Juhuslik seeriakogum (seeriaparadoks)

miks pikad mündivisete seeriad on palju levinumad, kui arvad

Algväärtused — Juhuslik seeriakogum (seeriaparadoks)

Visked jada kohta (N)	100
Seeria pikkus (L)	6
Simulatsiooni katsed ℹ️	1000

Muuda ülal mõnda juhtelementi ja tulemused arvutatakse uuesti.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Ratas polnud see kummaline osa 🖖

18. augustil 1913 langes Monte Carlo kasiino rulett kakskümmend kuus korda järjest mustale ja ümber laua seisnud mängijad kaotasid varandusi – nad panustasid aina rohkem punasele, mis pidi ju tulema. Punane ei pidanud tulema. Iga keerutus maksis endiselt 18 kolmekümne seitsmest ja seeria ise oli lihtsalt harv: tõenäosus, et mingi kindel keerutus alustab kahekümne kuut musta, on umbes üks 137 miljonist. Nimi jäi külge – mängurieksitust nimetatakse siiani ka Monte Carlo eksituseks. Sea see tööriist 100 viskele ja kuuene seeria ilmub 80,7 % kordadest; mida ükski seadistus ei muuda, on järgmine vise.

Miks pikad seeriad on peaaegu kindlad 🖖

Kõhutunne ootab, et kull ja kiri vahelduksid korralikult, kuid juhus koondub kobaratesse. Pikim ühesuguste tulemuste seeria kasvab viskete arvuga — ligikaudu log₂(N). Viska ausat münti 100 korda ja kuue ühesuguse seeria ilmub sagedamini kui mitte. See tööriist näitab, kuidas see intuitsioon puruneb: suurenda N-i ja seeriakõver tõuseb järsult.

Kuidas tuvastada võltsitud mündiviskepäevik 🖖

Palu õpilastel salaja välja mõelda 200 mündiviset päris viskamise asemel, ja statistik tabab võltsingud tavaliselt ühe pilguga. Kes mõtleb välja "juhuslikke" jadasid, ei kirjuta peaaegu kunagi kuue või seitsme ühesuguse tulemuse seeriat, kuigi päris visked sisaldavad seda peaaegu alati. See katse (tuntuks teinud matemaatik Theodore Hill) näitab, et inimesed siluvad just neid kobaraid, mida tõeline juhus nõuab.

Ülesanne täielikult lahendatud

6 ühesugust tulemust järjest ausa mündi 100 viskest 5 sammu
Korrapärase mündi 100 viset ning küsimus on selles, kas kuskil neis esineb järjest 6 ühesugust tulemust. Loendage jadasid, mis pääsevad — kuid 2¹⁰⁰ jada ei loendata ju ühekaupa.
1. Jaotage jada maksimaalseteks seeriateks. 6-pikkusest seeriast pääsemine tähendab, et iga seeria pikkus on 5 või lühem, seega loendate viise avaldada 100 järjestatud summana arvudest 1 kuni 5, korrutatuna kahega, sest esimene vise võib olla kumb tahes külg. Tähistage see arv kui R(i): j-pikkune algusseeria jätab enda järel R(i − j) ning viis lubatud pikkust annavad viis liiget.
  
  $R (i) = R (i - 1) + R (i - 2) + R (i - 3) + R (i - 4) + R (i - 5), R (0) = 1$
2. Jagage arvu 2^N-ga, et loendite asemel töötada tõenäosustega, ja iga j-pikkune osa toob kaasa teguri 2^−j. Kõik alla 6 viske on iseenesest ohutu, seega q₁ kuni q₅ on 1 ning esimene tegelik väärtus on käsitsi kontrollitav: täpselt 2 kuueviskelisest 64 jadast koosnevad ühesugustest tulemustest, seega q₆ = 31/32.
  
  $q_{N} = \frac{2 R ( N )}{2 ^{N}} = j = 1 \sum 5 2^{- j} q_{N - j}, q_{6} = \frac{31}{32}$
3. Kuni 11 viskeni on olemas otsetee, sest kaks eraldi 6-pikkust seeriat vajavad kõrvuti mahtumiseks 12 viset. Sellest vähema puhul ei saa ükski jada sisaldada kahte seeriat, seega on seeria tõenäosus täpselt nende oodatav arv — 2/64 viskest 1 algava seeria korral ja 1/64 iga hilisema alguse korral, mis nõuab ka sellele eelneva viske erinevust. Kui N = 10, on see 6/64, seega q₁₀ = 29/32 = 0,90625 ilma midagi ümardamata.
  
  $1 - q_{N} = \frac{2}{64} + \frac{N - 6}{64} = \frac{N - 4}{64} (6 \leq N \leq 11)$
4. Pärast 11 viset sündmused kattuvad ja loendamise otsetee ei kehti enam, kuid rekurents stabiliseerub ühtlaseks geomeetriliseks kahanemiseks. Asendus q_N = Ax^N jätab viis 2x astet, mille summa on 1, ning geomeetrilise rea valem koondab need viis liiget üheks: y = 2 − y⁻⁵, kus y = 2x. Itereerides alates väärtusest y = 2, koondub see nelja sammuga — 1,968750, 1,966190, 1,965969, 1,965950 — väärtuseni y = 1,965948, seega x = 0,982974.
  
  $1 = j = 1 \sum 5 (2 x)^{- j} ⟹ y = 2 - y^{- 5}, y = 2 x = 1.965948$
5. Üheksakümmend viset eraldavad täpset ankurväärtust kohal N = 10 sihtväärtusest kohal N = 100. Geomeetriline kahanemine on kohal N = 10 vaevalt alanud, seega on see ligikaudne väärtus, kuid parandus hääbub piisavalt kiiresti, et taastada mõlemad kümnendkohad, mida tööriist oma täpsest rekurentseosest kuvab.
  
  $q_{100} \approx q_{10} x^{90} = 0.90625 \times 0.98297 4^{90} = 0.1932 ⟹ P = 0.8068$
Vastus

100-viskelistest jadadest pääseb 19,32%, seega tabeli 80,68% näitab, et 6-pikkune seeria on tavapärane tulemus, mitte kummaline. Arv, mis annab peamise õppetunni, on 0,982974: iga täiendav vise vähendab pääsemise võimalust 1,7% võrra, poolitades selle iga 40,4 viske järel. Arvutades tagurpidi, saavutatakse võrdsed võimalused 45 viske juures; edaspidi arvutades jääb 180 viske puhul puhtaks alla 5% jadadest. Täpse veeru kõrval olev simuleeritud veerg kujutab endast teistsugust tüüpi arvu. 80,68% sündmuse hinnang 1000 katse põhjal toob kaasa standardhälbe √(0,8068×0,1932/1000) = 1,25 protsendipunkti, seega muutub see katsete vahel rohkem kui terve punkti võrra ja isegi selle tööriista ülempiiri 10 000 katse juures on see ikka ±0,39 punkti. Täpse veeru teine kümnendkoht tähendab midagi, simuleeritud veeru oma aga mitte — mis on täpselt see, mida selle all olev z-rida mõõdab.

$\frac{ln 2}{- ln 0.982974} = 40.4, σ = \frac{0.8068 \times 0.1932}{1000} = 0.0125$

Allikad (2)

Insight block 3 — why a fabricated coin-flip log gives itself away: T. P. Hill, "The Difficulty of Faking Data." CHANCE 12(3), 27–31, 1999.
And the general result behind the tool: P. Diaconis and F. Mosteller, "Methods for Studying Coincidences." Journal of the American Statistical Association 84(408), 853–861, 1989 — why surprising runs are expected rather than remarkable.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-07-29

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Statistika & rahandus õppetunnid →

Näiteülesanded

100 viset, seeria pikkusega 6 - 100 mündiviske korral, otsides 6-pikkust kulli või kirja järjestikust seeriat, on täpne tõenäosus 80.7%. Enamik inimesi arvab, et 6 järjestikust tulemust on väga ebatavaline, kuid 100 viske puhul on see tegelikult tõenäolisem kui mitte!
50 viset, seeria pikkusega 5 - 50 viske korral on 5 järjestikust kulli või kirja seeria väga oodatav, esinedes loomulikult 82.1% tõenäosusega.
150 viset, seeria pikkusega 7 - 150 viske korral on 7 järjestikuse kulli või kirja seerial 69.7% tõenäosus. See näitab, kuidas klasterdumine muudab pikemates jadades identsete tulemuste seeriad vältimatuks.