Calculateur de densité planétaire

ρ = 3M / 4πR³ — la densité moyenne est le seul chiffre qui permette de déterminer de quoi est fait une planète, sans jamais vous y poser.

Valeurs de départ — Calculateur de densité planétaire

Masse (M)	5.972 × 10²⁴
Rayon (R)	6.371 × 10⁶

Modifiez un réglage ci-dessus et les résultats sont recalculés.

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Leçon

La théorie — Calculateur de densité planétaire

La masse volumique moyenne est la masse totale d’une planète divisée par son volume total — un seul nombre pour l’ensemble du corps. Ce n’est pas la masse volumique d’un objet que vous pourriez prendre en main : c’est la moyenne combinée de la croûte, du manteau et du noyau.

Ce que signifie chaque symbole

ρ: la masse volumique moyenne, exprimée ici en grammes par centimètre cube afin que les valeurs soient comparables à des matériaux familiers — l’eau vaut 1, le fer environ 7,9.
R: le rayon de la planète, soit 6.371 × 10⁶ m pour la Terre. Il intervient au cube, de sorte qu’une erreur de 10 % sur le rayon modifie la masse volumique d’environ 30 %.
3/4π: la constante géométrique qui apparaît lorsque vous supposez une sphère — rien de physique, juste la forme.

D’où vient la formule

La masse volumique est la masse divisée par le volume : ρ = M / V. Rien de spécifique aux planètes pour l’instant.
En supposant que le corps est une sphère, son volume vaut V = (4/3)πR³.
Remplacez et simplifiez : ρ = M / ((4/3)πR³) = 3M / (4πR³). C’est l’expression affichée sur la page, et pour la masse et le rayon de la Terre, elle donne 5.513 g/cm³.

Suppose: Une sphère, et le fait que la masse comme le rayon soient connus. Ni l’un ni l’autre ne se mesure directement pour une planète lointaine : la masse découle de son attraction gravitationnelle sur un autre corps, le rayon de la quantité de lumière stellaire qu’elle occulte — la masse volumique globale hérite donc des barres d’erreur de ces deux grandeurs.
Ne tient plus quand: Une moyenne masque totalement la structure interne, et la Terre en est le cas le plus clair : la moyenne vaut 5.513 g/cm³, alors que son noyau atteint environ le double et sa croûte la moitié. Deux planètes à la structure très différente peuvent partager exactement la même masse volumique moyenne ; ce nombre limite donc les compositions possibles d’un monde sans jamais la déterminer de manière unique.

la densité, une radiographie planétaire 🖖

Nous n'avons jamais foré la Terre à plus de 12 km de profondeur, et pourtant nous savons que son noyau est de fer. L'astuce, c'est la densité moyenne : ρ = 3M/(4πR³). La masse s'obtient en chronométrant les orbites de lunes ou de sondes ; le rayon, par occultations ou altimétrie radar. La densité obtenue, comparée aux équations d'état de la roche, de la glace et du fer à haute pression, permet de cerner quel mélange de matériaux doit se trouver à l'intérieur. Une densité inférieure à ~2 g/cm³ exclut une fraction rocheuse significative. Au-delà de ~5 g/cm³, un grand noyau de fer devient presque inévitable. La sismologie et les mesures du moment d'inertie affinent le tableau — mais la densité seule fait l'essentiel du travail avant même l'envoi d'une sonde.

ce que l'entassement révèle d'un monde 🖖

La masse volumique mesure simplement la quantité de matière tassée dans un espace donné, en grammes par centimètre cube. Comparer ce seul nombre d'un monde à l'autre permet de deviner de quoi une planète est faite sans jamais y atterrir. Un cas frappant : la masse volumique moyenne de Saturne n'est que d'environ 0,69 g/cm³, moins que l'eau, si bien qu'un océan assez vaste la ferait flotter, tandis que la Terre rocheuse, à 5,51 g/cm³, est la planète la plus dense du Système solaire.

la gravité fausse la densité d'une planète 🖖

Les grandes planètes se compriment elles-mêmes : leur propre gravité tasse l'intérieur, si bien que la masse volumique moyenne mesurée dépasse la valeur naturelle du matériau. Les astronomes corrigent cet effet pour retrouver la masse volumique non comprimée. Une fois corrigée, c'est Mercure, et non la Terre, qui ressort la plus dense, à environ 5,3 g/cm³ contre ~4,4 pour la Terre, trahissant un noyau de fer démesuré occupant près de 83% de son rayon.

Exercice

Vérifiez-vous

Prédisez d’abord la réponse, puis utilisez les commandes ci-dessus pour vérifier. N’affichez la solution qu’après vous être engagé sur une hypothèse : c’est ce qui en fait un exercice.

Le rayon intervient au cube, une petite erreur dessus est donc une grande erreur sur la densité. Les 6.371 × 10⁶ m de la Terre donnent 5.513 g/cm³. Augmentez le rayon de 10% à 7.008 × 10⁶, puis baissez-le de 10% à 5.734 × 10⁶. Les deux erreurs sont-elles de même taille ?

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Non, et l’écart mérite d’être connu avant d’annoncer une barre d’erreur. Dix pour cent de trop donne 4.142 g/cm³, une baisse de 25%. Dix pour cent de moins donne 7.563 g/cm³, une hausse de 37%. Un cube n’est pas symétrique autour de 1 : 1.1³ = 1.331 mais 0.9³ = 0.729. Le même écart de rayon coûte donc moitié plus dans un sens, et c’est la densité tirée d’un rayon sous-estimé qu’il faut le moins croire.
Appuyez sur Mercury, puis sur Earth. Les deux moyennes sortent à 5.427 et 5.513 g/cm³, moins de 2% d’écart. Cela en fait-il des mondes semblables ?

Afficher la réponse

Non — et les cases de masse montrent le piège avant toute correction : les 5.972 × 10²⁴ kg de la Terre contre les 3.301 × 10²³ de Mercure font un facteur dix-huit. Une grosse planète se comprime elle-même, la moyenne terrestre surestime donc ce que serait son matériau au repos, alors que Mercure, bien plus léger, ne se comprime presque pas. Corrigez cela et les deux échangent leurs places : Mercure vers 5.3 contre 4.4 pour la Terre. Une densité moyenne est une contrainte forte et une conclusion faible : elle écarte ce dont un monde ne peut pas être fait bien avant de dire ce qu’il est.

Problème entièrement résolu

Gravité de surface à partir de la densité moyenne de la Terre de 5,513 g/cm³ et de la roche de surface 6 étapes
La masse et le rayon de la Terre donnent une masse volumique moyenne de 5,513 g/cm³. Les roches de surface sont à environ 2,9. Déduisez ce que cela impose, puis tirez-en la gravité de surface à partir de ces deux mêmes nombres.
1. La masse volumique moyenne est la masse divisée par le volume, et c'est dans le volume d'une sphère que le rayon intervient — élevé au cube, de sorte qu'une erreur de 1 % sur R devient une erreur de 3 % sur ρ.
  
  $ρ = \frac{M}{\frac{4}{3} π R ^{3}} = \frac{5.972 \times 1 0 ^{24}}{\frac{4}{3} π ( 6.371 \times 1 0 ^{6} ) ^{3}} = \frac{5.972 \times 1 0 ^{24}}{1.0832 \times 1 0 ^{21}} = 5513 kg/ m^{3}$
2. Convertissez dans l'unité qu'utilisent les géologues, et placez-la à côté d'une roche. Le basalte est à 2,9, le granite à 2,7, et la moyenne terrestre est presque le double des deux.
  
  $ρ = 5.513 g/c m^{3} against surface basalt at 2.9 g/c m^{3}$
3. La gravité de surface s'obtient à partir des mêmes données. Le 9,82 est légèrement supérieur au 9,80665 standard parce que la valeur standard inclut la rotation et le bourrelet équatorial, alors que cette sphère ne possède ni l'un ni l'autre.
  
  $g = \frac{GM}{R ^{2}} = \frac{6.674 \times 1 0 ^{- 11} \times 5.972 \times 1 0 ^{24}}{( 6.371 \times 1 0 ^{6} ) ^{2}} = 9.82 m/ s^{2}$
4. Réinjectez la masse volumique dans la formule de la gravité et la masse disparaît. La gravité à la surface d'une sphère uniforme est proportionnelle à ρR et à rien d'autre.
  
  $g = \frac{G \cdot \frac{4}{3} π R ^{3} ρ}{R ^{2}} = \frac{4}{3} π GρR ⟹ g \propto ρR$
5. Testez cela sur un corps ayant une masse très différente. La Lune représente 1,2 % de la masse de la Terre, mais 27 % de son rayon et 61 % de sa masse volumique, et la formule donne sa gravité exacte.
  
  $Moon : ρ = 3340, R = 1.737 \times 1 0^{6} ⟹ g = \frac{4}{3} π G (3340) (1.737 \times 1 0^{6}) = 1.62 m/ s^{2}$
6. Une ligne de plus donne la vitesse de libération, qui est la même expression de l'énergie écrite pour un objet qui s'éloigne plutôt que pour un objet statique.
  
  $v_{esc} = \frac{2 GM}{R} = 2 g R = 11186 m/s$
Réponse

Cela impose un intérieur environ deux fois plus dense que tout ce que l'on peut ramasser. La moyenne est une moyenne pondérée par le volume, et la croûte n'est qu'une erreur d'arrondi dans ce volume — ainsi, si la partie externe est à 2,9, la partie interne doit être bien supérieure à 5,5 pour y amener la moyenne, et le seul matériau cosmiquement abondant aussi dense est le fer. Cette seule étape arithmétique, accessible à quiconque dispose du G de Cavendish et d'un rayon moyen, est la raison pour laquelle nous savions que la Terre possédait un noyau de fer bien avant que la sismologie ne puisse l'observer. Ces deux mêmes nombres donnent la gravité de surface, et la forme élégante g = (4/3)πGρR montre que la gravité ne dépend que de la masse volumique et du rayon, et non de la masse — fournissez-lui les 3340 kg/m³ et 1738 km de la Lune, et elle renvoie 1,62 m/s², soit la valeur sous laquelle Apollo a marché.

$ρ = 5.513 g/c m^{3} ≫ 2.9 ⟹ something much denser is underneath$

Références (1)

Earth's mass and radius, as the nominal values adopted by the IAU: A. Prša et al., "Nominal Values for Selected Solar and Planetary Quantities: IAU 2015 Resolution B3." The Astronomical Journal 152(2), 41, 2016.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-29

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Exemples de problèmes

Mercure - Mercure — 5,43 g/cm³, noyau anormalement riche en fer (83% du rayon)
Vénus - Vénus — 5,24 g/cm³, jumelle de la Terre par la taille, la masse et la densité
Terre - Terre — 5,51 g/cm³, la planète la plus dense du Système solaire
Mars - Mars — 3,92 g/cm³, rocheuse mais avec un noyau proportionnellement plus petit que la Terre
Jupiter - Jupiter — 1,33 g/cm³, la plus dense des quatre géantes après Neptune
Saturne - Saturne — 0,69 g/cm³, moins dense que l’eau ; elle flotterait
Uranus - Uranus — 1,27 g/cm³, la moins dense des géantes hormis Saturne
Neptune - Neptune — 1,64 g/cm³, plus dense qu’Uranus malgré une taille presque identique
Lune - La Lune — 3,34 g/cm³, rocheuse avec un noyau très réduit
Pluton - Pluton — 1,85 g/cm³, environ deux tiers de roche pour un tiers de glace