Järjekorrateooria simulaator (M/M/1)

saabumis-/teenindussagedused ja järjekorra stabiilsus

Näidisarvutus — Järjekorrateooria simulaator (M/M/1)

L (süsteemis)	3.000
Lq (järjekorras)	2.250
W (ooteaeg, süsteem)	1.000
Wq (ooteaeg, järjekord)	0.750
Kasutusaste (ρ)	0.750

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

roo-kalju 🖖

L = ρ/(1−ρ) ei kasva sujuvalt — tal on vertikaalne asümptoot kohas ρ = 1, nii et kasutusastme kasvades 90%-lt 99%-le hüppab keskmine järjekorra pikkus 9 inimeselt 99-le, ja täpselt maksimumkoormusel on see piiramatu. See ongi 'roo-kalju': 80% kasutusastmega järjekord tundub peaaegu samasugune kui 85%-ga, aga vii see 95%-ni ja ooteajad paisuvad hüppeliselt, sest W = 1/(μ−λ) omab sama singulaarsust — nimetaja kahaneb nulli lähedale, mitte lugeja ei kasva. Sellepärast on tõelised süsteemid, nagu kõnekeskused ja haiglate erakorralise meditsiini osakonnad, teadlikult üle dimensioonitud tublisti alla 100% kasutusastme: see näiliselt 'raisatud' vaba jõudlusvaru ülemises otsas hoiabki sind kaljust eemal.

juhuslikkus tekitab järjekorra 🖖

M/M/1 puhul tähistavad kaks M-i „markovilikku": saabumised toimuvad juhuslikult (Poissoni jaotus) ja teenindusajad kõiguvad juhuslikult (eksponentjaotus), ühe teenindaja kaudu. Tuum on üllatav — järjekord võib tekkida ka siis, kui teenindaja on keskmiselt kiirem, kui kliente saabub. Kui kõik saabuksid nagu kellavärk ja iga töö kestaks ühepalju, ei tekiks varuga teenindajal kunagi järjekorda. Ootamine tuleneb muutlikkusest, mitte ülekoormusest. Sea λ tublisti alla μ ja ikkagi vilgub järjekord aeg-ajalt.

Little'i seadus ei nõua peaaegu midagi 🖖

Siin näidatud L ja W ei ole sõltumatud: nad rahuldavad seost L = λW ja samamoodi Lq = λWq. See samasus ei tee peaaegu mingeid eeldusi. John Little tõestas 1961. aastal, et seos kehtib mis tahes stabiilse, püsiseisundis oleva järjekorra puhul, sõltumata saabumiste või teenindusaegade jaotusest, teenindajate arvust ja klientide teenindamise järjekorrast. Sama seaduspära juhib haiglapalatit, tehase lõpetamata toodangut ja kaupluse laoseisu: keskmine kogus võrdub saabumiste intensiivsuse ja sees viibitud keskmise aja korrutisega.

Ülesanne täielikult lahendatud

Järjekord 3 saabumisega tunnis ja 20% tõus 5 sammu
Kliendid saabuvad sagedusega 3 tunnis ja teenindaja teenindab 4 tunnis. Teenindaja on vaba veerandi ajast, mis kõlab muretult. Arvutage, millise järjekorra see tekitab — ja mida teeb sellega saabumiste 20% tõus.
1. Ahel on tasakaalus: igasse olekusse sisenemise kiirus võrdub sealt väljumise kiirusega, mis annab Pₙ = (1 − ρ)ρⁿ — geomeetrilise jaotuse järjekorra pikkusele, kus ρ on osa ajast, mil teenindaja on hõivatud. Siin ρ = 0,75.
  
  $P_{n} = (1 - ρ) ρ^{n}, ρ = \frac{λ}{μ} = \frac{3}{4} = 0.750$
2. Selle jaotuse keskväärtus on ρ/(1 − ρ). Vaadake, mis on nimetajas: mitte vabavõimsus klientides tunnis, vaid vaba osa. Süsteemis on keskmiselt kolm inimest teenindaja puhul, kes on vaba veerandi päevast.
  
  $L = n \geq 0 \sum n P_{n} = \frac{ρ}{1 - ρ} = \frac{0.750}{0.250} = 3.000$
3. Lahutage see üks, keda parajasti teenindatakse — kes viibib kohal tõenäosusega ρ —, ja ootama jääb 2,25.
  
  $L_{q} = L - ρ = 3.000 - 0.750 = 2.250$
4. Little'i seadus teisendab kogumi ajaks ega vaja üldse eeldusi jaotuse kohta: keskmine arv süsteemis on saabumiskiiruse ja seal veedetud keskmise aja korrutis. Üks tund süsteemis, sellest 45 minutit järjekorras, töö puhul, mille tegemine võtab 15 minutit.
  
  $W = \frac{L}{λ} = \frac{3.000}{3} = 1.000, W_{q} = \frac{L _{q}}{λ} = 0.750$
5. Nüüd tõstke λ väärtuseni 3,6. Koormatus tõuseb väärtuselt 0,75 väärtuseni 0,90 — 20% rohkem tööd — ning ρ/(1 − ρ) suureneb 3-lt 9-le.
  
  $λ = 3.6 : ρ = 0.90, L = 9; λ = 3.96 : ρ = 0.99, L = 99$
Vastus

Tööriist kuvab L = 3,000, L_q = 2,250, W = 1,000, W_q = 0,750 koormatusel 75%. Õppetund peitub avaldise ρ/(1 − ρ) nimetajas: järjekorra pikkust ei määra mitte see, kui palju vabavõimsust teil on, vaid see, kui palju seda on järel suhtarvuna, ja just seda murdosa te kulutate koormuse lisamisel. Kahekümne protsendi võrra rohkem saabumisi kolmekordistab järjekorra. Veel 10% lisaks — ρ = 0,99 — kasvatab selle väärtuseni 99. Seetõttu kukuvadki haiglad, kiirteed ja kettakontrollerid suure koormatuse korral kokku, selle asemel et sujuvalt aeglustuda, ning miks „oleme vaid 90% võimsuse juures“ ei ole see rahustav sõnum, millisena see kõlab.

$L = \frac{ρ}{1 - ρ} blows up at ρ = 1 : + 20% λ ⟹ \times 3 queue$

Allikad (1)

Insight block 3 — how little L = λW assumes: J. D. C. Little, "A Proof for the Queuing Formula: L = λW." Operations Research 9(3), 383–387, 1961.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-07-29

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Statistika & rahandus õppetunnid →

Näiteülesanded

väike koormus - Madal koormus hoiab järjekorra ja viivituse väiksena.
suur koormus - λ = 3,8 ja μ = 4: server on jõude ühe ajaühiku kahekümnest, ent süsteemis viibib keskmiselt siiski 19,000 klienti, kellest 18,050 on teenindamise asemel järjekorras ja peab läbipääsuks ootama 5,000 ajaühikut. Kergita λ-t kümnendiku võrra ja L, Lq ning W umbes kahekordistuvad. Siin annab tunda asümptoodi ρ = 1 tõmme.
ebastabiilne - Koormus üle 1 muudab järjekorra ebastabiilseks.