Leçon
La théorie — Comparaison de luminosité solaire
La luminosité est la puissance rayonnée totale — chaque watt émis par une étoile dans toutes les directions à la fois. Elle ne correspond pas à l’éclat apparent de l’étoile : l’éclat apparent diminue avec la distance, contrairement à la luminosité.
Ce que signifie chaque symbole
L- la luminosité de l’étoile, donnée ici à la fois sous forme de multiple de celle du Soleil et en watts.
R- le rayon de l’étoile. Il intervient au carré, car c’est la surface qui rayonne, et l’aire d’une surface varie en
R². T- la température effective de la surface, en kelvin. Elle intervient à la puissance quatre, selon la loi de Stefan-Boltzmann.
L☉- l’indice solaire, utilisé comme unité. Les valeurs intégrées ici sont les valeurs nominales de l’UAI :
L☉ = 3.828 × 10²⁶ WetT☉ = 5772 K.
Comment lire ce que vous voyez
Deux panneaux, et leur ordre a toute son importance. Le premier donne la luminosité sous forme de rapport par rapport au Soleil, directement issu de (R/R☉)²(T/T☉)⁴ — avec les valeurs par défaut, cela donne 1 · 1 = 1 L☉. Seul le second convertit ce rapport en watts, en le multipliant par L☉ = 3.828 × 10²⁶ W. Le rapport ne nécessite absolument aucune constante physique ; les watts en nécessitent une.
- Suppose
- Une sphère rayonnant comme un corps noir idéal à une température uniforme. Les étoiles réelles présentent un assombrissement du centre au bord, sont aplaties par la rotation et couvertes de taches — et la température effective est définie comme la température du corps noir qui produirait la puissance observée, si bien que la loi en puissance quatre s’applique ici par définition plutôt que par mesure.
- Ne tient plus quand
- Rien ici ne tient compte de ce qui se trouve entre l’étoile et le télescope : la poussière interstellaire atténue et rougit la lumière, de sorte qu’une luminosité déduite de l’éclat observé nécessite une correction d’extinction que cette page ne modélise pas. Et le rayon d’une étoile n’est pas une surface sur laquelle on pourrait se tenir — c’est la profondeur à laquelle le gaz cesse d’être opaque.
Exercice
Vérifiez-vous
Prédisez d’abord la réponse, puis utilisez les commandes ci-dessus pour vérifier. N’affichez la solution qu’après vous être engagé sur une hypothèse : c’est ce qui en fait un exercice.
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Réglez la température à la moitié de celle du Soleil,
2886 K. Quelle taille faudrait-il à l’étoile pour émettre encore exactement1 L☉— et où le taux de change est-il écrit noir sur blanc ?Afficher la réponse
R = 4 R☉, et le détail le montre :16 · 0.063 = 1 L☉. Le terme de rayon gagne exactement le facteur 16 que le terme de température perd. Le taux de change figure dans le bloc Local sensitivity —+1% T → +4% Lcontre+1% R → +2% L— : un pour cent de température en vaut deux de rayon, et compenser une température divisée par deux demande un rayon multiplié par quatre, pas par deux. -
Réglez maintenant le rayon sur
10 R☉avec la température solaire, soit un rapport de100. Que lit-on à la ligne des magnitudes, et pourquoi ce nombre est-il si rond ?Afficher la réponse
Exactement−5.00. L’échelle des magnitudes est définie pour que cinq magnitudes valent un facteur 100 :ΔM = −2.5 log₁₀(L/L☉), etlog₁₀(100) = 2. C’est pourquoi une seule magnitude vaut l’incommode100^(1/5) ≈ 2.512et rien de plus net — la rondeur a été placée sur le facteur 100 et devait bien se payer ailleurs. Notez aussi le signe : plus brillant veut dire plus bas, une étoile 100 fois le Soleil se situe donc cinq magnitudes en dessous.
Problèmes entièrement résolus
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Luminosité et décalage de magnitude de Rigel à 78,9 rayons solaires 6 étapes
Rigel : 78,9 rayons solaires à 12 100 K. Calculez sa luminosité et son écart de magnitude, puis indiquez laquelle des deux données d'entrée vous préféreriez mesurer avec précision. Il s'agit de l'état Rigel.
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L'ensemble de l'outil repose sur une seule équation, qui est la loi de Stefan divisée par elle-même. Tout s'annule à l'exception des deux rapports.
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Évaluez les facteurs séparément, car l'intérêt réside dans leur dissymétrie. Le rayon contribue pour trois ordres de grandeur, la température pour à peine plus d'un.
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Multipliez, puis appliquez l'échelle de la luminosité solaire pour quitter le monde sans dimension.
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Les magnitudes valent −2,5 log₁₀ d'un rapport de flux, de sorte qu'un facteur de 120 000 correspond à 12,7 magnitudes de plus en brillance. Le signe moins découle de la convention des astronomes selon laquelle plus l'objet est brillant, plus sa magnitude est faible.
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Les lignes de sensibilité ne sont que les exposants, interprétés comme des élasticités. C'est la forme utile lorsqu'il s'agit de décider quelle grandeur mesurer.
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Convertissez le rapport en une durée et il cesse d'être abstrait.
Réponse
La température, d’un facteur deux ; le rayon, d’un facteur trois cents. Il n’y a là aucune contradiction : c’est la différence entre une erreur relative et une erreur absolue. Dans la loi de Stefan, la température est élevée à la puissance 4 et le rayon à la puissance 2. Une erreur de 1 % sur T pèse donc deux fois plus qu’une erreur de 1 % sur R ; c’est cette sensibilité qu’indique le panneau. Mais Rigel mesure 78,9 rayons solaires, tandis que sa température n’est que de 2,1 températures solaires. Le facteur lié au rayon contribue ainsi pour 6 225 aux 120 000, contre seulement 19,3 pour celui lié à la température. L’exposant indique quelle mesure exige le plus de précision ; la valeur révèle d’où provient réellement la lumière. En une journée, Rigel rayonne autant d’énergie que le Soleil en 329 ans.
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Luminosité de Proxima Centauri à 0,1542 rayon solaire et 3 042 K 5 étapes
Proxima Centauri : 0,1542 rayon solaire à 3042 K. Calculez sa luminosité, puis vérifiez l'échelle des magnitudes en la comparant à celle de Rigel. Il s'agit de l'état Proxima du Centaure.
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Ce sont les deux mêmes facteurs, désormais tous deux inférieurs à un. Remarquez que le rapport de température dépasse à peine la moitié tout en coûtant un facteur treize, car il est élevé à la puissance quatre.
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Le produit vaut 1,834 × 10⁻³ fois celui du Soleil — soit 1 part sur 545 — ce qui explique pourquoi l'étoile la plus proche de nous est invisible sans télescope.
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Une luminosité inférieure à un produit un écart de magnitude positif — l'étoile est plus faible que le Soleil de 6,84 magnitudes.
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Passons à la vérification croisée. Calculez directement le rapport des deux luminosités.
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Prenez ensuite la différence entre les deux magnitudes et inversez le logarithme. Les deux voies doivent concorder, et cette concordance confirme que l'échelle des magnitudes n'est rien d'autre qu'un logarithme.
Réponse
1,834 × 10⁻³ L☉, et Rigel la surpasse en brillance d'un facteur 6,55 × 10⁷. Tout l'intérêt réside dans la vérification : les deux écarts de magnitude sont de −12,70 et +6,84, soit une différence de 19,54 magnitudes, et 1019,54/2,5 donne 6,55 × 10⁷ — le même nombre que celui obtenu directement à partir des luminosités. Ce n'est pas une coïncidence, c'est la définition même ; l'échelle des magnitudes a été ajustée à la réponse de l'œil au IIe siècle av. J.-C. puis formalisée comme valant exactement cinq magnitudes par facteur de 100 en 1856. Pour Proxima, les deux facteurs jouent à la baisse, le rayon comme la température, ce qui explique pourquoi une étoile 6,5 fois plus petite que le Soleil en rayon se retrouve 545 fois moins lumineuse.
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Parcours
À quelle distance se trouve-t-elle ?
Références (1)
- Where L☉ = 3.828 × 10²⁶ W and T☉ = 5772 K come from — the IAU 2015 nominal values this page uses: A. Prša et al., “Nominal Values for Selected Solar and Planetary Quantities: IAU 2015 Resolution B3.” The Astronomical Journal 152, 41, 2016.