadus üldse vaatleb.

   $${\psi }_0=\lambda ⟹{\vec{v}}_I=(-1060.7,1060.7);{\vec{v}}_{\mathrm{rel}}={\vec{v}}_T-{\vec{v}}_I=(1933.9,-1278.4)m/s$$

4. Lähenemiskiirus on suhtelise kiiruse vaatejoone sihis asuv osa, mille märk on pööratud vastupidiseks, nii et lähenemine on positiivne. Ainult see osa lühendab vahemaad.

   $$V_c=-\frac{\vec{r}\cdot {\vec{v}}_{\mathrm{rel}}}{R}=\frac{54.609}{24.0416}=2.2714km/s=2271m/s$$

5. See, mis suhtelisest kiirusest üle jääb, on suunatud risti vaatejoonega, ja just see paneb suunanurga pöörduma. Nurgakiiruse saamiseks jagage see vahemaaga. See ei ole null — seega hoolimata täiuslikust sihtimisest ei ole see kokkupõrkekurss.

   $$\dot{\lambda }=\frac{r_x{v}_{\mathrm{rel},y}-r_y{v}_{\mathrm{rel},x}}{R^2}=\frac{21.733-32.877}{578}=-0.0193rad/s=-1.10^{\circ }/\mathrm{s}$$

6. Proportsionaalne navigatsioon korrutab need kaks näitu omavahel, skaleerib teguriga N ja nimetab korrutise kiirenduseks. Juhtimisseaduses ei tea miski, kuhu sihtmärk liigub; see teab, kui kiiresti suunanurk triivib ja kui kiiresti vahemaa väheneb, ja see ongi kõik.

   $$a_{\mathrm{cmd}}=N{V}_c\dot{\lambda }=3(2271)(-0.019280)=-131.4m/{\mathrm{s}}^2=13.4g$$

7. Nüüd leidke sama nurgakiirus teisel viisil, ilma skalaarkorrutisi kasutamata. Lahutage sihtmärgi enda kiirus komponentideks risti vaatejoonega.

   $$\hat{p}\perp \vec{r}:{\vec{v}}_T\cdot \hat{p}=900\sin (-14^{\circ }-135^{\circ })=-900\sin 31^{\circ }=-463.5m/s$$

8. Püüdja ei anna risti vaatejoonega suunas mingit panust, sest see lansseeriti piki seda. Kogu vaatejoonega risti olev triiv 463,5 m/s kuulub sihtmärgile ning jagades selle 24 042 m vahemaaga, taastoodetakse täpselt samm 5.

   $${\vec{v}}_I\cdot \hat{p}=0⟹\dot{\lambda }=\frac{{\vec{v}}_{\mathrm{rel}}\cdot \hat{p}}{R}=\frac{-463.5}{24042}=-0.0193rad/s$$