Leçons Interactives de Mathématiques et Sciences

Explorateur de la sphère de Bloch

états à un seul qubit, mesures selon la base et rotations de portes sur la sphère de Bloch

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En δ = π les deux moitiés s’annulent exactement 🖖

Sur l'équateur, l'état est un partage égal de |0⟩ et |1⟩ : une mesure en Z est donc un pile ou face, quoi que fasse la phase. La phase décide pourtant de tout — elle apparaît simplement dans les bases X et Y. Le panneau de phaseurs le rend visible : il trace A = 1 + eiδ et fait défiler δ tout seul, comme une animation et non comme une commande. L'amplitude vaut |A| = 2cos(δ/2), donc la probabilité suit cos²(δ/2) : 100 % plein en δ = 0, exactement 50 % en δ = π/2, et un zéro net en δ = π, où deux phaseurs unitaires pointent en sens opposés et ne somment à rien. Populations identiques, résultat opposé — cette annulation est la ressource que dépense tout algorithme quantique.

Un qubit tient sur un globe 🖖

L'état complet d'un seul qubit n'est qu'un point à la surface de cette sphère. Le pôle nord est |0⟩, le pôle sud est |1⟩, et tout ce qui se trouve entre les deux est une superposition. La latitude (θ) fixe la répartition des probabilités entre 0 et 1 — les pôles sont la certitude, l'équateur une pièce à 50/50 —, tandis que la longitude (φ) fixe la phase. En pratique : mesurer dans la base Z revient simplement à demander vers quel hémisphère penche votre point.

Il faut 720° pour revenir chez soi 🖖

Remarquez le demi-angle : l'état utilise cos(θ/2), et non cos(θ). Ce facteur deux est la signature d'un lien profond — les rotations en 3D forment le groupe SO(3), mais le véritable espace d'états d'un qubit est SU(2), qui l'enveloppe deux fois. La conséquence est déroutante : faites tourner un qubit de 360° complets et son vecteur d'état bascule vers -|ψ⟩ au lieu de revenir ; seul un second tour, 720° complets, le restaure. Chaque électron partage ce comportement de spineur, illustré par le tour de la ceinture de Dirac.

Problème entièrement résolu

  1. Un qubit à θ = 90° donnant 50/50 comme une pièce 5 étapes

    Un qubit à θ = 90° affiche 50/50. Cela ressemble à un lancer de pièce. Expliquez pourquoi ce n'est pas le cas — et où est passée la certitude.

    1. Un état pur de qubit est défini par deux angles sur une sphère. θ détermine la répartition de la probabilité entre |0⟩ et |1⟩ ; φ fixe une phase que la mesure selon Z ne peut absolument pas voir.

    2. À θ = 90°, les deux cosinus sont égaux, de sorte que les deux résultats sont exactement de moitié. Mesuré dans la base Z, cet état est réellement indiscernable d'une pièce équilibrée.

    3. Mais l'état contient plus que ces deux probabilités. Le vecteur de Bloch pointe le long de +x et sa longueur vaut 1.

    4. Une longueur de 1 signifie que l'état est pur — il se trouve à la surface de la sphère. Une pièce véritablement aléatoire serait un état mixte au centre, de longueur 0, et les deux donnent 50/50 selon Z.

    5. La différence apparaît dans une autre base. Cet état est |+⟩, et sa mesure le long de x donne + avec certitude, à chaque fois.

    Réponse

    L'outil affiche 50,00 % pour les deux résultats avec un vecteur de Bloch de (1, 0, 0). La leçon est que 50/50 est une affirmation sur la base choisie, non sur l'état. Une pièce est aléatoire dans toutes les bases ; ce qubit est aléatoire dans une base et totalement déterminé dans une autre, et c'est à la surface de la sphère que réside cette distinction. Passez le sélecteur de base de Z à X et observez ce même état afficher 100/0 sans que rien d'autre n'ait changé.

Références (2)
  • The sphere and the vector picture it is named for: F. Bloch, "Nuclear Induction." Physical Review 70(7–8), 460–474, 1946.
  • Single-qubit states, the half-angle, and interference in the X/Y bases: M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, 10th anniversary edition, §1.2 and §4.2. Cambridge University Press, 2010. ISBN 978-1-107-00217-3.

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