Explorateur de convergence de séries
Observez la croissance des sommes partielles. La série converge-t-elle vers une limite finie ou diverge-t-elle ?
Limites de sommation infinie 🖖
La convergence des séries examine si des termes accumulés s'approchent d'une limite finie. La série harmonique diverge, tandis que la série géométrique garantit des limites sous des contraintes de rapport strictes.
Ce qu'est vraiment une somme partielle 🖖
Une série infinie ne se somme jamais d'un seul coup. On suit plutôt la somme partielle SN, le total cumulé des N premiers termes, et on observe vers quoi il tend quand N grandit. Sur le graphique, si cette courbe s'aplatit vers une ligne horizontale, la série converge vers cette hauteur ; si elle continue de monter, elle diverge. La convergence n'est donc qu'une suite de totaux qui se stabilise.
Comment la série harmonique empile des blocs 🖖
Empilez des blocs identiques au bord d'une table. Le bloc du sommet peut dépasser le bord d'au plus ½ HN, la moitié de la N-ième somme partielle harmonique. Comme la série harmonique diverge, ce porte-à-faux n'a aucune limite : avec assez de blocs, celui du haut se retrouve entièrement au-delà du bord. Il suffit de 4 blocs pour dépasser la longueur d'un bloc entier, car H4 ≈ 2.08.
Exemples de problèmes
- Harmonique - Harmonique
- Bâle (π²/6) - Bâle (π²/6)
- Série e−1 - Série e−1
- Harm. alternée - Harmonique alternée
- Géométrique - Géométrique
- Télescopique - Télescopique
- p-série - Série-p