Kausaalsuse liivakast

Genereeri sünteetilisi andmeid erinevatest kausaalstruktuuridest ja jälgi, kuidas korrelatsioon ja tõus muutuvad.

Näidisarvutus — Kausaalsuse liivakast

Korr(X,Y)	−0.8871
Tõus Y~X	−0.8077
Korr(X,Z)	0.9452
Korr(Y,Z)	−0.9315

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

miks kausaalsed graafikud on paremad kui korrelatsioonitabelid 🖖

Korrelatsioon näitab, et kaks muutujat liiguvad koos — mitte miks. Sama arv võib tekkida kolmest põhimõtteliselt erinevast struktuurist:

Otsene põhjus (X → Y): X eemaldamine muudab Y-i.
Segav tegur (Z → X, Z → Y): Z põhjustab mõlemat; X ja Y on korrelatsioonis, kuid kumbki ei põhjusta teist. Z kontrollimine kaotab korrelatsiooni.
Kollektor (X → Z ← Y): X ja Y on sõltumatud, kuid kui valid või tingid Z järgi, tekitad nende vahel näiliku seose.

Graafikul olev suunatud atsükliline graaf (DAG) kodeerib, millised muutujad on põhjused ja millised tagajärjed. Ilma selleta ei saa neid juhtumeid üksnes korrelatsioonikordaja põhjal eristada — seepärast algab kausaalne järeldamine alati struktuurimudelist, mitte korrelatsioonimaatriksist.

korrelatsioon on nägemine, põhjuslikkus on tegutsemine 🖖

Siin taandub kõik erinevusele muutuja vaatlemise ja selle muutmise vahel. Nii segavad tegurid kui ka kolliider võivad eksitada, sest vaadelda saab üksnes andmeid, mida varjatud protsess on juba kujundanud. Juhuslikustatud katse lahendab selle raskuse: kui X-i väärtus määratakse mündiviskega, lõigatakse läbi kõik X-i suunduvad nooled. Seega peab pärast seda säiliv korrelatsioon X-i ja Y-i vahel olema põhjuslik. Just seepärast võib kontrollitud katse anda kindla vastuse küsimusele, mida ei lahenda ükski hulk vaatlusandmeid.

Berkeley vastuvõtu paradoks 🖖

Simpsoni stsenaarium pole mänguasi. 1973. aastal võeti UC Berkeley magistriõppesse vastu umbes 44% meestest, kuid vaid 35% naistest, mis näis viitavat kallutatusele. Ometi võeti teaduskonna kaupa naisi vastu veidi kõrgema määraga — nad olid lihtsalt palju sagedamini kandideerinud kõige konkurentsitihedamatesse teaduskondadesse. Kõigi teaduskondade kokkuliitmine pööras rühmasisese suundumuse ümber — just see ümberpööre, mida siin katkendjoon kujutab.

Ülesanne täielikult lahendatud

Korrelatsioon −0,8871 üle 400 punkti hoides Z fikseerituna 6 sammu
X ja Y korrelatsioon 400 punktil on −0,8871. Leidke, kui suur osa sellest jääb alles pärast Z fikseerimist, ning määrake, kui kindel võib kummaski väärtuses olla.
1. Kolm korrelatsiooni, mis kõik on mõõdetud samast 400 punktist. Kõik alljärgnev on nende kolme arvu tehe — edasist juurdepääsu andmetele pole vaja, mis ongi asja kasulik pool.
  
  $r_{X Y} = - 0.8871, r_{X Z} = 0.9452, r_{Y Z} = - 0.9315$
2. Osakorrelatsioon küsib, mis jääb X–Y suhtest järele pärast seda, kui mõlema tegelikust väärtusest on lahutatud osa, mida selgitab Z. Valem kujutab endast kahe jäägi korrelatsiooni, mis on lahti kirjutatud algsete korrelatsioonide kaudu.
  
  $r_{X Y \cdot Z} = \frac{r _{X Y} - r _{X Z} r _{Y Z}}{( 1 - r _{X Z}^{2} ) ( 1 - r _{Y Z}^{2} )}$
3. Lugejas otsustatakse vastus. Z mõju X-le korrutatuna Z mõjuga Y-le moodustab 0,8805 vaadeldud 0,8871-st — korrelatsioon on vari, mitte signaal.
  
  $numerator = - 0.8871 - (0.9452) (- 0.9315) = - 0.8871 + 0.8805 = - 0.0066$
4. Nimetaja üksnes skaaleerib ümber. Pane tähele, et see tuletatakse dispersioonist, mida Z ei selgita, mistõttu teeb peaaegu kõike selgitav Z hinnangu ebastabiilseks.
  
  $denominator = 0.1066 \times 0.1323 = 0.1188 ⟹ r_{X Y \cdot Z} = - 0.055$
5. Lisame nüüd mõlemale veapiirid. Fisheri teisendus viib korrelatsiooni ligikaudu normaaljaotusse ning teguriga √(n−3) korrutamine annab kauguse nullist standardvigades. Osakorrelatsiooni puhul on teguriks √(n−4), sest muutuja Z peale on kulunud üks vabadusaste.
  
  $z = \frac{1}{2} ln \frac{1 + r}{1 - r} n - 3 - k : r = - 0.8871 (k = 0) \Rightarrow z = - 28.1; r = - 0.0553 (k = 1) \Rightarrow z = - 1.10$
6. Ligikaudseks kontrolliks on r standardviga nulli lähedal 1/√(n−3). Standardvea 0,050 juures asub osakorrelatsioon −0,055 nullist veidi enam kui ühe standardvea kaugusel.
  
  $SE (r) \approx \frac{1}{n - 3} = \frac{1}{397} = 0.050$
Vastus

Peaaegu mitte midagi ei jää alles: −0,0553. Kui teisendate mõlemad näitajad Fisheri z-ks, näete, et lihtkorrelatsioon asub nullist 28 standardvea kaugusel. Osakorrelatsiooni kaugus on aga vaid 1,1. See ongi vahe andmestiku kõige kindlama seose ja tulemuse vahel, mida juhuslik müra tekitaks igal neljandal korral. Sellega kaasneb kaks hoiatust. Valemi lugejas on kahe peaaegu võrdse arvu, 0,8871 ja 0,8805, vahe. Seega annavad neli sisestatud numbrit vastuses vaevalt kaks. Peale selle ei suuda pelk matemaatika öelda, kas Z on segav või hoopis vahendav muutuja. See teadmine tuleneb puhtalt arusaamast, mis Z on. Vahendava muutuja fikseerimine hävitab tegeliku seose täpselt sama põhjalikult, kui segava muutuja fikseerimine hävitab näilise.

$r_{X Y} = - 0.8871 ⟶ r_{X Y \cdot Z} = - 0.0553 28 σ ⟶ 1.1 σ$

Allikad (1)

Insight block 3 — Simpson's paradox in the case that made it famous: P. J. Bickel, E. A. Hammel and J. W. O'Connell, "Sex Bias in Graduate Admissions: Data from Berkeley." Science 187(4175), 398–404, 1975.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.