Résolution d'écran et distance de recul

Votre canapé se trouve à 3,0 m du mur. Un téléviseur 4K de 55 pouces et un téléviseur 4K de 65 pouces sont sur l'étagère. L'un des deux vous donne-t-il plus de détails que le 1080p ? Dans le cas contraire, que vous faudrait-il ?

1. Commencez par la largeur. La diagonale est le nombre sur la boîte ; la largeur est le nombre qui détermine l'angle. Pour le 16:9, la diagonale vaut √(16² + 9²) = 18,3576 parts, dont 16 sont la largeur.

   $$W=55^{\prime \prime }\times \frac{16}{\sqrt{16^2+9^2}}=47.94^{\prime \prime }=1217.6\mathrm{mm}$$

2. Passez à l'angle que cette largeur couvre depuis le canapé. Coupez-le par le milieu : la moitié de la largeur fait 608,8 mm, vue depuis 3 000 mm.

   $$\theta =2\arctan \frac{608.8}{3000}=22.94^{\circ }=1376.6^{\prime }$$

3. Divisez par l'angle de résolution. Un œil à 20/20 sépare des détails espacés d'une minute d'arc. À 20/20, le total de minutes d'arc est donc le nombre de colonnes, et aucune arithmétique n'est nécessaire pour passer de l'un à l'autre.

   $$N=\frac{1376.6^{\prime }}{1.0^{\prime }}=1377$$

4. 1 377 colonnes. Le 1080p en fournit 1 920 et la 4K en fournit 3 840, donc depuis ce canapé, le téléviseur de 55 pouces livre moins de détails qu'une dalle 1080p ne le pourrait, et l'étiquette 4K n'apporte rien du tout. Essayez le modèle de 65 pouces.

   $$65^{\prime \prime }\Rightarrow W=1439.0\mathrm{mm},\theta =26.97^{\circ }\Rightarrow N=1618$$

5. Toujours insuffisant, et de 302 colonnes. Faites donc le calcul à l'envers et demandez-vous quelle largeur porte le total à 1 920. À une minute d'arc, cela fait 1 920 minutes d'arc, soit 32°, donc 16° de chaque côté du centre.

   $$N=1920\Rightarrow \theta =32^{\circ }\Rightarrow W=2(3000)\tan 16^{\circ }=1720\mathrm{mm}$$

6. Reconvertissez cette largeur en ce nombre inscrit sur la boîte.

   $$D=1720\times \frac{\sqrt{16^2+9^2}}{16}=1974\mathrm{mm}=77.7^{\prime \prime }$$

7. Réglez la diagonale sur 78 et la distance sur 3,0, et l'outil lit 1 927 colonnes. À 3,0 m, le 1080p commence donc à se rentabiliser vers 78 pouces. La 4K réclamerait 64° d'écran : une dalle de 169 pouces mesurant 3,74 m de large, ce qui dépasse le mur qui la porterait dans la plupart des maisons.

   $$N=3840\Rightarrow \theta =64^{\circ }\Rightarrow W=2(3000)\tan 32^{\circ }=3749\mathrm{mm}(D=169^{\prime \prime })$$

8. Une réserve, et elle tranche dans le sens opposé de tout ce qui précède. Ces 1 377 colonnes sont un budget étalé sur l'intégralité des 22,9°, et votre œil ne conserve pas 20/20 sur 22,9°. Le plein pouvoir de résolution réside dans la fovéa, qui couvre à peu près les deux degrés centraux.

   $$2^{\circ }\times 60=120$$

Un téléviseur 8K de 55 pouces, à 2,5 m. Calculez combien de ses 33 millions de pixels arrivent sous forme de détail, puis décidez ce qu'il faudrait changer pour que les autres méritent leur silicium.

1. C'est la largeur qui fixe l'angle, pas la diagonale.

   $$W=55^{\prime \prime }\times \frac{16}{\sqrt{16^2+9^2}}=47.94^{\prime \prime }=1217.6\mathrm{mm}$$

2. La moitié de cette largeur, vue depuis 2,5 m, donne 27,4°, et à une minute d'arc d'acuité les degrés se convertissent directement en colonnes.

   $$\theta =2\arctan \frac{608.8}{2500}=27.4^{\circ }=1,642^{\prime }$$

3. 1 642 colonnes atteignent le canapé, sur les 7 680 de la dalle. La fiche affiche le premier nombre et la boîte affichait le second.

   $$N=\frac{1,642^{\prime }}{1.0^{\prime }}=1,642\mathrm{of}7,680$$

4. Les colonnes ne sont qu'une dimension. Les lignes que l'œil peut exploiter suivent la même échelle, donc l'image livrée fait 1 642 sur 924, soit 1,52 mégapixel.

   $$1,642\times \frac{9}{16}=924,1,642\times 924=1,517,208=1.52\mathrm{Mpx}$$

5. Contre 33,18 sur la dalle, cela fait 4,6 %. La version 4K du même écran, à la même place, livre les mêmes 1 642 colonnes et les mêmes 1,52 mégapixel, soit 18,3 % de son propre total. Quatre fois plus de pixels, et pas un seul des pixels ajoutés n'arrive.

   $$\frac{1.52}{33.18}=4.6\%,\frac{1.52}{8.29}=18.3\%$$

6. Ce qu'il faudrait changer, c'est l'angle, et lui seul. Exploiter les 7 680 colonnes réclame 7 680 minutes d'arc de champ visuel, soit 128°, c'est-à-dire s'asseoir à 297 mm d'un écran de 55 pouces.

   $$7,680^{\prime }=128^{\circ }⟹d=\frac{608.8}{\tan 64^{\circ }}=\frac{608.8}{2.050}=297\mathrm{mm}$$

7. Ou garder sa place et agrandir l'écran jusqu'à 10,25 m de large, une diagonale de 463 pouces.

   $$W=2(2500)\tan 64^{\circ }=10,251\mathrm{mm}⟹D=463^{\prime \prime }$$