Monte Carlo Pi eksploraator

juhupunktid ja koondumiskäitumine

Näidisarvutus — Monte Carlo Pi eksploraator

Absoluutne viga	∣3.122000−3.141593∣≈1.959×10⁻²

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

miks viga kahaneb nii aeglaselt 🖖

Monte Carlo viga kahaneb võrdeliselt 1/√N-ga, mitte 1/N-ga — see tuleneb tsentraalsest piirteoreemist, kuna hinnang on N sõltumatu sees/väljas-mündiviske keskmine, mille hajuvus kahaneb 1/N võrra. See ruutjuur on kallis: ühe täiendava täpse kümnendkoha saamiseks on vaja umbes 100× rohkem punkte, mitte 10× — seetõttu võib punktipilv näida usutavalt ringikujuline juba ammu enne, kui kümnendkohad lakkavad kõikumast. See on ka põhjus, miks seda meetodit kasutatakse tegelikkuses harva ainult π arvutamiseks — see tasub end ära kõrgdimensioonilistel integraalidel, kus deterministlikud võrgumeetodid skaleeruvad dimensiooniga eksponentsiaalselt, aga Monte Carlo 1/√N kiirus ei sõltu dimensioonide arvust.

kindel väärtus puhtast juhusest 🖖

Imelik on see: π on kindel, täpne arv, ent see tööriist määrab selle üksnes juhuslikkuse abil. Iga üksik punkt langeb ettearvamatult, puhtast juhusest kas ringi sisse või välja. Kuid nende jooksev keskmine käitub taltsalt — suurte arvude seadus tagab, et punktide lisandudes settib mürarikas osakaal ühe püsiva väärtuse poole. Järeldus: juhuslikkusest saab massina keskmistatuna usaldusväärne mõõteriist.

nõel, mis sohki tegi 🖖

Ammu enne ekraanipunkte hindas Buffoni nõel (1777) π-d, lastes nõelu langeda ühtlaselt tõmmatud joontele — arvatavasti esimene Monte Carlo eksperiment. Aastal 1901 väitis Mario Lazzarini, et 3,408 viset annavad π = 3.1415929, täpne kuue kümnendkohani. Konks: see on täpselt 355/113, kuulus vana lähend, ja 3,408 on kahtlaselt just see visete arv, mida selle tabamiseks vaja — peaaegu kindlasti peatas ta katse hetkel, mil juhus sihtväärtusega kokku langes.

Ülesanne täielikult lahendatud

Hindamine, kas 3,122 on halb tulemus 2000 punkti põhjal 5 sammu
Kas 3,122 on halb tulemus? Vaikeolekus genereeritakse N = 2000 punkti seemnest 42, millest 1561 langevad veerandringi sisse. Arvutage enne hinnangu otsustamist välja, milline saanuks olla tavapärane punktide arv.
1. Iga punkt on üks katse, mis õnnestub, kui see langeb veerandringi sisse, ning kuna seda ümbritseva ruudu pindala on 1, on õnnestumise tõenäosus otse see pindala. Nende 2000 sõltumatu katse jooksul on õnnestumiste arv binoomjaotusega ja binoomjaotuse keskväärtus on katsete arv korrutatud tõenäosusega.
  
  $p = \frac{π /4}{1} = 0.7853982, E [N_{in}] = N p = 2000 \times 0.7853982 = 1570.80$
2. Nendesamast kahest arvust sõltub ka hajuvus. Vaadeldud punktide arv jääb ooteväärtusest alla kümne võrra maha, mis on vaevalt pool standardhälvet, seega on see algseeme tavapärane — mida tasub kindlaks teha enne, kui seda milleski süüdistama hakata.
  
  $σ_{N_{in}} = N p (1 - p) = 337.10 = 18.360, z = \frac{1561 - 1570.80}{18.360} = - 0.534$
3. Hinnang on punktide arv korrutatud fikseeritud konstandiga, mistõttu selle standardhälve on punktide arvu standardhälve korrutatud sama konstandiga. Siit tulebki tuttav 1/√N: punktide arvu hajuvus kasvab nagu √N, samal ajal kui jagamine toimub N-ga.
  
  $\overset{π}{^} = \frac{4 N _{in}}{N} ⟹ σ_{\overset{π}{^}} = \frac{4}{N} σ_{N_{in}} = \frac{4 \times 18.360}{2000} = 0.036720$
4. Kuvatud viga peab olema samamoodi 0,53 standardhälvet, sest konstandiga korrutamine ei saa muuta väärtust omaenda hajuvuse suhtes. See on üks fakt kahes mõõtühikus, mitte kaks eri fakti.
  
  $∣ \overset{π}{^} - π ∣ = ∣ 3.122000 - 3.141593 ∣ = 0.019593 = 0.534 σ_{\overset{π}{^}}$
5. Nüüd osa, mida ükski algseeme ei saa parandada. Neli korda täisarv jagatuna 2000-ga on alati 0,002 kordne ning π on irratsionaalarv, seega ei ole see kunagi üks neist — viga ei saa jõuda nullini ning lähim punkt, kuhu hindaja saab füüsikaliselt sattuda, on ühe sammu kaugusel võrgustikust.
  
  $\overset{π}{^} \in \frac{4}{2000} Z = 0.002 Z : k min \frac{4 k}{2000} - π = ∣ 3.142 - 3.141593 ∣ = 4.073 \times 1 0^{- 4}$
Vastus

Tööriist kuvab sisse jäänud punktide arvuks 1561, hinnanguks 3,122000 ja veaks 1,959 × 10⁻² võrreldes väärtusega 3,141593. Tüüpiline viga N = 2000 korral on 0,0367, seega on see tulemus pigem keskmisest parem kui halvem ning umbes kolm algseemet viiest annaks halvema tulemuse kui 42. Sammu 5 alampiir on 4,073 × 10⁻⁴: ükski algseeme selle N juures ei saa seda ületada, sest miski, mida valem saab väljastada, ei asu väärtusele π lähemale. See on 90 korda väiksem kui tüüpiline viga, nii et diskreetne samm pole kaugeltki piirav tegur ning see vahe pigem suureneb koos N-ga kui väheneb — alampiir kahaneb nagu 1/N, samal ajal kui juhuslik viga kahaneb vaid nagu 1/√N. See lükkab ümber ka väite, mida selle meetodi kohta sageli kohtate: kuus täpset komakohta paari tuhande katsega ei ole mitte õnnelik juhus, vaid arvuomaduste tõttu kättesaamatu tulemus, sest N = 2000 korral ei ole miski, mida hindaja annab, täpne isegi neljanda komakohani.

$σ_{\overset{π}{^}} = \frac{4 p ( 1 - p )}{N} = \frac{1.6422}{N} vs δ_{m i n} \leq \frac{2}{N}$

Allikad (1)

Lazzarini's 3,408 tosses and why 355/113 gave him away: L. Badger, "Lazzarini's Lucky Approximation of π." Mathematics Magazine 67(2), 83–91, 1994.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-08-17

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Statistika & rahandus õppetunnid →

Näiteülesanded

väike N - Väike valimi suurus annab suure hajuvusega hinnangu.
keskmine N - Kuna 2000 punktist langeb veerandringi sisse 1561, on hinnang 3,122000 ja viga 1,959×10⁻². Algväärtus on fikseeritud. Siia vajutades saad seega iga kord needsamad 1561 punkti. Veagraafikul nähtav liikumine peegeldab hinnangu stabiliseerumist punktide kogunedes, mitte seda, et tööriist veeretaks uusi täringuid.
suur N - Suurem valimi suurus koondab hinnangu tihedamalt pi ümber.