PID-regulaatori Häälestaja

Häälesta PID-regulaator ja jälgi, kuidas väljund järgib astmelist seadeväärtust läbi esimest järku protsessi.

Algväärtused — PID-regulaatori Häälestaja

Kp	1.2
Ki	0.4
Kd	0.1
Tau	1
Protsessi võimendus	1
Seadeväärtus	1

Muuda ülal mõnda juhtelementi ja tulemused arvutatakse uuesti.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

esimest järku objektil pole D-osal midagi summutada 🖖

Proportsionaalosa reageerib hetkehälbele ja integraalosa kõrvaldab sellest jäänud püsihälbe. Vaata, mida teeb P-juhtimine üksi: kui k_p = 1,2, jääb väljund väärtusele 0,5455 ega liigu sealt enam, sest puudu jääb täpselt k_p/(1 + k_p). k_i lisamine kõrvaldab selle vahe. Diferentsiaalosa toimib sellel objektil teisiti, sest k_d·de/dt suunab tagasi väljundi enda muutumiskiiruse: kontuuri võrrandiks saab (τ + k·k_d)ẏ = −y + k(k_pe + k_i∫e). Nii suureneb ajakonstant, kuid midagi ei summutata. Integraalosa kasutamisel koguneb aeglasemas kontuuris suurem integraal ning k_d suurendamine väärtuselt 0 väärtusele 0,6 parameetrite k_p = 1,3 ja k_i = 2,5 korral kasvatab ülereguleerimise 6,6%-lt 14,6%-le. Diferentsiaaljuhtimisest on kasu süsteemides, mille inertsile saab see vastu töötada. Sellel objektil inertsi pole.

juhtimine hälbe, mitte sihi järgi 🖖

Regulaator ei saa seadeväärtust kunagi otsese käsuna. Ta teab ainult hälvet, erinevust väljundi praeguse ja soovitud väärtuse vahel. Iga juhttoime on vastus sellele hälbele ning vähendab seda nulli suunas. Jälgi astmekostet: seadeväärtus hüppab, hälve on suur ja regulaator rakendab tugevat juhttoimet. Kui väljund läheneb seadeväärtusele, muutub juhttoime nõrgemaks. Hea reguleerimine sünnib hälbele reageerimisest, mitte täiusliku juhttoime ette teadmisest.

sündis lahingulaeva roolimeest jälgides 🖖

Kolmeliikmeline retsept ei tuletatud kõigepealt võrranditest. 1922. aastal töötas Nicolas Minorsky PID-juhtimise välja, jälgides kogenud roolimeest lahingulaeva USS New Mexico tüüri taga. Ta märkas, et madrus ei parandanud mitte ainult seda, kui kaugel laev kursist oli (proportsionaalne), vaid ka seda, kui kaua see oli triivinud (integraal) ja kui kiiresti kurss muutus (tuletis). Automaatjuhtimine jäljendas inimlikku vaistu, enne kui teooria järele jõudis.

Ülesanded täielikult lahendatud

Kuhu tegelikult stabiliseerub kontroller, millel on vaid proportsionaalne võimendus 5 sammu
Regulaatoril, millel on vaid proportsionaalvõimendus, palutakse hoida väljundit väärtusel 1. Leia, kuhu see tegelikult stabiliseerub, ning leia, miks tõusuaja rida näitab, et eesmärki ei saavutatudki. See on Ainult P: K_p = 1,2, K_i = 0, K_d = 0, objekti ajakonstant τ = 1 s, objekti võimendus K = 1, seadeväärtus r = 1.
1. Kolm tõsiasja sulgevad kontuuri üheks võrrandiks. Regulaator mõjub väärtusega K_p korda hälve, objekt triivib K korda selle poole, millega teda mõjutatakse, ja hälve on see, mis jääb seadeväärtusest pärast väljundi lahutamist üle. Asendades kaks viimast esimesse, jääb y sõltuma vaid iseendast.
  
  $τ \frac{d y}{d t} = - y + K u, u = K_{p} e, e = r - y ⟹ τ \frac{d y}{d t} = - y + K K_{p} (r - y)$
2. Stabiliseerumine tähendab, et tuletis on 0, ja see muudab diferentsiaalvõrrandi peastarvutatavaks aritmeetikaks. Võimendustegur esineb kaks korda — korra lugejas ja korra selle all olevas summas — ning see ongi vastuse kogu kuju.
  
  $\frac{d y}{d t} = 0 : y_{\infty} = \frac{K K _{p}}{1 + K K _{p}} r = \frac{1.2}{2.2} = 0.5455$
3. Lahuta, et saada järelejäänud hälve, ja jälgi, kuidas r murrust välja taandub. Jääkhälve on osakaal sellest, mida küsisid, mitte fikseeritud suurus: küsi 100 ja eksid 45,45 võrra, küsi 1 ja eksid 0,4545 võrra. See on kontuuri, mitte soovitud väärtuse omadus.
  
  $e_{\infty} = r - y_{\infty} = \frac{r}{1 + K K _{p}} = \frac{1}{2.2} = 0.4545$
4. Põhjendus, miks kontuur ei saa paremini toimida, mahtub ühele reale, ja see ongi kogu ülesande tuum. Regulaatori ainus väljund on K_p korda hälve. Nullhälve nõuab nullmõju ja nullmõju hoiab objekti nullis. Regulaator vajab püsivat hälvet, et tekitada püsiv mõju, mis hoiab y-d kõrgel — kontrolli ise: püsiseisundi juhtsignaal on 0,5455, mis on täpselt sama väärtus, mida see väljundis hoiab. Jääkhälve pole halb häälestus, vaid toimimismehhanism ise.
  
  $u_{\infty} = K_{p} e_{\infty} = 1.2 \times 0.4545 = 0.5455 = \frac{y _{\infty}}{K}$
5. See selgitab ka tühja rida. Tõusuaeg on esimene hetk, mil y jõuab väärtuseni 0,9r, ning y ei saa kunagi tõusta üle oma lae 0,5455. Niisiis ei ütle see näit sulle, et kontuur on aeglane — see ütleb, et sihtväärtus on ülalpool lage. Avalda võimendustegur, mis tõstab lae väärtuseni 0,9, ja saad tulemuseks 9, seega iga K_p alla 9 annab sama tühja tulemuse.
  
  $\frac{K K _{p}}{1 + K K _{p}} \geq 0.9 ⟺ K_{p} \geq \frac{9}{K} = 9$
Vastus

Tööriist kuvab y(10 s) = 0,55 ja staatiliseks hälbeks 0,455, kusjuures nii tõusuaeg kui ka stabiliseerumisaeg jäid saavutamata. Ja nüüd konks. Tegur 1 + K·K_p = 2,2, millega jagatakse hälve, jagab ka objekti ajakonstandi, seega jõuab see kontuur oma vale vastuseni 0,4545 s jooksul objekti enda 1 s asemel. Kiirus ja täpsus on üks ja seesama nupp ning see nupp on kallis: hälbe surumine 1%-ni nõuab K_p ≥ 99, ja hetkel t = 0 on hälve võrdne kogu seadeväärtusega, nii et regulaator alustab nõudes 99 korda suuremat väljundit kui see, mida ta üritab tekitada. Proportsionaalvõimendus ei eemalda jääkhälvet kunagi — see teeb selle vaid piisavalt väikeseks, et seda eirata, ja kasseerib selle eest sisse äkilise esimese käigu. Selle eemaldamiseks on vaja liiget, mis jätkab mõjutamist ka pärast seda, kui hälve on lakanud muutumast.

$e_{\infty} = \frac{r}{1 + K K _{p}}, τ^{'} = \frac{τ}{1 + K K _{p}} = \frac{1.00}{2.2} = 0.4545 s$
Kui palju nihet jääb alles pärast integraatorit 10 s möödudes 5 sammu
Integratoor peaks panema jääkhälbe kaduma. Leia, kui palju sellest on säilinud 10 s järel, ning leia võimendustegur, mille juures see kontuur hakkaks selle asemel võnkuma. See on PI: K_p = 1, K_i = 0,6, K_d = 0, τ = 1 s, K = 1, r = 1.
1. See, et jääkhälve kaob, on arutlus, mitte arvutus. Oletame, et kontuur stabiliseerub konstantse hälbega, mis ei ole 0. Sel juhul kasvab selle jooksev integraal piiramatult, mistõttu juhtsignaal kasvab piiramatult, mistõttu väljund kasvab piiramatult — mis ei ole stabiliseerumine. Ainus konstantne hälve, mis stabiliseerunud PI-kontuuril saab olla, on 0, olenemata võimendusteguritest.
  
  $\overset{y}{˙} = 0, e \equiv c \neq = 0 : \int_{0}^{t} e d t = c t \to \infty ⟹ u \to \infty ⟹ c = 0$
2. Teadmine, et see sinna jõuab, ei ütle midagi selle kohta, millal. Tuleta kontuuri võrrandit üks kord, et vabaneda integraalimärgist, ja pane tähele, mis juhtus järguga: esimese järgu objekt PI-juhtimise all on teist järku süsteem koos kõigi sellest tulenevate käitumisomadustega.
  
  $τ \overset{y}{˙} = - y + K (K_{p} e + K_{i} \int e d t), \overset{e}{˙} = - \overset{y}{˙} ⟹ τ \overset{y}{¨} + (1 + K K_{p}) \overset{y}{˙} + K K_{i} y = K K_{i} r$
3. Hälve allub samale võrrandile ilma seadeväärtuse sisendita, seega on see eksponentfunktsioonide summa, mille astendajate teguriteks on juured. Siin on diskriminant positiivne, mõlemad juured on reaalsed ja negatiivsed ning pole midagi, mis põhjustaks võnkumist — mistõttu näitab ülevõnke rida 0,0%, mitte mingit väikest protsenti.
  
  $\overset{e}{¨} + 2 \overset{e}{˙} + 0.6 e = 0, s = - 1 \pm 1 - 0.6 = - 0.3675, - 1.6325$
4. Kaks algtingimust määravad kaks kaalutegurit. Hetkel t = 0 ei ole miski liikunud, seega on hälve võrdne kogu seadeväärtusega; ning objekti algtõus on K·K_p·r/τ = 1, seega on hälbe algtõus -1. Lahenda see paar ning mõlemad kaalutegurid tulevad täpselt 0,5, mis on nende võimenduste puhul juhuslik kokkulangevus, mitte üldine tulemus.
  
  $e (0) = 1, \overset{e}{˙} (0) = - \frac{K K _{p} r}{τ} = - 1 ⟹ e (t) = 0.5 e^{- 0.3675 t} + 0.5 e^{- 1.6325 t}$
5. 10 s möödudes on kiire juur ammu hääbunud — selle liige on langenud väärtuseni 4×10⁻⁸ — seega moodustab aeglane juur kogu vastuse, ja sellel on olnud tegutsemiseks vaid 3,7 oma ajakonstandi jagu aega. Miski pole valesti läinud; kontuur on lihtsalt alles teel.
  
  $e (10) = 0.5 e^{- 3.675} + 0.5 e^{- 16.325} = 0.01268 + 4 \times 1 0^{- 8} = 0.0127, y (10) = 0.9873$
Vastus

Tööriist kuvab y(10 s) = 0,99 ja jääkhälbeks 0,013. Jääkhälve on kadumas, kuid vaatlusakna lõpus on see ikka veel 1,3%, ning see ongi integraaltoime aus hind: see eemaldab hälbe põhimõtteliselt, kuid võtab tegelikkuses aega. 0,1%-ni jõudmine nõuab ln(500)/0,3675 = 16,9 s, mis jääb graafiku paremast servast väljapoole, seega ei saa see aken näidata sulle nende võimendusteguritega lõpulejõudnud PI-kontuuri. Tõsta selle kiirendamiseks tegurit K_i ja põrkad vastu seina — diskriminant muutub negatiivseks väärtusel K_i = 1, millest edasi on juured komplekssed ja reaktsioon võnkuv. Sügavam erinevus on väärt rohkem kui kumbki neist arvudest. Proportsionaalne jääkhälve oli r/(1 + K·K_p), mis sisaldab objekti võimendust, seega ummistuv klapp või nõrgenev mootor muudab tulemust: poolita K ja ainult P möödalask kasvab 0,455-lt 0,625-le. PI stabiliseerumispunkt ei sisalda üldse K-d. Seepärast ongi tööstuslikel kontuuridel integratoor — mitte sellepärast, et see oleks täna täpsem, vaid sellepärast, et see jääb täpseks ka siis, kui objekt selle all muutub.

$(1 + K K_{p})^{2} - 4 τ K K_{i} \geq 0 ⟺ K_{i} \leq \frac{( 1 + K K _{p} ) ^{2}}{4 τ K} = 1$

Allikad (1)

Insight block 3 — the helmsman, and the three terms taken from watching him: N. Minorsky, "Directional stability of automatically steered bodies." Journal of the American Society for Naval Engineers 34(2), 280–309, 1922.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-05-31

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Füüsika õppetunnid →

Näiteülesanded

Ainult P - Kui kp = 1,2 toimib üksi, jääb väljund väärtusele 0,5455 ega liigu sealt enam. Puudujääk 45,5% on täpselt kp/(1 + kp): proportsionaaljuhtimine ei suuda viimast vahet kõrvaldada.
PI - Kui samale objektile lisada ki = 0,6, jõuab väljund kümne sekundiga väärtusele 0,9873 ja läheneb endiselt seadeväärtusele. P-juhtimisest jäänud püsihälbe kõrvaldab integraalosa.
diferentsiaalosaga - Kui parameetritele kp = 1,3 ja ki = 0,5 lisada kd = 0,2, ei muutu peaaegu midagi: kümne sekundi järel on väljund 0,9663, PI-juhtimisel aga 0,9873. Esimest järku objektil lisab D-osa summutamise asemel viivitust.