Signaali diskreetimine ja Nyquisti teoreem

Määra signaali sagedus ja diskreetimissagedus, et näha, kas signaal salvestub täpselt või tekib aliaseerumine.

Näidisarvutus — Signaali diskreetimine ja Nyquisti teoreem

Kvantimise SNR	49.92dB

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Kaks erinevat sagedust võivad jätta identsed mõõtepunktid 🖖

Diskreetimine töötab ainult siis, kui diskreetimissagedus tabab kiireima esineva võnkumise. Kui f_s < 2 f_signaal, tekitavad erinevad pidevad sagedused identseid diskreete, mistõttu taastamine lukustub valele, madalamale aliassagedusele.

Vähemalt kaks punkti laine kohta 🖖

Laine kinnistamiseks tuleb see tabada nii tõusul kui langusel — vähemalt kaks diskreetimispunkti igas võnkeperioodis. Vähema korral võiksid samad punktid kuuluda paljudele erinevatele lainetele ja digitaalne koopia arvab valesti. CD-heli kasutab 44,100 diskreetimispunkti sekundis, sest inimkõrv kuuleb kuni umbes 20 kHz, ja 2 × 20 kHz jätab mugava varu.

Miks rattad filmis tagurpidi keerlevad 🖖

Vankriratta efekt on Nyquist nähtavas maailmas. Filmikaamera diskreedib liikumist 24 kaadriga sekundis; kui kodaratega ratas pöördub kahe kaadri vahel veidi vähem kui ühe kodaravahe võrra, jääb iga võte eelmisest napilt maha ja silm näeb ratast aeglaselt tagurpidi keerlemas. Sama matemaatika nagu heli aliasing'i puhul — kaadrisagedus on diskreetimissagedus ja kiire pöörlemine voldib end valeks aeglaseks.

Ülesanded täielikult lahendatud

6 dB biti kohta reegel ja lisanduv 1,76 8-bitisele muundurile 5 sammu
Tuletage 6 dB biti kohta reegel nullist 8-bitise muunduri jaoks — kust pärineb see eraldiseisev 1,76? — ning öelge, mida see ei luba.
1. Lähima tasemeni ümardamine jätab vea, mis pole suurem kui pool sammu, ning tiheda signaali puhul on see viga intervalli ulatuses ühtlaselt jaotunud. Selle dispersioon on e² integraal üle ühtlase jaotuse.
  
  $Δ = \frac{V _{F S}}{2 ^{N}}, e \sim U (- \frac{Δ}{2}, \frac{Δ}{2}), σ_{e}^{2} = \frac{1}{Δ} \int_{- Δ/2}^{Δ/2} e^{2} d e = \frac{Δ ^{2}}{12}$
2. Etalonsignaaliks on siinus, mis täidab kogu sisendvahemiku, seega on selle võimsus pool tema amplituudi ruudust.
  
  $P_{sig} = \frac{( V _{F S} /2 ) ^{2}}{2} = \frac{V _{F S}^{2}}{8}$
3. Jagege need kaks teineteisega. Kogu sisendvahemik taandub välja, mis ongi põhjus, miks tulemus sõltub puhtalt bittide arvust, mitte pingest.
  
  $SNR = \frac{V _{F S}^{2} /8}{Δ ^{2} /12} = \frac{12}{8} (\frac{V _{F S}}{Δ})^{2} = \frac{3}{2} \cdot 2^{2 N}$
4. Võtke logaritmid. 6,02 on 20 log₁₀2 — üks bitt kahekordistab tasemete arvu — ja 1,76 on eelmiselt realt üle jäänud 3/2.
  
  $SN R_{dB} = 10 lo g_{10} \frac{3}{2} + 20 N lo g_{10} 2 = 1.76 + 6.02 N$
5. Arvutage väärtus 8 bitti ja seejärel 16 bitti juures. Iga lisabitt annab juurde veidi üle 6 dB, seega annavad CD-heli kaheksa lisabitti juurde 48 dB.
  
  $N = 8 : 6.02 (8) + 1.76 = 49.92 dB; N = 16 : 98.08 dB$
Vastus

49,92 dB ning 1,76 on 10 log₁₀(3/2). See on siinussignaali ruutkeskmise väärtuse ja kvantija ühtlase vea dispersiooni suhe ning see on ainus osa valemist, mis ei ole pelgalt bittide loendamine. Pange tähele, mida siin kunagi ei esine: diskreetimissagedust. 24-bitisel muunduril, mis töötab sagedusel 8 kHz, on 146 dB amplituudieraldusvõimet ja see ei suuda ikkagi esitada 5 kHz tooni — bitid ostavad vertikaalset täpsust, diskreetimissagedus ostab ribalaiust ning kumbki ei saa asendada teist. Seetõttu on selle lehe kaks liugurit tõeliselt sõltumatud teljed, mitte kaks eri viisi öelda "kvaliteet".

$SN R_{dB} = 6.02 N + 1.76 = 49.92 dB (N = 8)$
30 kHz toon CD-l ja koht, kus see tagasi ilmub 7 sammu
Mikrofon püüab kinni 30 kHz komponendi, mis asub inimese kuulmisulatusest tunduvalt kõrgemal, ja see jõuab ilma eelneva filtreerimiseta 44,1 kHz muundurisse. Mis jääb salvestisele ja millistest teistest toonidest ei ole seda enam võimalik eristada?

Ava see ülesanne tööriistas
1. Alustage ülempiirist. Muundur, mis töötab kiirusel 44 100 diskreeti sekundis, suudab tõeselt esitada kõike, mis jääb alla poole sellest sagedusest. Meie toon on üle selle piiri, seega ükskõik millised diskreedid hiljem välja näevad, ei saa need tähendada seda, mida nad näivad tähendavat.
  
  $f_{N y q u i s t} = \frac{f _{s}}{2} = \frac{44 100}{2} = 22050 Hz 30000 > 22050$
2. Pange kirja, mida muundur tegelikult talletab. See ei näe kunagi lainet. See näeb laine väärtust kord iga 1/44 100 sekundi järel ja mitte midagi muud.
  
  $x [n] = sin (2 π f \frac{n}{f _{s}}) = sin (2 π \cdot \frac{30 000}{44 100} n)$
3. Lisage nüüd täisarv perioode ühe diskreedi ja järgmise vahele. Iga diskreet saab juurde 2πk faasi ning täispöörded siinust ei muuda. Talletatud arvud tulevad numbri haaval identsed.
  
  $sin (2 π \frac{f + k f _{s}}{f _{s}} n) = sin (2 π \frac{f}{f _{s}} n + 2 π k n) = sin (2 π \frac{f}{f _{s}} n) k \in Z$
4. Seega ei määra diskreedid sagedust. Need määravad sageduste pere ja taasesitus peab sellest valima ühe liikme. Valitakse nullile lähim, mis on 30 000 Hz kaugus diskreetimissageduse lähimast kordsest.
  
  $k = round (\frac{30 000}{44 100}) = 1, f_{a l ia s} = ∣ 30000 - 1 \cdot 44100 ∣ = 14100 Hz$
5. See ongi arv, mida tööriist kuvab. 14 100 Hz on peenike kõrge vile, mis on kuuldav enamikule noortest kuulajatest ja üks esimesi asju, mis vanusega kaob, ning seda polnud ruumis: kuuldamatu komponent on salvestamise toiminguga muudetud kuuldavaks.
  
  $OSR = \frac{f _{s}}{2 f _{s i g na l}} = \frac{44 100}{2 \cdot 30 000} = 0.735 < 1$
6. Millised teised toonid satuvad samasse kohta? Iga selle perekonna liige ja neid on lõpmatult palju. Terve diskreetimissageduse võrra kõrgemal asuvad toonid annavad tulemuseks täpselt samad arvud. Peegeldatud toonidel on aga iga diskreet vastasmärgiga, mis on seesama toon pööratud faasiga. Mõlemal juhul talletab salvestis iga diskreedi kohta vaid ühe arvu ega säilita mingit jälge sellest, milline toon selle tekitas.
  
  $∣ k f_{s} \pm 14100 ∣ = {14100, 30000, 58200, 74100, 102300, \dots}$
7. Seepärast peabki filter olema analoogne ja asuma muunduri ees, ning see määrab ära, kui järsk see peab olema: laskma läbi 20 kHz, tõkestama 22 050 Hz juures — vahemik umbes seitsmendik oktaavi. Sellise filtri ehitamine analoogelektroonikas on keeruline, mis ongi praktiline põhjus, miks ülediskreetimisega muundurid olemas on. Diskreetige kiiremini, kaitseriba laieneb, analoogfilter võib olla lauge ning töö järsk osa liigub aritmeetikasse, kus see on odav.
  
  $lo g_{2} \frac{22 050}{20 000} = 0.141 octave$
Vastus

14 100 Hz, täistugevusega. Sagedusel 44,1 kHz diskreeditud 30 kHz toon ei ole eristatav 14 100 Hz toonist, nagu ka mitte 58 200 Hz, 74 100 Hz ega ükski teine hulga |k·f_s ± 14 100| liige. Voltumine hävitab teabe diskreetimise hetkel, seega ei suuda ükski hilisem töötlemine voltunud toone enam eraldada. Ainus koht selle vältimiseks on muunduri ees.

$f_{a l ia s} = f - f_{s} round (\frac{f}{f _{s}}) = 14100 Hz$

Allikad (2)

Where the sampling theorem is stated: C. E. Shannon, "Communication in the Presence of Noise." Proceedings of the IRE 37, 10–21, 1949.
And the information-theoretic frame it sits in: C. E. Shannon, "A Mathematical Theory of Communication." Bell System Technical Journal 27, 379–423, 1948.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.