Géométrie de la Pyramide

géométrie façon Égypte antique pour les pyramides à base carrée

Valeurs de départ — Géométrie de la Pyramide

Longueur du côté de la base (s)	230.4
Hauteur verticale (h)	146.6

Modifiez un réglage ci-dessus et les résultats sont recalculés.

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Le tiers est exact, mais on ne peut pas le prouver en découpant 🖖

Une pyramide contient exactement un tiers du prisme de même base et de même hauteur — non pas approximativement, exactement. En deux dimensions, le fait correspondant se voit aisément : un triangle est la moitié de son rectangle, et on peut le démontrer en découpant le rectangle et en réarrangeant les morceaux. En trois dimensions, cette voie est fermée. Hilbert a demandé en 1900 si deux solides de même volume peuvent toujours être découpés en un nombre fini de pièces et recomposés l’un en l’autre, et Max Dehn a prouvé en 1901 que non — un tétraèdre régulier et un cube de même volume ne sont pas accessibles l’un à l’autre par un nombre fini de coupes. Le facteur 1/3 est donc bel et bien un résultat sur les limites, et c’est pourquoi il arrive avec l’analyse et non avec des ciseaux.

Deux nombres définissent toute la pyramide 🖖

Une pyramide à base carrée est entièrement fixée par deux mesures seulement : le côté de la base s et la hauteur verticale h. Tout le reste découle d'un triangle rectangle allant du centre de la base au milieu d'une arête. L'apothème est son hypoténuse, l = √(h² + (s/2)²), et une fois l connu, la surface et le volume tombent d'eux-mêmes. Modifiez une entrée et chaque résultat se recalcule.

Comment les Égyptiens mesuraient la pente à l'envers 🖖

Les anciens Égyptiens n'utilisaient pas d'angles. Dans le papyrus Rhind, ils notaient la pente d'une pyramide sous forme de seked : le déplacement horizontal, en paumes, pour chaque coudée royale (7 paumes) d'élévation verticale — en somme la cotangente, l'inverse de notre pente moderne. Le seked de la Grande Pyramide vaut environ 5½ paumes, soit un angle de face proche de 51,84°. La sortie seked de cet outil ressuscite cette convention vieille de 3600 ans.

Problème entièrement résolu

Deux coïncidences de la Grande Pyramide, résolues par un seul nombre 6 étapes
La Grande Pyramide : base 230,4 m, hauteur 146,6 m. Obtenez l'apothème, les aires, le volume et l'angle des faces — puis tranchez les deux célèbres coïncidences avec un seul nombre.
1. L'apothème est l'hypoténuse du triangle allant du centre de la base au milieu d'un côté puis montant jusqu'au sommet — la demi-base, et non la base entière, ce qui constitue l'erreur la plus fréquente ici.
  
  $ℓ = h^{2} + (\frac{s}{2})^{2} = 146. 6^{2} + 115. 2^{2} = 34 760.2 = 186.4473 m$
2. La surface latérale est formée de quatre triangles, chacun de base s et de hauteur ℓ, de sorte que 4 × ½sℓ se réduit à 2sℓ. Ajoutez la base pour obtenir le total.
  
  $A_{b} = s^{2} = 53 084.16, A_{l} = 2 s ℓ = 85 914.92, A = 138 999.08 m^{2}$
3. Le volume est le tiers de celui du prisme, et ce tiers n'est pas une approximation — il est exact pour toute pyramide sur n'importe quelle base.
  
  $V = \frac{1}{3} s^{2} h = \frac{1}{3} (53 084.16) (146.6) = 2594 045.95 m^{3}$
4. L'angle des faces provient de l'élévation sur la demi-course. Le seqed en est l'inverse, et c'est ce nombre que les bâtisseurs utilisaient en pratique.
  
  $θ = arctan \frac{2 h}{s} = arctan \frac{293.2}{230.4} = 51.839 3^{\circ}, k = \frac{s /2}{h} = 0.7858$
5. Comparez le seqed mesuré à la fraction la plus simple qui s'en rapproche. Cinq paumes et demie par coudée de sept paumes donnent 11/14, ce qui correspond à une partie sur huit mille près.
  
  $k = \frac{5 \frac{1}{2} palms}{7 palms} = \frac{11}{14} = 0.785714 (measured 0.785812)$
6. Déduisez à présent le rapport lié à π à partir de cette unique fraction. Ce n'est pas un fait indépendant propre à la pyramide ; c'est 8k, et 8 × 11/14 se trouve se situer à 0,04 % de 2π.
  
  $k = \frac{s /2}{h} \Rightarrow h = \frac{s}{2 k} \Rightarrow \frac{4 s}{h} = 8 k = 8 \cdot \frac{11}{14} = 6.28571 against 2 π = 6.28319$
Réponse

Ces deux coïncidences n'en sont qu'une seule, et il s'agit d'une fraction de bâtisseur : un seqed de 11/14. Les Égyptiens ne définissaient pas une pente par un angle ; ils précisaient combien de paumes de course horizontale correspondaient à une coudée d'élévation, et une coudée vaut sept paumes. En choisissant 5½ paumes, le seqed vaut 11/14 = 0,785714 — contre les 0,785812 mesurés en réalité sur la pyramide. Tout le reste en découle. Le rapport du périmètre sur la hauteur vaut exactement 8 fois le seqed, soit 8 × 11/14 = 6,28571 contre 2π = 6,28319, et le rapport de l'apothème à la demi-base s'établit à 1,6185 contre φ = 1,618034. Ni π ni φ n'y ont été intégrés. Une seule pente rationnelle, choisie parce qu'elle était facile à tracer avec une corde et un fil à plomb, donne l'une et l'autre à quatre chiffres près.

$k = \frac{11}{14} ⟹ \frac{4 s}{h} = 6.2857 \approx 2 π and \frac{ℓ}{s /2} = 1.6185 \approx φ$

Références (2)

Insight block 1 — why the factor of 1/3 cannot be shown with scissors: M. Dehn, "Ueber den Rauminhalt." Mathematische Annalen 55(3), 465–478, 1901 — the negative answer to Hilbert's third problem.
Insight block 3 — the seked, and the 5½ palms of the Great Pyramid: A. B. Chace, The Rhind Mathematical Papyrus, problems 56–60. Mathematical Association of America, 1927–29.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-05-12

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Exemples de problèmes

exemple scolaire - Exemple scolaire : calcul de l'apothème, de l'aire et du volume.
grande pyramide - Approximation à l'échelle de la Grande Pyramide avec des dimensions réelles.
face raide - Pyramide plus pointue avec un angle de face plus grand.
face plate - Pyramide plus aplatie avec un angle de face plus petit.