Calculateur de distance par parallaxe

d (pc) = 1 / p (secondes d'arc) — la méthode de la parallaxe trigonométrique fonde toute la mesure des distances en astronomie.

Exemple résolu — Calculateur de distance par parallaxe

Distance (parsecs)	10 pc
Distance (années-lumière)	32.6156 ly
Distance (UA)	2062650 AU

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Calculateur de distance par parallaxe

La distance par parallaxe est mesurée par triangulation, en prenant l'orbite terrestre comme ligne de base. Observez une étoile proche en janvier puis en juillet : elle semble se déplacer par rapport au fond lointain ; la moitié de ce déplacement total est l'angle de parallaxe p, c'est-à-dire l'angle sous lequel la distance Terre-Soleil est vue depuis l'étoile.

Ce que signifie chaque symbole

p: l'angle de parallaxe en secondes d'arc — la moitié de l'oscillation annuelle, et non la totalité. Une seconde d'arc vaut 1/3600 de degré, et aucune étoile n'en atteint une : la plus grande parallaxe réelle dans le ciel est inférieure à 0.8″.
d: la distance, qui est l'inverse de l'angle et rien de plus. Divisez l'angle par deux et vous doublez la distance : 0.1″ donne 10 pc, 0.02″ donne 50 pc.
pc: le parsec, qui n'est pas tant une unité de longueur indépendante qu'un choix de convention — la distance à laquelle la parallaxe vaut exactement 1″. Cette définition est la seule raison pour laquelle la formule ne comporte aucune constante.
ly: l'année-lumière, la même distance exprimée dans l'unité utilisée par les non-astronomes. Un parsec en vaut 3.2616, la deuxième ligne est donc toujours la première multipliée par ce chiffre.

D’où vient la formule

La distance Terre-Soleil 1 AU est le côté court d'un triangle rectangle très effilé, et la distance à l'étoile en est le côté long. L'angle au sommet de l'étoile est p.
Pour un triangle effilé, tan p ≈ p lorsque p est en radians, et l'erreur liée à cette approximation est plus petite que n'importe quelle parallaxe jamais mesurée. Ainsi d = 1 AU / p, avec p en radians.
Les secondes d'arc sont plus pratiques que les radians, et la conversion introduit une constante — le nombre de secondes d'arc dans un radian, environ 206265. Ainsi d = 206265 AU / p″.
Plutôt que de conserver cette constante indéfiniment, les astronomes lui ont donné un nom : un parsec vaut 206265 AU. En simplifiant, la formule se réduit à d = 1/p, soit la ligne affichée tout en haut. Réglez l'angle sur 1 et la distance indique exactement 1 pc.

Comment lire ce que vous voyez

L'inverse est plus facile à constater en divisant l'angle par deux qu'en lisant une seule valeur : 0.77″ donne 1.2987 pc, 0.1″ donne 10 pc, 0.02″ donne 50 pc. La ligne de l'année-lumière suit strictement la première au taux de 3.2616 par parsec — 10 pc affiche 32.6156 ly — elle n'apporte donc aucune information supplémentaire par rapport à la première ligne, si ce n'est un changement d'unité.

Suppose: Que le déplacement mesuré est bien la parallaxe et non le mouvement propre de l'étoile dans le ciel, et que vous avez divisé par deux l'amplitude annuelle au lieu de prendre la totalité. Ces deux erreurs multiplient le résultat par un facteur fixe, ce qui les rend difficiles à détecter sur une seule mesure.
Ne tient plus quand: La formule ne faillit jamais ; c'est la mesure qui faillit, et elle le fait avec la distance plutôt qu'avec une valeur particulière de la formule. Comme d = 1/p, une erreur fixe sur l'angle devient une erreur sur la distance qui croît comme le carré de la distance — à 0.02″, une incertitude de 0.002″ représente 10 % de l'angle mais fait varier la réponse entre environ 45 et 55 pc. C'est pourquoi la parallaxe est le premier échelon de l'échelle des distances astronomiques et non sa totalité.

L’angle est si petit qu’il a presque coulé l’héliocentrisme 🖖

Si la Terre se déplace vraiment, les étoiles proches doivent sembler bouger au cours de l’année. Copernic le savait en 1543, et ses critiques aussi : ils faisaient remarquer qu’aucun déplacement de ce genre n’avait jamais été observé et en concluaient que la Terre est immobile. Ils raisonnaient correctement à partir des données — les angles sont simplement minuscules. Même Proxima du Centaure, l’étoile la plus proche qui soit, n’a une parallaxe que de 0,7685 seconde d’arc, à peu près la largeur d’une pièce vue de trois kilomètres. Personne n’a su mesurer cela pendant près de trois siècles. Friedrich Bessel y est parvenu en 1838 avec 61 du Cygne, à environ 0,31 seconde d’arc, et la parallaxe stellaire a cessé d’être une objection à l’héliocentrisme pour devenir le premier barreau de l’échelle des distances.

Exercice

Vérifiez-vous

Prédisez d’abord la réponse, puis utilisez les commandes ci-dessus pour vérifier. N’affichez la solution qu’après vous être engagé sur une hypothèse : c’est ce qui en fait un exercice.

L'éclairage 1 rappelle que Friedrich Bessel a mesuré 61 Cygni à environ 0.31 seconde d'arc en 1838, la première distance stellaire jamais obtenue. Saisissez-la. À quelle distance se trouve l'étoile, et comment cela se compare-t-il aux 0.7685″ de Proxima du Centaure ?

Afficher la réponse

3.2258 pc, soit 10.5212 ly. Proxima à 0.7685″ affiche 1.3012 pc et 4.2441 ly : l'étoile de Bessel est donc environ deux fois et demie plus loin. Il ne visait pas l'étoile la plus proche — il a choisi 61 Cygni parce qu'elle se déplace vite sur le ciel, indice différent et bon : une étoile à grand mouvement propre est en général une étoile proche.
Le champ de l'angle s'arrête à 2 secondes d'arc. Placez-le là. Quelle distance s'affiche, et qu'y a-t-il de faux dans ce tableau ?

Afficher la réponse

0.5 pc, soit 1.6308 ly — et il n'y a rien là. L'étoile la plus proche du Soleil est Proxima du Centaure à 4.2441 ly, donc tout ce qui dépasse 0.7685″, la moitié supérieure de ce champ, désigne une région de l'espace sans la moindre étoile. La formule irait plus loin encore : d = 1/p n'a pas de distance minimale. Le champ s'arrête avant que la réponse devienne absurde, pas parce que le calcul s'arrête.

Problème entièrement résolu

Distance d'une étoile qui se décale de 0,1 seconde d'arc quand la Terre se déplace 5 étapes
Une étoile subit un déplacement de 0.1 secondes d'arc lorsque la Terre se déplace sur son orbite. Calculez sa distance — puis trouvez la distance à laquelle cette méthode cesse de fonctionner, et pourquoi.
1. La parallaxe est un triangle dont une base est connue : le rayon orbital de la Terre. Sur six mois, la ligne de base est de 2 UA, et la moitié du déplacement total est l'angle de parallaxe p. À ces angles, la tangente est l'angle lui-même en radians, ce qui rend l'arithmétique triviale.
  
  $tan p = \frac{1 AU}{d} \approx p (radians)$
2. Le parsec est défini pour rendre cela trivial : c'est la distance à laquelle 1 UA sous-tend une seconde d'arc. Choisissez cette unité et la relation est un inverse sans aucune constante.
  
  $d [pc] = \frac{1}{p [ arcsec ]} = \frac{1}{0.1} = 10 pc$
3. La conversion n'est qu'une simple gestion des unités, et le calculateur ci-dessus affiche ces trois valeurs pour p = 0.1″.
  
  $10 pc \times 3.26156 = 32.6156 ly, 10 \times 206265 = 2062650 AU$
4. Passons maintenant à la partie que l'outil ne montre pas. Comme la relation est un inverse, l'erreur relative sur la distance est égale à l'erreur relative sur l'angle. Une mesure d'angle à 1% donne une distance à 1%.
  
  $\frac{Δ d}{d} = \frac{Δ p}{p} : p = 0. 1^{''} \pm 0.00 1^{''} \Rightarrow \pm 1%$
5. Mais l'angle diminue à mesure que la distance augmente, tandis que l'erreur de mesure ne diminue pas. Poussez jusqu'à p = 0.001″ avec le même instrument à ±0.001″ et l'erreur relative atteint 100% — la mesure ne veut plus rien dire.
  
  $p = 0.00 1^{''} \pm 0.00 1^{''} \Rightarrow \pm 100%$
Réponse

10 parsecs, 32.6156 années-lumière. L'inverse est ce qui rend la parallaxe à la fois exacte et de courte portée : l'erreur augmente proportionnellement à la distance, de sorte que chaque relevé de parallaxe a un horizon fixé par sa précision angulaire plutôt que par la faible luminosité qu'il peut détecter. Hipparcos mesurait jusqu'à environ 0.001″ et atteignait quelques centaines de parsecs ; Gaia atteint ~0.00002″ et en obtient ainsi des dizaines de milliers. Au-delà de cet horizon, l'astronomie doit changer totalement de méthode — c'est pourquoi l'échelle des distances comporte des barreaux.

$d = \frac{1}{p} \frac{Δ d}{d} = \frac{Δ p}{p}$

Parcours

À quelle distance se trouve-t-elle ?

Mène à Luminosité solaire la distance elle-même, en parsecs, déduite uniquement par triangulation, sans exiger la moindre hypothèse sur l'étoile.

Références (3)

The first stellar parallax ever measured, and the source of insight 1’s 0.31″: Bessel, "Bestimmung der Entfernung des 61sten Sterns des Schwans." Astronomische Nachrichten 16, 65–96, 1839.
The mission the challenge block credits with sub-milliarcsecond astrometry: T. Prusti, J. H. J. de Bruijne, A. G. A. Brown, A. Vallenari, C. Babusiaux & C. A. L. Bailer-Jones, "The Gaia mission." Astronomy & Astrophysics 595, A1, 2016.
The parsec as a defined unit, which is why d = 1/p has no constant in it: International Astronomical Union, Resolution B2 on recommended zero points for the absolute and apparent bolometric magnitude scales. XXIX General Assembly, Honolulu, 2015.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-05-21

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Exemples de problèmes

Étoile proche (grande parallaxe) - p = 0.77″ → 1.2987 pc, soit 4.2358 ly : le système stellaire le plus proche, et même lui se déplace de moins d'une seconde d'arc
Étoile semblable au Soleil à 10 pc - p = 0.1″ → exactement 10 pc et 2062650 AU — un dixième de l'angle donne dix fois la distance, sans constante intermédiaire
Cible lointaine et faible - p = 0.02″ → 50 pc, et l'avertissement précise qu'en dessous d'environ 0.01″ l'atmosphère brouille le déplacement