Explorateur de fonctions réciproques
Choisissez une fonction, déplacez un point sur f et observez son point réfléchi sur la réciproque. Restreignez le domaine pour les cas non injectifs.
Réversibilité de mappage bijectif 🖖
Une fonction inverse annule mathématiquement une transformation, reflétant la courbe sur l'axe y=x. La symétrie absolue n'est garantie que si la fonction d'origine satisfait l'injectivité bijective, exigeant des restrictions de domaine.
Le bouton annuler et comment le vérifier 🖖
Une fonction réciproque est un bouton annuler : en repassant la sortie de f par f⁻¹, on revient à la valeur de départ x. Pour la trouver, on échange x et y dans l'équation puis on isole — cet échange est exactement ce qui reflète les deux courbes par rapport à la droite y=x. Le test le plus sûr est la composition : si f(f⁻¹(x)) = x et f⁻¹(f(x)) = x, vous avez bien un couple correct. Convertir des Celsius en Fahrenheit puis revenir, c'est la même idée au quotidien.
Des fonctions qui sont leur propre réciproque 🖖
La plupart des courbes ne ressemblent pas à leur image miroir par rapport à y=x, mais quelques-unes tombent exactement sur elles-mêmes. Ce sont les involutions, des fonctions vérifiant f(f(x)) = x : elles sont leur propre réciproque. L'inverse f(x) = 1/x en est l'exemple classique ; son hyperbole est déjà symétrique par rapport à y=x, donc la réfléchir ne change rien. Cette même astuce d'auto-annulation fait fonctionner ROT13, où chiffrer deux fois un texte le restaure.
Exemples de problèmes
- paire linéaire - Les fonctions linéaires sont inversibles globalement, avec une symétrie miroir exacte.
- quadratique (non inversible) - x^2 n'est pas injective sur tous les réels, donc l'inverse n'existe pas globalement.
- quadratique restreinte - Restreindre x^2 à x>=0 restaure l'inversibilité et donne sqrt(x).
- exp et ln - exp et ln forment une paire de fonctions réciproques classique, symétriques par rapport à y=x.