Explorateur du rayonnement du corps noir

Ajuste la température pour voir comment la forme et la longueur d'onde du pic de l'émission thermique évoluent.

Exemple résolu — Explorateur du rayonnement du corps noir

Longueur d'onde du pic de Wien	502.04 nm
Bande spectrale du pic	Visible

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Explorateur du rayonnement du corps noir

La loi de Planck donne la brillance qu'un émetteur thermique parfait produit à chaque longueur d'onde, à partir d'un seul nombre : sa température. Elle vaut d'être connue non seulement parce qu'elle est juste, mais parce que l'établir a contraint la physique à admettre que l'énergie vient par paquets discrets — c'est sur cette courbe que le quantum a commencé.

Ce que signifie chaque symbole

B(λ, T): la luminance spectrale — brillance par unité de longueur d'onde. Le tracé de cette page n'en montre que la forme ; l'affichage ne donne aucune valeur de luminance.
λ_max: la longueur d'onde du pic, le seul nombre qu'affiche cette page : 502.04 nm à 5772 K, 241.48 nm à 12000 K, 9659.24 nm à 300 K.
h: la constante de Planck. Mettez-la à zéro et la loi retombe sur la prédiction classique qui a échoué.
k_B T: l'échelle d'énergie thermique. Une longueur d'onde est brillante quand son photon coûte moins que cela, et sombre quand il coûte beaucoup plus.

D’où vient la formule

Comptez les façons dont la lumière peut vibrer dans une boîte chaude. Les courtes longueurs d'onde y tiennent de bien plus de façons que les longues — le compte croît comme 1/λ⁴. La physique classique attribue alors à chacune la même énergie moyenne, k_B T.
Cette prédiction est un désastre. Sans longueur d'onde minimale, l'énergie totale rayonnée est infinie : tout objet chaud, vous compris, inonderait la pièce d'ultraviolet. C'est la catastrophe ultraviolette, et ce n'était pas une erreur d'arrondi mais une contradiction frontale avec le fait que les objets chauds restent tranquillement là.
La réparation de Planck : une vibration de fréquence ν ne peut porter d'énergie qu'en multiples entiers de hν. Courte longueur d'onde signifie grand hν, donc lorsque hν dépasse largement k_B T, l'énergie thermique ne suffit même pas à acheter un seul paquet et ce mode reste éteint.
C'est le e^(hc/λk_B T) − 1 au dénominateur de la loi. Il supprime exponentiellement les courtes longueurs d'onde, et c'est ce qui fait que la courbe rebrousse au lieu de monter sans fin — et une courbe qui rebrousse possède un maximum. Dérivez pour le trouver et vous obtenez la longueur d'onde qu'affiche cette page.

Comment lire ce que vous voyez

La courbe est tracée normalisée à son propre maximum : sa hauteur ne porte donc aucune information — toute température atteint le haut du cadre. Seules la forme et la position du pic ont ici un sens. En réalité un corps plus chaud est plus brillant à toutes les longueurs d'onde, et pas simplement plus bleu ; cette différence est délibérément invisible sur ce tracé.

Suppose: Un corps en équilibre thermique à une seule température bien définie, opaque, absorbant tout ce qui l'atteint et ne réfléchissant rien. Les surfaces réelles restent en deçà d'un facteur appelé émissivité, qui abaisse toute la courbe sans changer ni sa forme ni son pic.
Ne tient plus quand: La loi de Planck ne décrit que l'émission thermique. Un tube fluorescent, une enseigne au néon et un laser produisent de la lumière sans être chauds, et leurs spectres sont des raies étroites qu'aucune température ne fait approcher par cette courbe. La page montre aussi une limite plus discrète : chargez le préréglage à température ambiante et le pic passe à 9659.24 nm, bien au-delà du bord droit, si bien que le tracé ne dessine plus aucun repère de pic. La physique est inchangée ; la fenêtre est seulement trop étroite.

Le maximum du Soleil est vert 🖖

Chargez le préréglage Soleil : l'outil annonce un maximum à 502 nm et colore sa pastille en vert, car 502 nm est de la lumière verte. Pourtant la lumière du Soleil est blanche. Un maximum est une seule longueur d'onde, alors que votre œil somme la courbe entière, et un spectre de Planck à 5772 K fournit largement de rouge et de bleu de part et d'autre de ce maximum — leur moyenne donne du blanc. La pastille est honnête sur le maximum et trompeuse sur l'étoile. À garder en tête : sur les quatre préréglages, seul le maximum du Soleil tombe dans la bande visible ; le filament est à 1035 nm dans l'infrarouge et l'étoile à 12 000 K à 241 nm dans l'ultraviolet.

Pourquoi tout ce qui est chaud rayonne 🖖

Tout corps dont la température dépasse le zéro absolu émet un rayonnement. Cet outil en montre la loi fondamentale : la forme du spectre d’un corps noir dépend uniquement de sa température, jamais de sa composition. Un morceau de fer et une étoile lointaine portés à la même température produisent exactement la même courbe. La couleur sert de thermomètre : en passant du rouge incandescent au blanc bleuté, vous lisez directement la température dans la lumière émise.

L'univers est le corps noir parfait 🖖

Le corps noir le plus parfait jamais mesuré ne se trouve dans aucun laboratoire : c'est le ciel tout entier. Le fond diffus cosmologique, vestige d'environ 380 000 ans après le Big Bang, suit un spectre de Planck à T = 2.725 K à mieux que 0.01%, avec un pic proche de 1.06×10⁻³ m dans le domaine micro-onde. L'instrument FIRAS de la NASA n'a trouvé aucun écart supérieur à quelques parties par 10⁵ : la plus ancienne lumière de la cosmologie est aussi la courbe thermique la plus pure de la physique.

Problème entièrement résolu

Constante de Wien d'après la loi de Planck pour une surface à 5772 K 6 étapes
La lumière du Soleil provient d'une surface à 5772 K. Déduisez la constante de Wien de la loi de Planck plutôt que de la chercher dans une table, trouvez la longueur d'onde du maximum d'émission, puis obtenez la puissance totale du Soleil à partir de ces deux mêmes nombres.
1. La loi de Planck donne l'intensité par unité de longueur d'onde. Le maximum se situe là où sa dérivée s'annule, il faut donc dériver — et le résultat ne sera pas une équation ordinaire.
  
  $B_{λ} (T) = \frac{2 h c ^{2}}{λ ^{5}} \frac{1}{e ^{h c / λk T} - 1}, \frac{\partial B _{λ}}{\partial λ} = 0$
2. En posant la grandeur adimensionnelle x = hc/λkT, la dérivée se réduit à une équation transcendante ne possédant pas de racine sous forme explicite. L'itération à partir de x = 5 converge en quelques étapes.
  
  $x = \frac{h c}{λk T} : x = 5 (1 - e^{- x}) ⟹ x = 4.9651$
3. Puisque x est un nombre purement adimensionnel, le produit λT est une constante formée uniquement de h, c et k. C'est la raison même de l'existence de la constante de déplacement de Wien : aucune propriété de l'objet ne subsiste après le calcul algébrique.
  
  $b = \frac{h c}{4.9651 k} = \frac{1.9864 \times 1 0 ^{- 25}}{6.8555 \times 1 0 ^{- 23}} = 2.8978 \times 1 0^{- 3} m K$
4. Divisez par la température. 502 nm correspond au vert, ce qui mérite qu'on s'y arrête : le pic d'émission du Soleil se situe dans le vert alors qu'il paraît blanc, car l'œil intègre l'ensemble de la courbe au lieu de ne restituer que son maximum.
  
  $λ_{m a x} = \frac{b}{T} = \frac{2.8978 \times 1 0 ^{- 3}}{5772} = 5.0204 \times 1 0^{- 7} m = 502.04 nm$
5. L'aire sous cette même courbe de Planck correspond à la loi de Stefan, et c'est la puissance quatrième qui rend les étoiles si sensibles : 10 % plus chaud correspond à 46 % plus lumineux.
  
  $F = σ T^{4} = 5.6704 \times 1 0^{- 8} \times 577 2^{4} = 6.294 \times 1 0^{7} W/ m^{2}$
6. Multipliez par la surface. On obtient ainsi la luminosité solaire, qui concorde avec la valeur mesurée à la précision des chiffres fournis.
  
  $L = 4 π R_{⊙}^{2} F = 6.082 \times 1 0^{18} \times 6.294 \times 1 0^{7} = 3.828 \times 1 0^{26} W$
Réponse

502,04 nm et 3,83 × 10²⁶ W. Le second nombre est le plus frappant : la couleur de la lumière solaire et le rayon du Soleil suffisent pour retrouver sa luminosité avec quatre chiffres significatifs, sans la moindre mesure d'éclat à aucun stade du calcul. C'est la raison même pour laquelle l'astrophysique stellaire fonctionne. Une étoile est trop distante pour être pesée et trop brillante pour qu'on s'en approche, mais son spectre donne une température, une taille angulaire donne un rayon, et la loi de Stefan convertit ce couple en un bilan énergétique — d'où découlent la durée de vie sur la séquence principale, puis finalement une supernova.

$λ_{m a x} = \frac{b}{T} = 502.04 nm; 4 π R_{⊙}^{2} σ T^{4} = 3.828 \times 1 0^{26} W$

Références (3)

The distribution the curve is drawn from: M. Planck, "Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum." Annalen der Physik 309(3), 553–563, 1901.
The 5772 K solar effective temperature the Sun preset uses: A. Prša et al., "Nominal Values for Selected Solar and Planetary Quantities: IAU 2015 Resolution B3." The Astronomical Journal 152(2), 41, 2016.
The Wien displacement constant used to place the peak marker: E. Tiesinga, P. J. Mohr, D. B. Newell and B. N. Taylor, "CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018." Reviews of Modern Physics 93(2), 025010, 2021.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-11

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Exemples de problèmes

Température ambiante - À 300 K, le maximum d’émission se situe à 9659 nm, soit 9,7 micromètres : il est profondément infrarouge, en plein dans la bande de détection des caméras thermiques.
Photosphère de type solaire - À 5772 K, le maximum d’émission se situe à 502 nm. C’est le seul préréglage proposé ici dont le maximum appartienne au domaine visible. L’outil colore cette pastille en vert, mais la lumière du Soleil est blanche.
Étoile chaude O/B - À 12000 K, le maximum d’émission se situe à 241 nm, dans l’ultraviolet. L’étoile paraît pourtant d’un blanc bleuté, car votre œil perçoit l’aile de la courbe, et non son maximum.
Filament incandescent - À 2800 K, le maximum d’émission se situe à 1035 nm, au-delà de la limite rouge du spectre visible. Une lampe à filament est surtout un radiateur infrarouge qui, accessoirement, émet une lueur.