Liitintressi uurija

kuidas eksponentsiaalne kasv lineaarset intuitsiooni edestab

Algväärtused — Liitintressi uurija

Põhikapital (P)	1000
Aastaintress (r)	7
Aeg (t)	30
Sihtmäärg (X)	10000
Arvestusrežiim	kuuline (n = 12)
Kohandatud perioodide arv aastas (n)	12
Näita pidevat intressipiiri	off
Näita valuutasümbolit	off

Muuda ülal mõnda juhtelementi ja tulemused arvutatakse uuesti.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Sagedasem intressi arvestamine annab iga kord vähem 🖖

Sagedasem kapitaliseerimine küll kasvatab lõppsummat, kuid iga järgmise sammuga üha vähem. Võtame eelseadistuse Aktsiaturg: 10 000 $ tootlusega 7% kolmekümne aasta jooksul. Aastase kapitaliseerimise korral koguneb 76 122,55 $, kvartaalse korral 80 191,83 $, kuise korral 81 164,97 $ ja päevase korral 81 645,26 $. Esimene samm lisab 4 069 $. Järgmine lisab 973 $, sellele järgnev 480 $. Kui minna tunnipõhiselt kapitaliseerimiselt üle pidevale kapitaliseerimisele, mida väljendab valem A = Pe^rt, lisandub vaid 69 senti. Peaaegu kogu võit tuleb üleminekust aastaselt kapitaliseerimiselt kvartaalsele.

Intress, mis teenib omaenda intressi 🖖

Liitintressi võlu peitub selles, et iga perioodi intress liidetakse jäägile, nii et järgmisel perioodil teenid intressi juba suuremalt summalt. See tagasiside paneb säästud kiirenema, mitte kasvama sirgjooneliselt. Kasulik rusikareegel on 72 reegel: jaga 72 aastase intressimääraga (protsentides), et hinnata, mitme aastaga sinu raha kahekordistub. 6% juures on see umbes 12 aastat.

Siin sündis arv e 🖖

Proovi arvestada $1 pealt 100% aastas. Aastase liitmisega saab sellest $2, kuise arvestusega umbes $2.61 ja igapäevasega ligikaudu $2.71. Mida sagedamini intressi liidad, seda lähemale jõuab tulemus väärtusele e ≈ 2.71828. Jacob Bernoulli komistas sellele piirväärtusele 1683. aastal liitintressi uurides — just sealt pärinebki konstant e.

LIITINTRESS — MILLINE KÜSIMUS JA KUMMALE POOLE SEE TÖÖTAB?

Millise liitintressi juhtumiga on tegemist?

Intress intressilt ongi kogu mõte ja see muudab sirge kõveraks: A = P(1 + r/n)^(nt) mitte P(1 + rt). Millises juhtumis te olete, sõltub küsimusest. Kui palju liitmine tegelikult juurde annab? Kui kaua kahekordistumiseni? Mis juhtub, kui seesama kõver on suunatud teie võla peale? Ja kui palju loeb tegelikult liitmise sagedus?

Tagasihoidlik määr pika aja jooksul — vahe lihtintressiga A = P(1 + r/n)^nt

Kui kaua kahekordistumiseni — ja miks 72 töötab t_2× ≈ 72 / r%

Sama kõver teie vastu — võlg kasvab täpselt samamoodi (1 + r/n)ⁿ − 1

Kui tihti liidetakse — ja miks vastus lakkab loomast n → ∞ ⇒ A = Pe^rt

Tagasihoidlik määr pika aja jooksul — vahe lihtintressiga

Mida te teate: Määr, mida hoiuselt päriselt saab, jäetuna aastakümneteks rahule. Võrrelge valemit A = P(1 + r/n)^(nt) lihtintressi sirgega P(1 + rt).

Valem: A = P(1 + r/n)^nt

Näidisarvutus: 5 000 määraga 4 %, liidetuna kuus, 20 aastat → 11 112,91 võrreldes 9 000-ga lihtintressi korral — liitmine on väärt 2 112,91

Ava see juhtum: turvaline säästmine

Tagasihoidlik määr pika aja jooksul — vahe lihtintressiga. Liitintressi kõver eraldub lihtintressi sirgest, alguses aeglaselt. Määr, mida hoiuselt päriselt saab, jäetuna aastakümneteks rahule. Võrrelge valemit A = P(1 + r/n)^(nt) lihtintressi sirgega P(1 + rt). — Liitintressi kõver eraldub lihtintressi sirgest, alguses aeglaselt.

Kui kaua kahekordistumiseni — ja miks 72 töötab

Mida te teate: Kõrgem määr pika aja peale. Tähtis ei ole aastane juurdekasv, vaid kahekordistumisaeg, mis sõltub ainult määrast, mitte algsummast.

Valem: t_2× ≈ 72 / r%

Näidisarvutus: 10 000 määraga 7 %, liidetuna kuus, kahekordistub iga 9,93 aasta järel, nii et 30 aastat annab veidi üle kolme kahekordistumise: 81 164,97 ehk 8,12 korda sissemakse

Ava see juhtum: aktsiaturu keskmine

Kui kaua kahekordistumiseni — ja miks 72 töötab. Iga kahekordistumine võtab needsamad 9,93 aastat, nii et kõver muutub järsemaks reeglit muutmata. Kõrgem määr pika aja peale. Tähtis ei ole aastane juurdekasv, vaid kahekordistumisaeg, mis sõltub ainult määrast, mitte algsummast. — Iga kahekordistumine võtab needsamad 9,93 aastat, nii et kõver muutub järsemaks reeglit muutmata.

Sama kõver teie vastu — võlg kasvab täpselt samamoodi

Mida te teate: Valem ei tea, kelle raha see on. Kõrge määra juures on kahekordistumisaeg lühike ja tasumata jäägid kasvavad nagu säästud.

Valem: (1 + r/n)ⁿ − 1

Näidisarvutus: 3 000 määraga 20 %, liidetuna kuus, 5 aastat → 8 087,91. Kahekordistumisaeg on 3,49 aastat ja tegelik aastamäär 21,94 %, mitte 20 %.

Ava see juhtum: krediitkaardivõlg

Sama kõver teie vastu — võlg kasvab täpselt samamoodi. Kõrge määr muudab sama kõvera kiiresti järsuks, ja siin kasvab see teie vastu. Valem ei tea, kelle raha see on. Kõrge määra juures on kahekordistumisaeg lühike ja tasumata jäägid kasvavad nagu säästud. — Kõrge määr muudab sama kõvera kiiresti järsuks, ja siin kasvab see teie vastu.

Kui tihti liidetakse — ja miks vastus lakkab loomast

Mida te teate: Suurem n tõstab tegelikku määra, aga kiiresti kahaneva tuluga. Igapäevasest liitmisest edasi olete pideva piiri A = Pe^(rt) ümardusvea sees.

Valem: n → ∞ ⇒ A = Pe^rt

Näidisarvutus: 1 000 määraga 7 % 30 aasta jooksul: 7 612,26 aastase liitmisega, 8 116,50 kuupõhise, 8 164,53 igapäevase ja 8 166,17 pideva liitmisega

Ava see juhtum: igapäevane intress

Kui tihti liidetakse — ja miks vastus lakkab loomast. Tegelik määr liitmise sageduse suhtes: peaaegu kogu võit on kuupõhise liitmisega käes. Suurem n tõstab tegelikku määra, aga kiiresti kahaneva tuluga. Igapäevasest liitmisest edasi olete pideva piiri A = Pe^(rt) ümardusvea sees. — Tegelik määr liitmise sageduse suhtes: peaaegu kogu võit on kuupõhise liitmisega käes.

Allikad (1)

Insight block 3 — where the limit turned up: J. Bernoulli, "Quaestiones nonnullae de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum." Acta Eruditorum, May 1690, 219–223 — the compound-interest question whose limit is e.

Ülesanded täielikult lahendatud

Ühe intressimäära protsendipunkti väärtus kolmekümne aasta jooksul 5 sammu
Kui palju on üks protsendipunkt intressimäära väärt kolmekümne aasta jooksul ja kuidas on see võrreldav sagedama intresside liitmisega? Tööriistas on P = 1 000 nominaalintressiga 7%, mida liidetakse igakuiselt 30 aasta jooksul, ning kõrvale on kantud pideva liitintressi piirjuhus.
1. Igakuine intresside liitmine jagab aastamäära kaheteistkümneks võrdseks osaks ja rakendab iga osa sellele, milleks jääk on juba kujunenud. Kolmkümmend aastat tähendab 360 sellist lõiku.
  
  $i = \frac{r}{n} = \frac{0.07}{12} = 0.0058 \overline{3}, N = n t = 12 \times 30 = 360$
2. Iga lõik korrutab jääki sama teguriga, seega on kogu kolmkümmend aastat see üks tegur astendated lõikude arvuga.
  
  $A = P (1 + i)^{N} = 1000 (1.0058 \overline{3})^{360} = 8116.50, I = A - P = 7116.50$
3. Pidev mudel asendab need 360 sammu piirväärtusega ning just selle versiooniga tasub töötada, sest seal esinevad intressimäär ja aeg ainult korrutisena rt. Kahe mudeli vaheline erinevus on kontrolliks, et ühe asendamine teisega ei muuda vastust.
  
  $A_{c} = P e^{r t} = 1000 e^{0.07 \times 30} = 8166.17, Δ = A_{c} - A = 49.67 (0.61%)$
4. Kui r muutub δ võrra, siis rt muutub tδ võrra, seega korrutatakse lõplik jääk teguriga e^tδ — teguriga, mille määrab üksnes ajahorisont ja milles puudub P. Täpse igakuise jäägi uuesti arvutamine määral 6% kontrollib, kas seda lihtsustust saab usaldada.
  
  $\frac{A ( r + δ )}{A ( r )} \approx e^{t δ} : e^{- 0.30} = 0.7408 vs \frac{1000 ( 1.005 ) ^{360}}{8116.50} = \frac{6022.58}{8116.50} = 0.7420$
5. Nüüd pööra küsimus teistpidi: milline intressimäära muutus oleks andnud sama raha, mille andis lõpmata sagedane intresside liitmine?
  
  $e^{t δ} = 1 + \frac{Δ}{A} ⟹ δ = \frac{ln ( 1.006120 )}{30} = \frac{0.006101}{30} = 2.03 \times 1 0^{- 4}$
Vastus

Lõppjääk ulatub 8 116,50-ni, millest 7 116,50 on intress, ja pidev piirväärtus asub sellest pisut kõrgemal, tasemel 8 166,17 — vahe on 49,67. See 49,67 on kogu võit lõpmata sagedase liitmise eest igakuise asemel ja see on intressimääras väärt umbes kaks sajandikku protsendipunktist. Intressimäära langetamine 6%-le läheb selle asemel maksma 2 093,92, mis on 42 korda rohkem, sest ajahorisont võimendab iga intressimäära muutust: t aasta jooksul skalveerib muutus δ jääki teguriga e^tδ, seega muudab kolmkümmend aastat väikese erinevuse r-is suureks erinevuseks rahas. Neljast siin määratavast arvust on intresside liitmise sagedus kõige vähem oluline — kolm sajandikku protsendipunkti intressimääras kaalub juba üles kogu hüppe igakuiselt liitmiselt pidevale.

$δ = \frac{ln ( 1 + Δ/ A )}{t} = 2.03 \times 1 0^{- 4} vs n : 12 \to \infty$
10 000 kasvatamine väärtuseni 81 164,97 üle 30 aasta 7% igakuise liitintressiga 7 sammu
Paneel teeb 10 000-st 30 aastaga 7% juures kuise liitmisega 81 164,97. Seda ei arvuta keegi peast, ja just seepärast tsiteerivad kõik hoopis 72 reeglit: raha kahekordistub umbes 72/7 ≈ 10,3 aastaga. Kust tuleb 72 — ja millal see valetab?
1. Alusta paneelil olevast arvust, sest kahekordistumise aeg on juba selle sees peidus.
  
  $A = P (1 + \frac{r}{n})^{n t} = 10000 (1 + \frac{0.07}{12})^{360} = 81 164.97, I = A - P = 71 164.97$
2. Jaga algsummaga ja küsi, mis kahe aste see on. Veidi üle kolme kahekordistumise kolmekümne aastaga, seega üks kahekordistumine võtab 9,9310 aastat — ja pane tähele, et põhisumma taandus. Just sellepärast ei küsi keegi kunagi, kui suure summaga sa alustasid.
  
  $\frac{A}{P} = 8.1165 = 2^{3.0209} ⟹ t_{2} = \frac{30}{3.0209} = 9.9310$
3. Tuleta see korralikult, mitte suhtarvust lugedes: pane jääk võrduma kahekordse põhisummaga ja lahenda. P taandub samal põhjusel ja tulemus langeb neljanda kohani kokku eelmise teega.
  
  $2 P = P (1 + \frac{r}{n})^{n t_{2}} ⟹ t_{2} = \frac{ln 2}{n ln ( 1 + r / n )} = \frac{0.693147}{12 ln ( 1.00583 3 )} = 9.9310$
4. Nüüd võrdle rahvatarkusega. 72 reegel on sõnastatud aastase liitmise jaoks, seega võta n = 1: täpne aeg on 10,2448 aastat ja reegel ütleb 10,2857. Viisteist päeva mööda, kümnendi peale.
  
  $n = 1 : t_{2} = \frac{ln 2}{ln 1.07} = 10.2448 \frac{72}{7} = 10.2857 Δ = 0.0409 (\approx 15 d)$
5. Kust siis 72 tuleb? Korruta kahekordistumise aeg protsentides intressiga ja r peaaegu taandub. Kui arendada logaritm teise liikmeni, ei jää üldse konstanti, vaid 69,31 koos väikese parandiga, mis kasvab koos intressiga.
  
  $100 r t_{2} = \frac{100 r ln 2}{ln ( 1 + r )} \approx \frac{100 r ln 2}{r ( 1 - \frac{r}{2} )} = \frac{69.31}{1 - \frac{r}{2}} \approx 69.31 (1 + \frac{r}{2})$
6. Arvuta see kolme intressi juures. Tõeline konstant liigub ülespoole, ja 72 on lihtsalt väärtus, millest see umbes 8% juures läbi käib — kompromiss, mis on tsentreeritud nendele intressidele, mille üle tegelikult vaieldakse.
  
  $r = 2% : 70.01 r = 8% : 72.05 r = 15% : 74.39$
7. Üks asi jääb seletamata: 69,31 ümardub 69-ks, ja madalate intresside juures on 70 tõele lähemal kui 72. Kumbki ei võitnud.
  
  $72 = 2^{3} \cdot 3^{2} \Rightarrow 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 7270 = 2 \cdot 5 \cdot 7 \Rightarrow 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70$
Vastus

Konstant ei ole konstant: see jookseb 70,0 juures 2%, 72,1 juures 8% ja 74,5 juures 15%, ja 72 on see, kus ta tüüpilise pikaajalise tootluse juures parasjagu asub. Põhjus, miks rahvatarkus valis selle täpsema 69,3 või 70 asemel, on aritmeetika, mitte analüüs. 72 = 2³·3², nii et see jagub puhtalt 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24 ja 36-ga; 70 = 2·5·7 ei jagu puhtalt peaaegu millegagi, mis intressijutus ette tuleks. Peastarvutamise reegel peab olema peas jagatav, ja see võitis täpsuse.

$t_{2} r_{%} \approx 69.31 (1 + \frac{r}{2}) : 70.0 (2%), 72.1 (8%), 74.5 (15%)$

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-08-17

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Statistika & rahandus õppetunnid →

Näiteülesanded

turvaline säästmine - Kui 5 000 $ kasvab tootlusega 4% ja intress kapitaliseeritakse kord kuus, on kahekümne aasta pärast kogunenud 11 112,91 $, pisut enam kui kahekordne algsumma. Pidev kapitaliseerimine lisaks sellele veel 14,79 $.
aktsiaturu keskmine - Kui 10 000 $ kasvab tootlusega 7% ja intress kapitaliseeritakse kord kuus, on kolmekümne aasta pärast kogunenud 81 164,97 $. See on algsummast kaheksa korda suurem, kuigi tootlusmäär kordagi ei muutunud.
krediitkaardivõlg - Kui 3 000 $ krediitkaardivõlale lisandub intressimääraga 20% kord kuus kapitaliseeritav intress, kasvab võlg viie aastaga 8 087,91 $-ni. Sama arvutus, mis kasvatab sääste, töötab sama jõuliselt sinu kahjuks.
igapäevane intress - Kui 1 000 $ kasvab tootlusega 7% ja intress kapitaliseeritakse iga päev, on kolmekümne aasta pärast kogunenud 8 164,53 $. Pideva kapitaliseerimise piirväärtusest 8 166,17 $ jääb puudu vaid 1,64 $. Päevane kapitaliseerimine on juba peaaegu sama mis pidev.