Järjekorrateooria simulaator (M/M/1)

L = ρ/(1−ρ) ei kasva sujuvalt — tal on vertikaalne asümptoot kohas ρ = 1, nii et kasutusastme kasvades 90%-lt 99%-le hüppab keskmine järjekorra pikkus 9 inimeselt 99-le, ja täpselt maksimumkoormusel on see piiramatu. See ongi 'roo-kalju': 80% kasutusastmega järjekord tundub peaaegu samasugune kui 85%-ga, aga vii see 95%-ni ja ooteajad paisuvad hüppeliselt, sest W = 1/(μ−λ) omab sama singulaarsust — nimetaja kahaneb nulli lähedale, mitte lugeja ei kasva. Sellepärast on tõelised süsteemid, nagu kõnekeskused ja haiglate erakorralise meditsiini osakonnad, teadlikult üle dimensioonitud tublisti alla 100% kasutusastme: see näiliselt 'raisatud' vaba jõudlusvaru ülemises otsas hoiabki sind kaljust eemal.

M/M/1 puhul tähistavad kaks M-i „markovilikku": saabumised toimuvad juhuslikult (Poissoni jaotus) ja teenindusajad kõiguvad juhuslikult (eksponentjaotus), ühe teenindaja kaudu. Tuum on üllatav — järjekord võib tekkida ka siis, kui teenindaja on keskmiselt kiirem, kui kliente saabub. Kui kõik saabuksid nagu kellavärk ja iga töö kestaks ühepalju, ei tekiks varuga teenindajal kunagi järjekorda. Ootamine tuleneb muutlikkusest, mitte ülekoormusest. Sea λ tublisti alla μ ja ikkagi vilgub järjekord aeg-ajalt.

Siin näidatud L ja W ei ole sõltumatud — nad rahuldavad L = λW ning samuti Lq = λWq. Hämmastav on, kui vähe see seos eeldab: John Little tõestas 1961. aastal, et see kehtib peaaegu iga stabiilse järjekorra korral statsionaarses olekus, olenemata saabumis- ja teenindusjaotustest, teenindajate arvust ja klientide teenindamise järjekorrast. Sama seos valitseb haiglapalatit, tehase pooleliolevat toodangut ja poe laoseisu: keskmine sisu võrdub saabumismäära korda keskmine viibimisaeg.