Courbes polaires

Explorez les courbes polaires : r en fonction de l'angle θ.

Exemple résolu — Courbes polaires

Équation	1+cos(θ)
r(theta)	0.0000
A	4.7124
(x, y)	(-0.000, -0.000)
theta	3.142 rad (180.0 deg)

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Un k impair donne k pétales, un k pair en donne deux fois plus 🖖

Une rosace r = cos(kθ) n’a pas k pétales, comme on s’y attendrait. Pour k impair, si : cos(3θ) trace 3 pétales et termine en une demi-révolution — poursuivez jusqu’à 2π et la courbe repasse simplement sur les pétales déjà tracés, car les valeurs négatives de r retombent exactement sur les positives. Pour k pair, aucun endroit où les cacher : ces passages supplémentaires deviennent de nouveaux pétales dans les intervalles, et cos(4θ) en compte 8. C’est précisément pourquoi les deux rosaces prédéfinies de cet outil s’arrêtent à des endroits différents : π pour celle à 3 pétales, 2π entiers pour celle à 8.

Distance et direction, pas gauche et droite 🖖

Les coordonnées polaires repèrent un point par deux questions du quotidien : à quelle distance du centre et dans quelle direction ? C'est pourquoi les formes dotées d'un centre naturel — spirales, roses en forme de fleurs, orbites — obtiennent ici des équations courtes et nettes, alors qu'elles deviennent des formules encombrantes sur une grille x-y. Essaie le modèle de la spirale : r = θ/π signifie simplement « le rayon croît régulièrement à mesure qu'on tourne », mais la version cartésienne est un enchevêtrement. La leçon : choisis des coordonnées adaptées à la symétrie du problème et les maths se simplifient.

La spirale que Bernoulli voulait sur sa tombe 🖖

La spirale logarithmique r = a·e^(bθ) fascina tellement Jacques Bernoulli qu'il la nomma spira mirabilis — « la spirale merveilleuse » — car la mettre à l'échelle, la tourner ou la réfléchir redonne la même courbe. Il en souhaita une sur sa pierre tombale avec la devise Eadem mutata resurgo (« bien que changée, je renais identique »). Mais le tailleur de pierre bâlois grava plutôt une spirale d'Archimède (r = aθ) — une courbe tout à fait différente, et l'erreur reste visible aujourd'hui.

COURBES POLAIRES — QUELLE FAMILLE, ET COMBIEN DE PÉTALES ?

Dans quel cas de courbe polaire êtes-vous ?

En polaire, la forme est décidée par la formule de r et par la distance que θ doit parcourir avant que la courbe se referme. Les roses viennent de cos nθ, et le nombre de pétales dépend de la parité de n. Cardioïdes et limaçons viennent de a + b·cos θ, et le rapport a/b décide s’il y a un creux, une pointe ou une boucle à l’intérieur. Reconnaissez la forme et vous connaissez le dessin.

a = b — la cardioïde, avec un unique point de rebroussement à l’origine a = b ⇒ r(π) = 0

cos nθ avec n impair — n pétales, tracés en un demi-tour n = 2k+1 ⇒ # = n

cos nθ avec n pair — 2n pétales, et le tour complet est nécessaire n = 2k ⇒ # = 2n

b > a — un limaçon avec boucle intérieure b > a ⇒ ∃θ: r < 0

a = b — la cardioïde, avec un unique point de rebroussement à l’origine

Ce que vous savez: r = a + b·cos θ avec a et b égaux. Le rayon descend de 2a jusqu’à exactement zéro : la courbe touche donc l’origine une fois et y forme un rebroussement.

Forme: a = b ⇒ r(π) = 0

Exemple résolu: r = 1 + cos θ : r = 2 en θ = 0°, r = 1 en 90° et r = 0 en 180°. L’aire enclose vaut 3π/2 ≈ 4,712.

Ouvrir ce cas: Cardioïde

a = b — la cardioïde, avec un unique point de rebroussement à l’origine. Le rayon se réduit à rien en 180° et la courbe se referme en une pointe. r = a + b·cos θ avec a et b égaux. Le rayon descend de 2a jusqu’à exactement zéro : la courbe touche donc l’origine une fois et y forme un rebroussement. — Le rayon se réduit à rien en 180° et la courbe se referme en une pointe.

cos nθ avec n impair — n pétales, tracés en un demi-tour

Ce que vous savez: Un n impair donne exactement n pétales, et la rose est complète dès que θ est allé de 0 à π. Continuer jusqu’à 2π repasse sur les mêmes pétales.

Forme: n = 2k+1 ⇒ # = n

Exemple résolu: r = cos 3θ de 0 à π : trois pétales, chacun couvrant 60° de θ, le premier centré sur θ = 0

Ouvrir ce cas: Rosace (3)

cos nθ avec n impair — n pétales, tracés en un demi-tour. Trois pétales, achevés après un demi-tour ; le reste du cercle les répète. Un n impair donne exactement n pétales, et la rose est complète dès que θ est allé de 0 à π. Continuer jusqu’à 2π repasse sur les mêmes pétales. — Trois pétales, achevés après un demi-tour ; le reste du cercle les répète.

cos nθ avec n pair — 2n pétales, et le tour complet est nécessaire

Ce que vous savez: Un n pair donne deux fois plus de pétales qu’on ne le croirait, et tous exigent que θ parcoure 0 à 2π en entier.

Forme: n = 2k ⇒ # = 2n

Exemple résolu: r = cos 4θ de 0 à 2π : huit pétales, chacun couvrant 45° de θ

Ouvrir ce cas: Rosace (8)

cos nθ avec n pair — 2n pétales, et le tour complet est nécessaire. Huit pétales : quatre venant de r positif, quatre autres des intervalles où r devient négatif. Un n pair donne deux fois plus de pétales qu’on ne le croirait, et tous exigent que θ parcoure 0 à 2π en entier. — Huit pétales : quatre venant de r positif, quatre autres des intervalles où r devient négatif.

b > a — un limaçon avec boucle intérieure

Ce que vous savez: r = a + b·cos θ avec b plus grand que a. Le rayon devient négatif sur une partie du tour, et ce passage dessine une boucle à l’intérieur de la courbe principale.

Forme: b > a ⇒ ∃θ: r < 0

Exemple résolu: r = 1 + 2cos θ : r = 3 en θ = 0°, et r < 0 pour θ entre 120° et 240°, ce qui donne la boucle intérieure

Ouvrir ce cas: Limaçon

b > a — un limaçon avec boucle intérieure. Le passage où r est négatif se replie à travers l’origine en boucle intérieure. r = a + b·cos θ avec b plus grand que a. Le rayon devient négatif sur une partie du tour, et ce passage dessine une boucle à l’intérieur de la courbe principale. — Le passage où r est négatif se replie à travers l’origine en boucle intérieure.

Problème entièrement résolu

Aire de 4,7124 délimitée par la cardioïde r = 1 + cos θ 5 étapes
La cardioïde r = 1 + cos θ délimite une aire de 4,7124. Établissez ce résultat et comparez-la au cercle dont elle est issue.
1. L'aire en coordonnées polaires n'est pas ∫y dx. Un mince secteur d'angle dθ est un triangle d'aire ½r²dθ, et l'intégration de ces secteurs constitue toute la formule.
  
  $A = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} r^{2} d θ, r = 1 + cos θ$
2. L'intégrande est donc le carré du rayon, qui se développe en trois termes pour cette courbe.
  
  $(1 + cos θ)^{2} = 1 + 2 cos θ + cos^{2} θ$
3. Chacun s'intègre sans difficulté sur un tour complet. Le terme central s'annule — la moyenne du cosinus est nulle — et le dernier utilise le résultat classique selon lequel la moyenne de cos² vaut un demi.
  
  $\int_{0}^{2 π} 1 = 2 π, \int_{0}^{2 π} 2 cos θ = 0, \int_{0}^{2 π} cos^{2} θ = π$
4. Leur somme donne 3π/2, soit 4,7124.
  
  $A = \frac{1}{2} (2 π + 0 + π) = \frac{3 π}{2} = 4.7124$
5. La courbe touche l'origine exactement une fois, en θ = π, où 1 + cos θ = 0. C'est le point de rebroussement, et c'est la raison pour laquelle la cardioïde n'est pas un cercle déplacé.
  
  $r (π) = 1 + cos π = 0 (the cusp), \frac{3 π /2}{π} = 1.5$
Réponse

L'outil affiche une aire de 4,7124, avec r = 0 en θ = 3,142. C'est la comparaison qui est révélatrice : le cercle unité délimite une aire de π, de sorte que la cardioïde en contient exactement 1,5 fois plus, bien qu'elle ne s'étende que jusqu'à r = 2 au plus large et qu'elle se pince jusqu'à s'annuler au point de rebroussement. La représentation en secteurs l'explique — l'aire s'accumule comme r², ainsi le côté le plus large domine bien plus que sa largeur ne le suggère. Passez la courbe à cos(3θ) et le panneau indique 1,5708 — c'est-à-dire π/2, soit exactement le double de l'aire réelle de la rosace à trois pétales, qui est π/4. L'intégrale n'est pas fausse ; c'est l'intervalle d'intégration qui l'est. Une rosace à nombre impair de pétales est entièrement tracée lorsque θ varie jusqu'à π, puis est retracée d'ici 2π, si bien que les secteurs sont comptés deux fois. Fixez la borne supérieure à 3,14159 et 0,7854 apparaît. L'aire en coordonnées polaires est la seule intégrale pour laquelle les bornes relèvent d'un choix de modélisation plutôt que d'une simple formalité.

$A = \frac{3 π}{2} = 4.7124 = 1.5 \times the unit circle; r (π) = 0$

Références (2)

Who first used these coordinates, and for what: J. L. Coolidge, "The Origin of Polar Coordinates." The American Mathematical Monthly 59(2), 78–85, 1952.
The logarithmic spiral in shells and horns — the reason polar form is worth the change of variable: D’Arcy W. Thompson, On Growth and Form, Chapter XI: The Equiangular Spiral. Cambridge University Press, 1917.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-27

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Exemples de problèmes

Cardioïde - r = 1+cos(θ) enferme sur un tour complet A = 4.7124, soit 3π/2 — une fois et demie le cercle unité
Rosace (3) - cos(3θ) n’a besoin de θ que jusqu’à π pour fermer ses trois pétales, et enferme A = 0.7854 = π/4
Rosace (8) - cos(4θ) dessine huit pétales, pas quatre — un k pair les double — et exige les 2π complets pour A = 1.5708 = π/2
Limaçon - r = 1+2cos(θ) devient négatif : à θ = π l’affichage donne r = −1.0000 au point (1.000, 0.000), et c’est de là que naît la boucle intérieure