Explorateur de fonctions réciproques

Choisissez une fonction, déplacez un point sur f et observez son point réfléchi sur la réciproque. Restreignez le domaine pour les cas non injectifs.

Exemple résolu — Explorateur de fonctions réciproques

Point P sur f	(2,4)
Point réfléchi Q sur f⁻¹	(4,2)
Inversible sur le domaine actuel	Yes

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Pourquoi la racine carrée ne donne que la moitié des réponses 🖖

Élever au carré envoie 3 et −3 au même endroit : l’opération inverse n’a donc pas de réponse unique, et une fonction n’a droit qu’à une seule sortie par entrée. Les mathématiques tranchent par amputation : la racine carrée est définie comme l’inverse du carré restreint à x ≥ 0. C’est cette restriction qui fait que √9 vaut 3 et non ±3, et qui oblige à remettre le ± à la main en résolvant x² = 9. Le test de la droite horizontale sert simplement à repérer d’avance les fonctions qui exigeront cette opération.

Le bouton annuler et comment le vérifier 🖖

Une fonction réciproque est un bouton annuler : en repassant la sortie de f par f⁻¹, on revient à la valeur de départ x. Pour la trouver, on échange x et y dans l'équation puis on isole — cet échange est exactement ce qui reflète les deux courbes par rapport à la droite y=x. Le test le plus sûr est la composition : si f(f⁻¹(x)) = x et f⁻¹(f(x)) = x, vous avez bien un couple correct. Convertir des Celsius en Fahrenheit puis revenir, c'est la même idée au quotidien.

Des fonctions qui sont leur propre réciproque 🖖

La plupart des courbes ne ressemblent pas à leur image miroir par rapport à y=x, mais quelques-unes tombent exactement sur elles-mêmes. Ce sont les involutions, des fonctions vérifiant f(f(x)) = x : elles sont leur propre réciproque. L'inverse f(x) = 1/x en est l'exemple classique ; son hyperbole est déjà symétrique par rapport à y=x, donc la réfléchir ne change rien. Cette même astuce d'auto-annulation fait fonctionner ROT13, où chiffrer deux fois un texte le restaure.

FONCTIONS RÉCIPROQUES — EN EXISTE-T-IL UNE, ET SUR QUEL DOMAINE ?

Dans quel cas de réciproque êtes-vous ?

Une fonction admet une réciproque exactement quand deux entrées ne partagent jamais la même sortie — le test de la droite horizontale. Si elle le passe, la réciproque est la symétrique par rapport à y = x et il n’y a rien de plus à décider. Si elle échoue, vous n’êtes pas bloqué : restreignez le domaine à un morceau où le test passe, et une réciproque y existe. Le cas se tranche avant toute algèbre.

Strictement monotone — la réciproque existe partout f′ ≠ 0 ⇒ ∃f⁻¹

Le test de la droite horizontale échoue — pas de réciproque sur ℝ tout entier f(a) = f(−a) ⇒ ∄f⁻¹

Restreignez le domaine et la réciproque revient x ≥ 0 ⇒ f⁻¹ = √x

Un couple classique — domaine et image échangent leurs rôles f: A→B ⇒ f⁻¹: B→A

Strictement monotone — la réciproque existe partout

Ce que vous savez: La fonction ne répète jamais une valeur : chaque droite horizontale coupe le graphe une fois. La réciproque est définie sur toute l’image.

Test: f′ ≠ 0 ⇒ ∃f⁻¹

Exemple résolu: f(x) = 2x + 1 envoie 2 sur 5, et f⁻¹(x) = (x − 1)/2 renvoie 5 sur 2

Ouvrir ce cas: paire linéaire

Strictement monotone — la réciproque existe partout. Chaque horizontale coupe une fois, donc la symétrique par rapport à y = x est elle-même une fonction. La fonction ne répète jamais une valeur : chaque droite horizontale coupe le graphe une fois. La réciproque est définie sur toute l’image. — Chaque horizontale coupe une fois, donc la symétrique par rapport à y = x est elle-même une fonction.

Le test de la droite horizontale échoue — pas de réciproque sur ℝ tout entier

Ce que vous savez: Deux entrées différentes donnent la même sortie : une prétendue réciproque devrait renvoyer deux valeurs à la fois. La symétrie donne une courbe, mais pas une fonction.

Test: f(a) = f(−a) ⇒ ∄f⁻¹

Exemple résolu: f(x) = x² envoie 2,5 et −2,5 sur 6,25, donc f⁻¹(6,25) n’a pas de réponse unique

Ouvrir ce cas: quadratique (non inversible)

Le test de la droite horizontale échoue — pas de réciproque sur ℝ tout entier. L’horizontale rencontre la parabole deux fois : la symétrique ne peut pas être une fonction. Deux entrées différentes donnent la même sortie : une prétendue réciproque devrait renvoyer deux valeurs à la fois. La symétrie donne une courbe, mais pas une fonction. — L’horizontale rencontre la parabole deux fois : la symétrique ne peut pas être une fonction.

Restreignez le domaine et la réciproque revient

Ce que vous savez: Coupez le domaine à une portion où la fonction est monotone. Sur x ≥ 0 la parabole passe le test, et √x y est sa réciproque.

Test: x ≥ 0 ⇒ f⁻¹ = √x

Exemple résolu: Sur x ≥ 0, f(x) = x² envoie 2,5 sur 6,25 et f⁻¹(x) = √x renvoie 6,25 sur 2,5

Ouvrir ce cas: quadratique restreinte

Restreignez le domaine et la réciproque revient. La moitié de la parabole est monotone, et sur cette moitié la symétrique redevient une fonction. Coupez le domaine à une portion où la fonction est monotone. Sur x ≥ 0 la parabole passe le test, et √x y est sa réciproque. — La moitié de la parabole est monotone, et sur cette moitié la symétrique redevient une fonction.

Un couple classique — domaine et image échangent leurs rôles

Ce que vous savez: eˣ et ln x sont réciproques l’une de l’autre. Ce que l’une prend, l’autre le rend : le domaine de chacune est l’image de l’autre.

Test: f: A→B ⇒ f⁻¹: B→A

Exemple résolu: e¹ = 2,718 et ln(2,718) = 1. eˣ envoie tous les réels sur les positifs ; ln ramène les positifs sur tous les réels.

Ouvrir ce cas: exp et ln

Un couple classique — domaine et image échangent leurs rôles. Chaque courbe est l’autre symétrisée par rapport à y = x ; le demi-axe positif devient la droite entière. eˣ et ln x sont réciproques l’une de l’autre. Ce que l’une prend, l’autre le rend : le domaine de chacune est l’image de l’autre. — Chaque courbe est l’autre symétrisée par rapport à y = x ; le demi-axe positif devient la droite entière.

Problème entièrement résolu

Le point (2, 4) sur f(x) = x² se reflétant en (4, 2) 5 étapes
Le point (2, 4) situé sur f(x) = x² devient (4, 2) sur sa réciproque. Démontrez que la réflexion s'effectue par rapport à la droite y = x — et expliquez pourquoi le domaine de f doit être restreint.
1. Une réciproque annule l'effet de la fonction : si f envoie a sur b, la réciproque envoie b sur a. Échanger les coordonnées constitue l'opération entière, et c'est la raison pour laquelle les deux points de l'outil affichent les mêmes chiffres dans l'ordre inverse.
  
  $f^{- 1} undoes f : (a, b) \in f ⟺ (b, a) \in f^{- 1} ⟹ Q = (4, 2)$
2. Cet échange est une réflexion, et l'axe de réflexion peut être identifié par la géométrie plutôt qu'affirmé. Prenez le milieu des deux points.
3. Le milieu est (3, 3), qui se trouve sur y = x. Cela est vrai pour n'importe quelle paire (a, b) et (b, a), puisque leur milieu a toujours des coordonnées égales.
  
  $midpoint P Q = (\frac{2 + 4}{2}, \frac{4 + 2}{2}) = (3, 3) \in {y = x}$
4. Examinons à présent la direction. Le segment qui les relie a une pente de −1, perpendiculaire à la droite y = x, dont la pente est 1. Une droite qui coupe un segment en son milieu et à angle droit est sa médiatrice, donc y = x est l'axe de réflexion.
  
  $slope P Q = \frac{2 - 4}{4 - 2} = - 1 ⊥ the line y = x$
5. La restriction est imposée par ce même échange. Sans elle, f envoie à la fois 2 et −2 sur 4, de sorte que l'application réciproque devrait envoyer 4 à deux endroits en même temps — ce qui n'est pas une fonction.
  
  $f (2) = f (- 2) = 4 ⟹ x \geq 0 is required for f^{- 1} to exist$
Réponse

L'outil affiche P = (2,4) et Q = (4,2), et indique que la fonction est inversible sur le domaine actuel. La démonstration repose sur les deux faits des étapes 3 et 4 : le segment est coupé en son milieu par y = x et lui est perpendiculaire, ce qui est exactement la définition d'une réflexion. La restriction mérite d'être soulignée car il s'agit d'une vraie perte, pas d'une simple formalité — x² est une fonction tout à fait valide qui n'a tout simplement pas de réciproque, et la racine carrée est la réciproque d'une fonction différente, plus restreinte, que nous avons aussi convenu d'appeler x². Désactivez la restriction et observez la courbe symétrique cesser d'être une fonction.

$reflection in y = x : bisected by it and perpendicular to it$

Références (2)

The condition under which an inverse exists at all, stated precisely: W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, Theorem 9.24 (the inverse function theorem). McGraw-Hill, 1976.
A function with no elementary formula, which exists only as an inverse: R. M. Corless, G. H. Gonnet, D. E. G. Hare, D. J. Jeffrey and D. E. Knuth, "On the Lambert W function." Advances in Computational Mathematics 5(1), 329–359, 1996.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-27

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Exemples de problèmes

paire linéaire - Les fonctions linéaires sont inversibles globalement, avec une symétrie miroir exacte.
quadratique (non inversible) - x^2 n'est pas injective sur tous les réels, donc l'inverse n'existe pas globalement.
quadratique restreinte - Restreindre x^2 à x>=0 restaure l'inversibilité et donne sqrt(x).
exp et ln - exp et ln forment une paire de fonctions réciproques classique, symétriques par rapport à y=x.