Laboratoire de mathématiques musicales

théorie des nombres, polyrythmes et comparaison d'accordages

Exemple résolu — Laboratoire de mathématiques musicales

● Piste A (5/8)	1 0 1 0 1 1 0 1
● Piste B (7/12)	1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1
Accordé	+50 cents

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Douze quintes justes dépassent sept octaves 🖖

Empilez douze quintes pures, chacune dans un rapport de fréquences de 3:2, et vous devriez retomber sur la note de départ, sept octaves plus haut. Ce n’est pas le cas. (3/2)¹² = 129,7463 alors que sept octaves valent 2⁷ = 128 : la spirale rate l’octave de 1,4%, soit le comma pythagoricien de 23,46 cents. Il est impossible d’accorder un clavier en gardant à la fois toutes les quintes et toutes les octaves pures, car 3 et 2 ne partagent aucune puissance commune. Le tempérament égal à douze degrés règle cela en rognant 1,955 cent sur chaque quinte : les douze deviennent légèrement basses et aucune n’est exacte. Tout piano que vous avez entendu est délibérément et uniformément désaccordé.

Comment un nombre devient un accord 🖖

Tout nombre entier se décompose en facteurs premiers, ses briques indivisibles. Cet outil transforme chaque nombre premier en intervalle musical : 2 est une octave, 3 une quinte juste, 5 une tierce majeure. Ainsi le nombre 6 = 2 × 3 sonne comme une octave surmontée d'une quinte, tandis qu'un nombre premier comme 7 joue un seul son pur. Vous entendez littéralement le squelette arithmétique d'un nombre.

Des rythmes nés dans un accélérateur de particules 🖖

Les motifs de pulsations régulièrement espacés proviennent de l'algorithme de Bjorklund, conçu pour cadencer des impulsions de neutrons dans une source de neutrons par spallation à Los Alamos. En 2005, l'informaticien Godfried Toussaint a remarqué que ses résultats correspondent aux rythmes folkloriques du monde entier — un des réglages par défaut, E(5,8), est le cinquillo cubain. Plus étrange encore : la méthode est l'algorithme d'Euclide du plus grand commun diviseur, vieux de plus de 2000 ans.

Problème entièrement résolu

Une quinte juste avec un écart de 1,96 cent sur un piano 6 étapes
Une quinte juste vaut 3/2 en intonation juste et 2^(7/12) au piano. L'écart est de 1,96 cents. Expliquez pourquoi personne ne pouvait simplement y remédier.
1. Deux définitions du même intervalle. L'une est un rapport de petits nombres entiers, ce qui le rend consonant ; l'autre est une racine douzième, ce qui permet de l'adapter à un clavier.
  
  $just fifth = \frac{3}{2} = 1.500; equal fifth = 2^{7/12} = 1.4983$
2. Les cents les placent tous deux sur une échelle logarithmique où une octave vaut 1200 et où les intervalles s'additionnent. La quinte juste n'est pas un nombre entier de cents, tandis que la quinte égale l'est, par construction.
  
  $1200 lo g_{2} \frac{3}{2} = 1200 (0.584963) = 702.0 cents; 1200 \cdot \frac{7}{12} = 700.0 cents$
3. La différence est faible — bien en dessous des 5 cents que la plupart des auditeurs remarquent sur un son tenu, ce qui explique pourquoi le tempérament égal est tout simplement tolérable.
  
  $difference = 701.96 - 700.00 = 1.96 cents$
4. Empilez à présent douze d'entre elles et comparez avec sept octaves, point d'arrivée théorique de douze quintes.
  
  $(\frac{3}{2})^{12} = 129.746 against 2^{7} = 128$
5. L'écart en cents constitue le comma pythagoricien, et il représente environ un quart de demi-ton — immanquable.
  
  $1200 lo g_{2} \frac{129.746}{128} = 23.46 cents$
6. Et c'est exactement la petite erreur, douze fois. Rien n'a été perdu ni gagné lors de l'empilement ; le tempérament égal se contente de diviser le comma par douze et de s'en acquitter une fois par quinte.
  
  $12 \times 1.955 = 23.46$
Réponse

Parce que douze de ces écarts font 23,46 cents, et qu'il s'agit d'un véritable intervalle audible. Empilez douze quintes pures et vous arrivez à 129,746 ; empilez sept octaves et vous arrivez à 128. Les deux devraient être la même note et ils diffèrent de 1,4%, le comma pythagoricien. Il n'existe aucun accordage qui préserve la pureté de chaque quinte tout en fermant le cercle, car 3/2 élevé à une puissance entière quelconque n'est jamais une puissance de 2 — les décompositions en facteurs premiers ne peuvent pas correspondre. Ainsi, tout accordage de clavier réside dans le choix de l'emplacement du comma : le répartir également sur l'ensemble des douze quintes, ce qui constitue le tempérament égal et coûte 1,96 cents chacune, ou le dissimuler dans des tonalités que personne ne joue, ce que faisaient les tempéraments historiques et ce qui explique pourquoi la musique écrite pour eux sonne différemment selon la tonalité.

$12 just fifths \neq = 7 octaves$

Références (1)

Insight block 3 — the algorithm, and the observation that it makes folk rhythms: E. Bjorklund, "The Theory of Rep-Rate Pattern Generation in the SNS Timing System." Los Alamos National Laboratory, SNS ASD Tech Note 2003. G. T. Toussaint, "The Euclidean algorithm generates traditional musical rhythms." Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, 47–56, 2005.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-09-03

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