Jeu de la vie de Conway

Cliquez sur les cellules pour jouer les créateurs et dessiner votre propre créature — ou chargez un motif classique — puis appuyez sur lecture et regardez des règles simples créer une vie complexe.

Exemple résolu — Jeu de la vie de Conway

Génération	0
Cellules vivantes	5
Densité	0.6%
Phase	En évolution
Règle (B3/S23)	n=3⇒naissance,n∈{2,3}⇒survie,sinon⇒mort

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

Chargement de la simulation interactive...

Leçon

La théorie — Jeu de la vie de Conway

Tout le Jeu de la vie tient en deux nombres. B3 : une cellule morte ayant exactement trois voisines vivantes naît. S23 : une cellule vivante ayant deux ou trois voisines survit, sinon elle meurt. Il n’y a pas d’autre règle, pas de hasard et pas de joueur — vous posez la première génération et tout le reste est forcé. Tout ce que compte le panneau, et chaque motif de la liste, découle de ces deux nombres appliqués à toutes les cellules en même temps.

Ce que signifie chaque symbole

n: le nombre de cellules vivantes parmi les huit voisines — quatre côtés, quatre coins. Chaque décision du jeu se prend à partir de cet unique entier.
B3: la règle de naissance. Exactement trois : deux ne suffit pas, quatre est de trop, et cette netteté explique que les motifs aient des bords francs plutôt que des bavures.
S23: la règle de survie. Une cellule vivante avec moins de deux voisines meurt comme isolée, avec plus de trois comme étouffée.
Phase: le verdict que le panneau porte lui-même sur ce que fait le motif — Evolving, Still life, Oscillating ou Extinct. Une comparaison avec les générations passées, non une prédiction.

D’où vient la formule

Pour chaque cellule du plateau, comptez les vivantes parmi ses huit voisines. Faites-le aussi pour les cellules mortes — la naissance se décide comme la survie, et une cellule qui n’existe pas encore a tout de même des voisines.
Appliquez B3. Une cellule morte avec n = 3 devient vivante. Chargez le bloc et vérifiez : chaque case vide qui le touche voit au plus deux vivantes, donc rien ne naît jamais à côté. C’est toute la raison pour laquelle le bloc ne bouge pas.
Appliquez S23. Une cellule vivante avec n = 2 ou n = 3 reste. Chacune des quatre cellules du bloc en touche exactement trois autres, donc toutes les quatre survivent et le bloc se reproduit à l’identique.
Et faites tout cela simultanément. Chaque cellule est jugée sur le même instantané, puis le plateau entier est remplacé. Mettez-le à jour cellule par cellule et vous obtenez un autre jeu, faux — la voisine déjà modifiée influencerait la cellule d’à côté. La simultanéité n’est pas un détail d’implémentation : elle fait partie de la règle.

Comment lire ce que vous voyez

Surveillez la ligne Phase plutôt que la grille. Chargez le bloc : après une génération elle affiche Still life ; le clignotant en demande deux avant Oscillating ; le diehard court 130 générations puis affiche Extinct. Chargez maintenant le planeur et avancez autant que vous voulez. Il reste Evolving pour toujours — et c’est la chose la plus ordonnée du menu, qui reprend exactement sa forme toutes les quatre générations. Le classificateur compare le plateau entier aux plateaux passés, et celui d’un planeur ne se répète jamais, parce que la forme a avancé d’une case en diagonale. L’ordre qui voyage est invisible à un test d’ordre qui reste sur place.

Suppose: Un plateau fini — et que vous ne contrôlez pas entièrement : chaque motif apporte sa propre taille de grille et écrase la vôtre. La page s’ouvre en 30×30 ; choisissez Acorn et elle passe à 50×50, réglez 70 à la main et cela tient, puis choisissez Diehard et elle retombe à 40×40. La règle de Conway est définie sur un plan illimité : un motif qui atteint le bord ici ne joue donc plus tout à fait au même jeu.
Ne tient plus quand: La ligne Phase ne pourra jamais vous dire qu’un motif va survivre. Chargez le diehard : sept cellules, qui montent à vingt-quatre, errent pendant plus de cent générations et ont disparu à la génération 130 — le nom est mérité. Rien à l’écran ne l’annonçait avant la génération 130, et rien ne l’aurait pu. Le Jeu de la vie est Turing-complet, donc demander « ce motif va-t-il s’éteindre ? » est le problème de l’arrêt sous un autre chapeau, et aucun algorithme ne le tranche. Ce à quoi le panneau répond, c’est la question décidable — ce plateau s’est-il déjà répété ? — et il dit prudemment Evolving plutôt que quelque chose de plus fort tant qu’il attend.

Une vie stable n’est pas « rien ne se passe » — c’est une arithmétique qui tient dans chaque cellule à la fois 🖖

Chargez le motif block et comptez vous-même. Chacune de ses quatre cellules vivantes touche exactement trois autres cellules vivantes, et trois est à la fois le nombre de naissance et un nombre de survie : toutes continuent donc de vivre. Dans le même temps, chaque cellule vide autour du bloc touche au plus deux cellules vivantes, et deux n’est pas trois : rien ne peut naître. Le bloc ne persiste pas parce qu’il ne lui arrive rien, mais parce que la règle est évaluée partout, à chaque génération, et que le compte tombe juste dans toutes les directions simultanément. Cassez-lui un coin et cet équilibre disparaît.

Un jeu sans aucun joueur 🖖

Le jeu de la vie de Conway est un jeu à zéro joueur : vous placez les cellules de départ, appuyez sur lecture et n'y touchez plus jamais. Tout le reste découle de deux règles seulement — une cellule morte ayant exactement 3 voisines vivantes naît, et une cellule vivante ne survit qu'avec 2 ou 3 voisines. Il en émerge trois destins : certaines formes se figent à jamais, d'autres clignotent en boucle, et d'autres (comme le planeur) glissent sans cesse sur la grille.

Le pari à 50 dollars perdu par Conway 🖖

En 1970, Conway conjectura qu'aucun motif initial ne pouvait croître indéfiniment et offrit 50 dollars, via la chronique de Martin Gardner dans Scientific American, à qui trancherait la question. En quelques semaines, l'équipe de Bill Gosper au MIT construisit le canon à planeurs — un motif qui éjecte un nouveau planeur toutes les 30 générations, si bien que sa population croît sans limite. Gosper empocha la somme et réfuta la conjecture ; ce canon fait partie des motifs chargeables ci-dessus.

Problème entièrement résolu

Cinq cellules vivantes sur une grille 30 × 30 5 étapes
Cinq cellules vivantes sur une grille de 30 × 30. Calculez la densité affichée par le panneau, puis déterminez la vitesse du planeur et pourquoi il ne peut aller plus vite. Il s'agit de l'état Planeur.
1. La densité est simplement le nombre de cellules vivantes divisé par le nombre de cellules, et la grille est carrée.
  
  $30 \times 30 = 900 cells, 5 alive ⟹ \frac{5}{900} = 0.56% \to 0.6%$
2. La règle dans son intégralité. Remarquez ce qu'elle ne contient pas : aucune notion de direction, de distance ou de mémoire. Une cellule voit huit voisines et la génération actuelle, et c'est tout.
  
  $B3/S23 : a dead cell with exactly 3 live neighbours is born; a live cell with 2 or 3 survives$
3. Suivez le planeur sur quatre étapes : il retrouve son état initial, décalé d'une cellule vers la droite et d'une cellule vers le bas. Deux de ces étapes ne ressemblent en rien au départ, ce qui explique pourquoi la période est de quatre et non de deux.
  
  $g \to g + 4 : the glider returns to its own shape, translated by (1, 1)$
4. La vitesse est le déplacement divisé par la période. Le dénominateur de la limite est fixé par le voisinage : une cellule par génération est la vitesse maximale à laquelle l'information peut se déplacer.
  
  $v = \frac{1 cell diagonally}{4 generations} = \frac{c}{4}, where c = 1 cell per generation is the causal limit$
5. Rapportez cela à la grille. Le temps de traversée est une propriété du motif et de la grille, non de la vitesse d'animation — celle-ci modifie seulement le temps d'attente.
  
  $crossing 30 cells : 4 \times 30 = 120 generations = 120 \times 200 ms = 24 s$
Réponse

c/4, où c est une cellule par génération. Le jeu de la Vie possède une vitesse limite absolue qui découle directement de sa règle : une cellule ne consulte jamais que ses huit voisines, de sorte qu'aucune influence ne peut se propager à plus d'une cellule par génération, quel que soit le motif construit. C'est le cône causal, et la littérature du jeu de la Vie l'appelle la vitesse de la lumière sans grande ironie. Le planeur retrouve sa propre forme après quatre générations, décalé d'une cellule en diagonale, si bien qu'il se déplace à un quart de la limite — et rien de ce qui est construit à partir de B3/S23 n'a jamais dépassé c/2 orthogonalement. Un motif de cinq cellules doté d'une période et d'un déplacement est le plus petit objet du jeu de la Vie qui se déplace, et il lui faut 120 générations, soit 24 secondes avec ce réglage de vitesse, pour traverser la grille.

$period 4, displacement (1, 1) ⟹ v = \frac{c}{4}$

Références (3)

Turing completeness made explicit — a working universal Turing machine built out of Life patterns: P. Rendell, "A Universal Turing Machine in Conway’s Game of Life." 2011 International Conference on High Performance Computing & Simulation, 764–772.
The column that introduced Life to a general audience: Martin Gardner, "Mathematical Games: The fantastic combinations of John Conway's new solitaire game 'life'." Scientific American 223, 120–123, October 1970.
Where Life's universality is worked out: E. R. Berlekamp, J. H. Conway & R. K. Guy, Winning Ways for Your Mathematical Plays, volume 4, 2nd edition. A K Peters, 2004. ISBN 978-1-56881-144-4.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-06-11

Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues. Politique éditoriale · Corrections

Toutes les leçons : Informatique →

Exemples de problèmes

Planeur - Le planeur se déplace en diagonale
Clignotant - Oscillateur clignotant de période 2
Canon à planeurs - Le canon à planeurs de Gosper génère des planeurs
Pulsar - Oscillateur pulsar de période 3