Courbes polaires

Les coordonnées polaires abandonnent les grilles cartésiennes pour la géométrie radiale. Les fonctions r(θ) construisent des spirales et des rosaces, démontrant comment les fonctions de rayon décrivent la physique des forces centrales.

Les coordonnées polaires repèrent un point par deux questions du quotidien : à quelle distance du centre et dans quelle direction ? C'est pourquoi les formes dotées d'un centre naturel — spirales, roses en forme de fleurs, orbites — obtiennent ici des équations courtes et nettes, alors qu'elles deviennent des formules encombrantes sur une grille x-y. Essaie le modèle de la spirale : r = θ/π signifie simplement « le rayon croît régulièrement à mesure qu'on tourne », mais la version cartésienne est un enchevêtrement. La leçon : choisis des coordonnées adaptées à la symétrie du problème et les maths se simplifient.

La spirale logarithmique r = a·e^(bθ) fascina tellement Jacques Bernoulli qu'il la nomma spira mirabilis — « la spirale merveilleuse » — car la mettre à l'échelle, la tourner ou la réfléchir redonne la même courbe. Il en souhaita une sur sa pierre tombale avec la devise Eadem mutata resurgo (« bien que changée, je renais identique »). Mais le tailleur de pierre bâlois grava plutôt une spirale d'Archimède (r = aθ) — une courbe tout à fait différente, et l'erreur reste visible aujourd'hui.