Tõus ja kuvasuhe

Kaks paneeli, üks andmerida. Vasakpoolse telg algab nullist, parempoolne on lõigatud andmete järgi. Muuda kõrgust ja jälgi, kuidas mõlemad nurgad muutuvad, kuigi arvud püsivad täpselt paigal.

Näidisarvutus — Tõus ja kuvasuhe

Keskmine nurk nullist	6,1°
Keskmine nurk, lõigatud	27,4°
Kõrgus 45° nurga jaoks	469 px 351 px laiuse kohta

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Üks hulk arve, kaks erinevat pilti 🖖

Mõlemal paneelil on joonistatud samad kaksteist arvu. Vasakpoolse telg algab nullist, parempoolne on lõigatud andmete järgi ning nende kohale trükitud kaks nurka erinevad teineteisest märgatavalt. Lohista kõrguse liugurit ja vaata, kuidas need koos muutuvad, samas kui arvud nende all jäävad täpselt samaks. See ongi kogu asja tuum: järskus ei peitu andmetes. Selle määravad y-telje ulatus ja kasti kuju. Mõlemad valis diagrammi joonistaja. Seega, kui keegi ütleb, et joonis näitab järsku tõusu, kirjeldab ta tegelikult telge. Alltoodud lahendatud ülesanne kinnitab seda täpsete arvudega 600 × 300 suurusel kastil, kus sama joon saab nurga 20,1° või 3,1° sõltuvalt ainult sellest, kust telg algab.

Kaks hooba, mis tühistavad teineteist täpselt 🖖

Nurk allub ühele valemile: tan θ = tõus × (piksleid y-ühiku kohta) ÷ (piksleid x-ühiku kohta). See jätab autorile kaks hooba, mis tasakaalustavad teineteist täpselt. Kui vähendad y-telje ulatust ja kasti kõrgust poole võrra, tuleb joon täpselt sama nurgaga üheksa komakoha täpsusega. See tähendab, et skaleerimata diagrammi pole olemas. Iga kunagi loodud joondiagramm on selle valiku teinud. Enamik neist lihtsalt ei öelnud seda sulle.

Kaitstav vastus on olemas, aga see tundub vale 🖖

Kuna silm hindab pigem nurki kui tõuse, suudab see üht järskust teisest kõige paremini eristada siis, kui lõigud asuvad 45° lähedal. Kuvasuhte valimist nii, et tüüpiline lõik asetseks just seal, nimetatakse 45° peale seadmiseks. See on pigem matemaatika kui maitse küsimus. Vajuta nuppu ja tööriist arvutab sinu paneeli kõrguse ning trükib kasutatud laiuse. Kohandatud kõrgus ei tähenda iseenesest midagi, sest tegelikult valitakse suhtarv. 600 piksli laiusel tahab see andmerida saada 818 pikslit kõrgust. See on laiusest kõrgem kuju, mida keegi vaistu põhjal ei joonistaks, ometi on see nende andmete jaoks aus vorm. Oskus seda arvu arvutada muudab juhise "vali mõistlik kuvasuhe" millekski selliseks, mida saab kontrollida.

Ülesanded täielikult lahendatud

Sirge nurk, mis tõuseb üle 12 punkti 2 ühikut sammu kohta 7 sammu
Diagramm on 600 px lai ja 300 px kõrge, selle y-telg ulatub 95 kuni 125 ning joon tõuseb 12 punkti jooksul iga sammuga 2 ühikut. Millise nurgaga see tegelikult joonistatud on?
1. Arvutame piksleid ühiku kohta. Kaksteist punkti moodustavad 600 piksli peale üksteist vahet ja 30-ühikuline telg on jaotatud 300 pikslile.
  
  $\frac{600}{11} = 54.55 \frac{300}{30} = 10$
2. 2 andmeühiku pikkune samm on seega 20 pikslit üles ja 54,5 pikslit horisontaalsuunas.
  
  $tan θ = \frac{2 \times 10}{54.55} = \frac{20}{54.55} = 0.3667$
3. See ongi nurk. Nüüd ava telg vahemikuni 0–200 ja ära muuda midagi muud. Vertikaalne skaala langeb 1,5 piksli peale ühiku kohta. Seega on sama samm nüüd 20 piksli asemel 3 pikslit.
  
  $θ = arctan 0.3667 = 20. 1^{\circ}$
4. 20,1° pealt 3,1° peale täpselt samade kaheteistkümne arvuga. Igaüks, kes kirjeldab esimest diagrammi kui järsku tõusu ja teist kui lamedat, räägib tegelikult teljest.
  
  $\frac{300}{200} = 1.5 \Rightarrow tan θ = \frac{3}{54.55} \Rightarrow θ = 3. 1^{\circ}$
5. Nüüd aga kontroll, mis näitab, et need kaks hooba on tegelikult üks. Vähenda ulatust poole võrra 15 ühikuni ja kõrgust 150 pikslini. Pikslite arv ühiku kohta jääb samaks, mistõttu peab ka nurk samaks jääma.
  
  $\frac{150}{15} = 10 = \frac{300}{30}$
6. 45° peale seadmine küsib vastupidist. Milline kõrgus seab tüüpilise lõigu 45° juurde, kus tan θ = 1 ja silm võrdleb tõuse kõige paremini? Võrdsusta vertikaalne samm pikslites horisontaalse sammuga ja leia sellest kõrgus.
  
  $tan θ = 1 \Rightarrow 2 \cdot \frac{H}{30} = 54.55$
7. 818 pikslit kõrgust 600 piksli laiuse kohta. See on kuju, mida need andmed vajavad, ja sellist ei joonista keegi puhtalt vaistu pealt. See ongi põhjus, miks tuleks kuju arvutada, mitte silma järgi hinnata.
  
  $H = \frac{54.55 \times 30}{2} = 818$
Vastus

20,1° ja see oleks võinud sama ausalt olla ka 3,1°. Nurga määravad telje ulatus ja kast ning need kaks tühistavad teineteist täpselt. Seega pole ükski diagramm skaleerimata. 45° peale seadmine annab sellele andmereale kaitstava vastuse: 818 pikslit kõrgust 600-pikslise laiuse kohta.
Tõus ja langus suhtega 3 : 1 ning kuju, mis selle välja toob 7 sammu
Vajuta Aeglane tõus, kiire langus. Rida tõuseb kuue sammuga ja kukub kahega tagasi ning vaikimisi kujul näevad mõlemad haarad üsna ühesugused välja. Leia kõrgus, mis muudab nad kõige erinevamaks, ja otsusta siis, kas tööriista enda nupp Sea parem paneel 45° peale selle sulle annab.
1. Loe arvud maha, enne kui pilti vaatad. Seitseteist punkti, kuusteist sammu ja neist kogu reas ainult kaks eri liiki: tõus 5 võrra kaksteist korda ja langus 15 võrra neli korda. Muud neis andmetes ei ole.
  
  $100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 115, 100, \dots \Rightarrow + 5 (\times 12), - 15 (\times 4)$
2. Mediaansamm on seega 5 ja kahe haara suhe on täpselt 3. See suhe on arvude omadus ning ükski külgede suhe ei puutu sellesse. Just seepärast võib pilt selle kohta vabalt valetada.
  
  $median ∣ slope ∣ = 5, \frac{∣ - 15∣}{5} = 3 at every aspect ratio$
3. Anna mediaanlõigule tõus pikslites ja nimeta see s-iks. Järsem haar on siis 3s ning nurgad, mida sa tegelikult näed, on nende arkustangensid. Kogu küsimus on selles, milline s valida.
  
  $θ_{↑} = arctan s, θ_{↓} = arctan 3 s (s = median pixel slope)$
4. 45° peale seadmine valib s = 1 ja täpselt seda nupp teebki: ta skaleerib kõrgust, kuni mediaanlõik on 45° all. Tõusuhaar satub 45,000° peale ja langus 71,565° peale, nende vahe on 26,565°.
  
  $s = 1 : 45.00 0^{\circ} and 71.56 5^{\circ}, Δ θ = 26.56 5^{\circ}$
5. Aga vahe ei olnudki see, mida nupp maksimeeris, nii et küsi seda otse. Diferentseeri kahe nurga vahe ja võrdsusta nulliga. 3s ja s tõmbavad teineteise vastu, algebra taandub üheks ruutvõrrandiks ja vastus on 1/√3.
  
  $\frac{d}{d s} (arctan 3 s - arctan s) = \frac{3}{1 + 9 s ^{2}} - \frac{1}{1 + s ^{2}} = 0 ⟹ s^{*} = \frac{1}{3}$
6. Sellise kuju juures tulevad haarad 30° ja 60° peale ning vahe on 30,000°. See on kolm ja pool kraadi rohkem, kui annab nupu valitud kuju, ja seda kastiga, mille kõrgus on veidi üle poole sellest.
  
  $s^{*} = 0.5774 : 30.00 0^{\circ} and 60.00 0^{\circ}, Δ θ = 30.00 0^{\circ}$
7. Kaks vastust on teineteise täiendid ja see ei ole arvu 3 juhus. Kõige paremini eristuv paar paikneb alati sümmeetriliselt 45° suhtes, mis tähendab, et 45° juurde kuulub kahe tõusu geomeetriline keskmine. Clevelandi reegel on seesama väide rea kohta, mille tõusud on kõik ühesuurused.
  
  $arctan \frac{1}{r} + arctan r = 9 0^{\circ}, s^{*} \cdot 3 s^{*} = 1$
Vastus

30° ja 60°, 0,577 korda nupu antud kõrgusest. Ükskõik millise arvu kaart Kõrgus 45° nurga jaoks sinu paneelile annab, korruta see 0,577-ga ja selle rea asümmeetria on nii hästi näha, kui olla saab.

Nupu vaikevalik on ikkagi õige ja see lõik ei ole tema vastu argument. See maksimeerib, kui hästi silm suudab terve tõusude hulga seast ühte teisest eristada, võttes tüüpilise juhu asemikuks mediaani, ja paljude erinevate tõusudega rea puhul on see täiesti õige tegu. Siin reas on tõuse kaks. Kui andmestikus on vaid mõni üksik eri tõus ja küsimus on selles, kas need erinevad, siis ei asenda mediaan enam midagi ja loeb hoopis geomeetriline keskmine: √(5 × 15), mitte 5.

Seda tasub teada, sest just sellise kujuga on rida, mis selle reegli kuulsaks tegi. Kõrgeks joonistatuna näeb päikeseplekkide rida välja nagu rida sümmeetrilisi küüruid; madalaks ja laiaks joonistatuna, nagu Cleveland seda tegi, on tsüklid tõusul selgelt järsemad kui langusel. Kogu vahe tegi külgede suhe. Ülaltoodud arvutus ütleb, kui madalaks minna, ja ütleb ka seda, et kui real on kaks tõusu paljude asemel, on aus vastus veelgi madalam kui reegel, mille ta kirja pani.

$H^{*} = \frac{H _{banked}}{r} : r = 3 \Rightarrow 0.577 H_{banked}$

Allikad (2)

Banking to 45 degrees: the aspect ratio the tool computes, and why that angle Cleveland, W. S., McGill, M. E. and McGill, R. (1988). The Shape Parameter of a Two-Variable Graph. Journal of the American Statistical Association, 83(402), 289–300. doi:10.1080/01621459.1988.10478598
Where the perceptual claim underneath it comes from Cleveland, W. S. (1993). Visualizing Data. Hobart Press. — on judging slope, and on aspect ratio as a parameter of the display rather than of the data.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-09-03

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Statistika & rahandus õppetunnid →

Näiteülesanded

Ühtlane tõus - Täiesti sirge joon, mis tõuseb igal sammul 2 võrra. Andmete järgi kärbitud vaates paistab selle tõus peaaegu viis korda järsem kui nullist algavas vaates. Arvud on samad 12, kuid vaateakna suuruse muutmisel muutuvad mõlemad nurgad.
Lame, müraga - Siin ei toimu suurt midagi. Väärtused rändavad nelja ühiku laiuses vahemikus. Nullist joonistatuna tundub joon lame. Andmete enda ulatuseni lõigatuna täidab seesama rändamine kogu paneeli ja jätab mulje tõusust. Nende kahe nurga näidud ei ole isegi ligilähedased. Kumbki nurk ei iseloomusta andmeid, vaid mõlemad sõltuvad paneeli laiusest.
Aeglane tõus, kiire langus - See joon tõuseb tõepoolest aeglaselt ja langeb kiiresti, täpselt suhtes kolm ühele. Kui palju kiirem langus paistab, sõltub raamist: suru see lapikuks ja langus näib kolm korda järsem; kalluta see 45°-ni ja sama langus näib 1,6 korda järsem. Asümmeetria on tegelik, kuid selle suurust väljendav arv sõltub vaatest.