Nombre d'or et spirale de Fibonacci

Construisez des carrés de Fibonacci, comparez des rapports consécutifs et observez comment la récurrence s'approche du nombre d'or.

Valeurs de départ — Nombre d'or et spirale de Fibonacci

Termes (N)	12

Modifiez un réglage ci-dessus et les résultats sont recalculés.

Chargement de la simulation interactive...

pourquoi phi est le point fixe 🖖

La récurrence de Fibonacci remplace sans cesse un rapport par 1 plus son inverse : F(n)/F(n-1) = 1 + F(n-2)/F(n-1). Une fois ce rapport stabilisé à x, il doit satisfaire x = 1 + 1/x, donc x² = x + 1, et la solution positive est phi. La spirale est une image géométrique de cette même autosimilarité : chaque carré plus grand contient le rectangle précédent plus un nouveau carré.

Le rapport zigzague vers phi 🖖

Regardez le diagramme en barres : les rapports de Fibonacci successifs tombent alternativement juste au-dessus et juste au-dessous de φ, et l'écart se réduit à chaque étape. Dès 21/13 = 1.615 vous êtes déjà à moins de 0.003 de φ, et quelques termes plus loin le rapport coïncide avec φ sur autant de décimales que l'affichage peut montrer. La convergence est rapide, et aucun écart isolé ne reste longtemps éloigné.

Le nombre le plus irrationnel 🖖

Écrit en fraction continue, φ = [1; 1, 1, 1, …] : rien que des uns, les plus petits coefficients possibles. Cela fait de φ le nombre le plus difficile à approcher par une fraction, et ses meilleures approximations sont justement les rapports de Fibonacci que trace cet outil. La nature en profite : des graines espacées de 360°/φ² ≈ 137.5° ne s'alignent jamais en laissant des trous, ce qui donne aux tournesols et aux pommes de pin leur empilement dense et régulier.

Problème entièrement résolu

Erreur de mesure de 144/89 = 1,617978 par rapport à φ = 1,618034 6 étapes
144/89 = 1,617978 contre φ = 1,618034. Prédisez cette erreur avant de la mesurer, puis expliquez pourquoi φ est le pire nombre des mathématiques à approcher.
1. L'équation définissant le nombre n'est pas posée a priori, elle s'impose : si le rapport de termes consécutifs se stabilise quelque part, la récurrence indique que la limite satisfait cela.
  
  $\frac{F _{n + 1}}{F _{n}} \to φ ⟹ φ = 1 + \frac{1}{φ} ⟹ φ^{2} - φ - 1 = 0$
2. Résolvez l'équation du second degré et prenez la racine positive.
  
  $φ = \frac{1 + 5}{2} = 1.618034$
3. La douzième réduite, et l'erreur que l'on vous demande de prédire. Elle est négative, et la précédente était positive — les réduites alternent autour de φ.
  
  $\frac{F _{12}}{F _{11}} = \frac{144}{89} = 1.617978, error = - 5.65 \times 1 0^{- 5}$
4. La formule de Binet donne l'erreur sous forme close. La racine conjuguée ψ est ce que les nombres de Fibonacci négligent, et c'est exactement ce qui manque à l'approximation.
  
  $ψ = \frac{1 - 5}{2} = - 0.618034, \frac{F _{n + 1}}{F _{n}} - φ = \frac{ψ ^{n}}{F _{n}} = \frac{- 0.005025}{89} = - 5.65 \times 1 0^{- 5}$
5. Comparez au théorème de Hurwitz, qui est l'affirmation la plus forte possible concernant l'approximation de tout irrationnel par des rationnels. L'erreur n'est pas seulement sous la borne, elle est sur la borne.
  
  $Hurwitz : \frac{p}{q} - α < \frac{1}{5 q ^{2}} infinitely often; \frac{1}{5 \cdot 8 9 ^{2}} = 5.6459 \times 1 0^{- 5}$
6. La fraction continue explique pourquoi. Une suite uniquement composée de uns est la convergence la plus lente possible, et l'angle d'or est ce fait transformé en règle de croissance.
  
  $φ = [1; 1, 1, 1, \dots] ⟹ golden angle = \frac{36 0 ^{\circ}}{φ ^{2}} = 137.50 8^{\circ}$
Réponse

L'erreur est ψ¹¹/F₁₁ = −5,6461 × 10⁻⁵, et elle se situe exactement sur le plancher en dessous duquel aucun irrationnel ne peut descendre. Hurwitz a prouvé que tout irrationnel α possède une infinité de rationnels vérifiant |p/q − α| < 1/(√5 q²), et que la valeur √5 ne peut pas être améliorée. Ici, 1/(√5 × 89²) = 5,6459 × 10⁻⁵ — l'erreur réelle et le plancher théorique concordent à une partie sur quarante mille près. C'est ce que signifie « le nombre le plus irrationnel » : non pas que φ soit mystérieux, mais que sa fraction continue [1;1,1,1,…] n'offre jamais de grand chiffre, de sorte qu'aucune réduite ne fait d'aubaine et que chacune d'entre elles se situe pile sur la borne. Les plantes l'exploitent. Les graines placées à 360°/φ² = 137,508° les unes des autres ne s'alignent jamais en rangées, car s'aligner en rangées signifie que l'angle est proche d'une fraction simple de tour — et φ est prouvablement le nombre le plus éloigné de toute fraction simple.

$\frac{ψ ^{11}}{F _{11}} = - 5.6461 \times 1 0^{- 5} against the Hurwitz floor \frac{1}{5 F _{11}^{2}} = 5.6459 \times 1 0^{- 5}$

Références (1)

Insight block 3 — the divergence angle, and why it packs without gaps: H. Vogel, "A better way to construct the sunflower head." Mathematical Biosciences 44(3–4), 179–189, 1979 — the 137.5° model this block describes.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-20

Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues. Politique éditoriale · Corrections

Toutes les leçons : Mathématiques →

Exemples de problèmes

oscillation initiale - Cinq premiers termes de Fibonacci : rapport 5/3 = 1.667 — nettement au-dessus de φ = 1.618
proche de phi - 10 termes : rapport 89/55 = 1.618181… — se stabilise à 0.004% de φ
stabilisé - 16 termes : rapport 1597/987 = 1.6180339… — correspond à φ avec 7 chiffres significatifs
vérification de Binet - Formule de Binet : F(20) = 6765 à partir d'une expression close utilisant φ et ψ